用R介紹和計算ICC

用R語言進行HLM分析第一章將介紹ICC係數定義，並實際示範如何使用R語言計算ICC，並解釋其含意。

用傳統統計分析多層次資料的限制一文已經說明很清楚，多層次資料的存在使得傳統的統計方法無法直接應用，因為這些方法通常假設觀察到的資料是獨立的。為了解決這個問題，出現了多層次模型（MLM）或階層線性模式（HLM）。這些模型能夠考慮到多層次資料的結構，並在分析中引入階層結構的效應。

ICC介紹

如何確定何時需要做多層次分析?可以透過ICC 決定，ICC 是 Intraclass Correlation Coefficient 的簡寫，中文翻譯為「組間相關係數」。它是一種用於衡量多層次資料中組間變異與總變異之比的指標。ICC 越高，表示層次2變異越大，總變異中層次2變異所占的比例越高。
因此，ICC 越高，越需要使用多層次分析來處理。公式如下圖，τ₀₀代表層次2的變異量，σ²代表層次1的變異量:

如下圖，ICC 越高發現相同群體內的成員在分數上表現非常相似

https://dcricollab.dcri.duke.edu/sites/NIHKR/KR/Intraclass_Correlation_Coefficient_Cheat_Sheet_March_15_2020.pdf

如下圖，ICC 越低發現相同群體內的成員表現沒有這麼相似

https://dcricollab.dcri.duke.edu/sites/NIHKR/KR/Intraclass_Correlation_Coefficient_Cheat_Sheet_March_15_2020.pdf

以下是一些 ICC 的應用：

• 在教育研究中，可以用 ICC 來衡量班級之間的學業表現差異。ICC 越高，表示班級之間的學業表現差異越大，需要使用多層次分析來控制班級的影響。
• 在醫療研究中，可以用 ICC 來衡量醫院之間的治療效果差異。ICC 越高，表示醫院之間的治療效果差異越大，需要使用多層次分析來控制醫院的影響。

隨機效果的ANOVA

有隨機效果的ANOVA，允許截距隨著不同層次2單位變化。需要透過具有隨機效果的ANOVA計算ICC。該模型假設我們有兩個層次，依變項為Y，層次1的自變項有0個。β ₀第一層的截距，β _{0 0}第二層截距(又稱為grand-mean ，所有層次2在Y的平均數)，e是層次1誤差也就是迴歸中的殘差，e₀為隨機效果，所有層次2的變異量。沒有任何其他預測變項。

Level 1:

Y = β 0 + e

Level 2:

β 0  = β 0 0+e0

方程式整理後，把β 0 0+e0帶入β 0j

Y = β 0 0 + e+e0

計算範例

在 R 語言中，data("sleepstudy") 命令會載入 lme4 套件中的 sleepstudy 資料集。sleepstudy 資料集包含睡眠剝奪研究中受試者的平均反應時間資料。

資料集有 180 個觀察值和 3 個變量：

• Reaction: 平均反應時間 (毫秒)
• Days: 睡眠剝奪天數
• Subject: 受試者 ID

要載入 sleepstudy 資料集，可以使用以下命令：

library(lme4) #MLM
library(performance) #ICC
data("sleepstudy")

這將將資料集載入 R 工作區。您可以使用 sleepstudy 變數名稱來存取資料集。

要查看資料集的前 10 行或全部，可以使用以下命令：

head(sleepstudy, 10)#前 10 行
sleepstudy#看全部

從下面輸出可以看出，同個受試者睡眠剝奪從0到9天，每天都會測一次反應時間，所以資料是嵌套的：

    Reaction Days Subject
1   249.5600    0     308
2   258.7047    1     308
3   250.8006    2     308
4   321.4398    3     308
5   356.8519    4     308
6   414.6901    5     308
7   382.2038    6     308
8   290.1486    7     308
9   430.5853    8     308
10  466.3535    9     308
11  222.7339    0     309
12  205.2658    1     309
13  202.9778    2     309
14  204.7070    3     309
15  207.7161    4     309
16  215.9618    5     309
17  213.6303    6     309

接下來我們使用 sleepstudy 資料集進行多層次分析，先計算隨機效果的ANOVA，層次2是Days，層次1為Subject，依變項為Reaction：

summary(lmer(Reaction ~ (1| sleepstudy$Days), data = sleepstudy))

根據先前的公式可以寫成這樣:

Level 1:Subject

Reaction = β 0j + e

Level 2:Days

β 0  = β 0 0+e0

部分結果如下，τ₀₀代表層次2的變異量，這裡是894.9；σ²代表層次1的變異量，這裡是2363.1，全部變異量為894.9+2363.1 = 3258；所有天數的Reaction平均為298.51，p ***顯著代表該數值顯著不等於0。

Random effects:
 Groups          Name        Variance Std.Dev.
 sleepstudy$Days (Intercept)  894.9   29.91   #τ00 = 894.9
 Residual                    2363.1   48.61   #σ2 = 2363.1
Number of obs: 180, groups:  sleepstudy$Days, 10 #10天(0~9)

Fixed effects:
            Estimate Std. Error     df t value Pr(>|t|)    
(Intercept)   298.51      10.13   9.00   29.47 2.91e-10 ***
#Across all Days the overall average Days mean​ = 298.51
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接下來我們開始手動計算ICC，看看層次2能解釋多少Reaction的整體變異量。ICC = 894.9/(894.9+2363.1) = 0.274。也可以用語法icc()幫我們檢查，結果是0.275，差不多，此係數代表層次2能解釋百分之27.4左右Reaction的整體變異量，換言之，Reaction的整體變異量中，有百分之27.4左右的變異量來自層次二(Days)的差異。

icc(lmer(Reaction ~ (1| sleepstudy$Days), data = sleepstudy))

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