The Nature of Code閱讀心得與Python實作：3.2 Angular Motion

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發佈於Nature of Code閱讀心得與Python實作
更新於 發佈於 閱讀時間約 28 分鐘

角運動(angular motion)指的是物體的旋轉運動。物體進行直線運動時，可以用速度和加速度來描述它的運動。速度指的是單位時間內，物體的位移量；而加速度則是單位時間內，速度的改變量。同樣的做法也可以運用在描述角運動上，我們可以用角速度(angular velocity)和角加速度(angular acceleration)來描述角運動。角速度指的是單位時間內，物體旋轉的角度；而角加速度，則是單位時間內角速度的改變量。

在第1、2章處理位置、速度、加速度時，是使用下列做法：

position += velocity
velocity += acceleration

處理物體的旋轉，也可以用相同的方式：

angle += angular_velocity
angular_velocity += angular_acceleration

不過要注意的是，position、velocity、acceleration是向量，但是angle、angular_velocity、angular_acceleration則是純量。之所以如此，是因為我們現在是在2D平面上，物體就只會繞著一個軸旋轉；如果是在3D空間中，因為有兩個軸，則它們也會是向量。

另一個需要注意的是，這樣子的做法，是假設模擬的時間間隔delta time，也就是第二章提到過的時間步長，等於顯示1幀畫面的時間。

利用上述的做法，可以把Exercise 3.1改寫成下列Example 3.1的寫法。

Example 3.1: Angular Motion Using transform.rotate()

圖案一開始的時候是靜止不動的，但是在角加速度的作用下，旋轉的速度會越來越快。

# python version 3.10.9
import sys

import pygame  # version 2.3.0


pygame.init()

pygame.display.set_caption("Example 3.1: Angular Motion Using transform.rotate()")

BLACK = (0, 0, 0)
WHITE = (255, 255, 255)

WIDTH, HEIGHT = screen_size = 640, 360
screen = pygame.display.set_mode(screen_size)

FPS = 60
frame_rate = pygame.time.Clock()

baton_length = 200  # 指揮棒長度
radius = 10  # 指揮棒端點球半徑

# 建造用來繪製指揮棒圖案的surface並以白色清空
surface_size = (baton_length, baton_length)
surface = pygame.Surface(surface_size)
surface.fill(WHITE)

# 在surface上繪製指揮棒圖案
endpoint1 = (radius, baton_length//2)
endpoint2 = (baton_length-radius, baton_length//2)
pygame.draw.circle(surface, BLACK, endpoint1, radius)
pygame.draw.circle(surface, BLACK, endpoint2, radius)
pygame.draw.line(surface, BLACK, endpoint1, endpoint2, 5)

# 角度的單位是度
angle = 0
angular_velocity = 0
angular_acceleration = 0.001  # 逆時針旋轉

while True:
    for event in pygame.event.get():
        if event.type == pygame.QUIT:
            pygame.quit()
            sys.exit()
    
    screen.fill(WHITE)
    
    angular_velocity += angular_acceleration
    angle += angular_velocity

    rotated_surface = pygame.transform.rotate(surface, angle)
    rect = rotated_surface.get_rect(center=(WIDTH//2, HEIGHT//2))
    screen.blit(rotated_surface, (rect.x, rect.y))    

    pygame.display.update()
    frame_rate.tick(FPS)

Exercise 3.2

# python version 3.10.9
import sys

import pygame  # version 2.3.0

pygame.init()

pygame.display.set_caption("Exercise 3.2")

BLACK = (0, 0, 0)
WHITE = (255, 255, 255)

WIDTH, HEIGHT = screen_size = 640, 360
screen = pygame.display.set_mode(screen_size)

FPS = 60
frame_rate = pygame.time.Clock()

baton_length = 200  # 指揮棒長度
radius = 10  # 指揮棒端點球半徑

# 建造用來繪製指揮棒圖案的surface並以白色清空
surface_size = (baton_length, baton_length)
surface = pygame.Surface(surface_size)
surface.fill(WHITE)

# 在surface上繪製指揮棒圖案
endpoint1 = (radius, baton_length//2)
endpoint2 = (baton_length-radius, baton_length//2)
pygame.draw.circle(surface, BLACK, endpoint1, radius)
pygame.draw.circle(surface, BLACK, endpoint2, radius)
pygame.draw.line(surface, BLACK, endpoint1, endpoint2, 5)

mass = 2  # 指揮棒質量
Cd = 0.01  # 阻力係數

# 角度的單位是度
angle = 0
angular_velocity = 0
angular_acceleration = 0

while True:
    for event in pygame.event.get():
        if event.type == pygame.QUIT:
            pygame.quit()
            sys.exit()
    
    screen.fill(WHITE)
    
    # 按下滑鼠左鍵時施加給指揮棒的力量
    f = 3 if pygame.mouse.get_pressed()[0] else 0
    
    # 計算阻力，並加入避免指揮棒旋轉方向改變的限制條件
    direction = 1 if angular_velocity >= 0 else -1
    drag_force = -direction*angular_velocity**2*Cd  
    print(angular_velocity, drag_force)
    limit = mass*abs(angular_velocity)
    # 阻力最多只能使角速度降至0，無法使其反向
    if abs(drag_force) > limit:
        drag_force = -direction*limit
        
    angular_acceleration = (drag_force+f)/mass
    angular_velocity += angular_acceleration
    angle += angular_velocity
            
    rotated_surface = pygame.transform.rotate(surface, angle)
    rect = rotated_surface.get_rect(center=(WIDTH/2, HEIGHT/2))
    screen.blit(rotated_surface, (rect.x, rect.y))    
    
    pygame.display.update()
    frame_rate.tick(FPS)

這個旋轉物體的做法也可以加到Mover物件中。要讓Mover物件旋轉，我們可以把角加速度寫死，例如

angular_acceleration = 0.01

不過我們也可以根據環境中作用在物體上的力量，來動態地產生角加速度，這樣子模擬出來的效果，會更有趣一些。

要模擬出讓物體旋轉的物理現象，可以用一個雖然比較取巧，但產生的結果還算符合常理的方法來達到目的。這個方法其實挺簡單的，那就是把角加速度當成是物體加速度向量的函數，例如

 angular_acceleration = acceleration.x

這樣子的設定，會讓物體的加速度向右時，產生逆時針旋轉的角加速度；而當物體的加速度向左時，則會產生順時針旋轉的角加速度。

雖然上述的設定可以達到目的，不過要注意的是，x方向的加速度如果很大，物體可能會因為過大的角加速度，而以看起來不怎麼真實的方式旋轉。要避免這類情況發生，可以把計算方式改成

angular_acceleration = acceleration.x/n  # n是數值

或者幫角速度設一個上限值，都可以達到目的。當然啦，這裡的n和上限值，都必須根據實際的狀況來調整

Example 3.2: Forces with (Arbitrary) Angular Motion

Mover類別的__init__()、update()、show()需修改。修改後的程式碼為：

def __init__(self, x, y, mass):
    # 取得顯示畫面的大小
    self.screen = pygame.display.get_surface()
    self.width, self.height = self.screen.get_size()
    
    # 讓傳遞進來的數值來決定物體的質量
    self.mass = mass  
    
    # 物體的質量越大，尺寸就會越大
    self.size = 16*self.mass
    self.radius = self.size/2
    
    # 讓傳遞進來的數值來決定物體的起始位置
    self.position = pygame.Vector2(x, y)
    
    # 物件的初始速度、初始加速度
    self.velocity = pygame.Vector2(random.uniform(-1, 1), random.uniform(-1, 1))
    self.acceleration = pygame.Vector2(0, 0)
    
    # 物件的初始角度、初始角速度、初始角加速度
    self.angular_acceleration = 0
    self.angular_velocity = 0
    self.angle = 0
    
    # 設定mover所在surface的格式為per-pixel alpha
    self.surface = pygame.Surface((self.size, self.size), pygame.SRCALPHA)        

def update(self):
    self.velocity += self.acceleration
    self.position += self.velocity
            
    self.angular_acceleration = self.acceleration.x/10
    self.angular_velocity += self.angular_acceleration
    # 限定角速度在一個範圍內
    if self.angular_velocity > 0.1:
        self.angular_velocity = 0.1
    elif self.angular_velocity < -0.1:
        self.angular_velocity = -0.1
    
    self.angle += self.angular_velocity
    
    self.acceleration *= 0
    
def show(self):
    circle_center = (self.radius, self.radius)
    # 畫出具有透明度的mover
    pygame.draw.circle(self.surface, (0, 0, 0, 50), circle_center, self.radius)
    # 在圓裡面畫一條直線，這樣才能看得出來是在旋轉
    pygame.draw.line(self.surface, (0, 0, 0, 255), circle_center, (2*self.radius, self.radius))
    
    # 旋轉角度的單位需由弳度轉換為度
    rotated_surface = pygame.transform.rotate(self.surface, math.degrees(self.angle))
    rect_new = rotated_surface.get_rect(center=circle_center)
            
    # 把mover所在的surface貼到最後要顯示的畫面上
    x, y = self.position
    self.screen.blit(rotated_surface, (x+rect_new.x, y+rect_new.y))

主程式如下：

# python version 3.10.9
import math
import random
import sys

import pygame  # version 2.3.0

pygame.init()

pygame.display.set_caption("Example 3.2: Forces with (Arbitrary) Angular Motion")

WHITE = (255, 255, 255)

WIDTH, HEIGHT = screen_size = 640, 360
screen = pygame.display.set_mode(screen_size)

FPS = 60
frame_rate = pygame.time.Clock()

movers = [Mover(random.randint(0, WIDTH), random.randint(0, HEIGHT),
                random.uniform(1, 2)) 
          for i in range(20)]

attractor = Attractor(0.4, 20, WIDTH/2, HEIGHT/2)

while True:
    for event in pygame.event.get():
        if event.type == pygame.QUIT:
            pygame.quit()
            sys.exit()
    
    screen.fill(WHITE)    

    attractor.show()
    
    for mover in movers:
        force = attractor.attract(mover)
        mover.apply_force(force)

        mover.update()
        mover.show()
        
    pygame.display.update()
    frame_rate.tick(FPS)

Exercise 3.3

按滑鼠左鍵可以發射砲彈。

class Projectile:
    def __init__(self, x, y, mass):
        # 取得顯示畫面的大小
        self.screen = pygame.display.get_surface()
        self.width, self.height = self.screen.get_size()
        
        # 讓傳遞進來的數值來決定物體的質量
        self.mass = mass  
        
        # 物體的質量越大，尺寸就會越大
        self.size = 16*self.mass
                
        # 讓傳遞進來的數值來決定物體的起始位置
        self.position = pygame.Vector2(x, y)
        
        # 物件的初始速度、初始加速度
        self.velocity = pygame.Vector2(0, 0)
        self.acceleration = pygame.Vector2(0, 0)
        
        # 物件的初始角度、初始角速度、初始角加速度
        self.angular_acceleration = 0
        self.angular_velocity = 0
        self.angle = 0
        
        # 設定projectile所在surface的格式為per-pixel alpha
        self.surface = pygame.Surface((self.size, self.size), pygame.SRCALPHA)        
 
    def apply_force(self, force):
        self.acceleration += force/self.mass
        
    def update(self):
        self.velocity += self.acceleration
        self.position += self.velocity
                
        self.angular_acceleration = -self.velocity.x
        self.angular_velocity += self.angular_acceleration
        # 限定角速度在一個範圍內
        if self.angular_velocity > 0.2:
            self.angular_velocity = 0.2
        elif self.angular_velocity < -0.2:
            self.angular_velocity = -0.2

        self.angle += self.angular_velocity
        
        self.acceleration *= 0
        
    def show(self):
        # 畫出具有透明度的projectile
        rect = pygame.Rect(0, 0, self.size, self.size)
        pygame.draw.rect(self.surface, (0, 0, 0, 50), rect)
        
        # 旋轉角度的單位需由弳度轉換為度
        rotated_surface = pygame.transform.rotate(self.surface, math.degrees(self.angle))
        rect_new = rotated_surface.get_rect(center=self.position)        
        
        # 把projectile所在的surface貼到最後要顯示的畫面上
        self.screen.blit(rotated_surface, (rect_new.x, rect_new.y))    
        
    def check_edges(self):
        if self.position.x + self.size/2 > self.width:
            self.position.x = self.width - self.size/2
            self.velocity.x = -0.9*self.velocity.x
        elif self.position.x - self.size/2 < 0:
            self.position.x = self.size/2
            self.velocity.x = -0.9*self.velocity.x
    
        if self.position.y + self.size/2 > self.height:
            self.position.y = self.height - self.size/2
            self.velocity.y = 0
            self.angular_velocity = 0
            self.angle = 0
        elif self.position.y - self.size/2 < 0:
            self.position.y = self.size/2
            self.velocity.y = -0.9*self.velocity.y

                        
def friction_force(mu, velocity, N=1):
    # 速度小於某個數值時，就設定為0，讓物體停止移動
    if velocity.length() >= 0: #0.001:
        v_hat = velocity.normalize()
    else:
        v_hat = pygame.Vector2(0, 0)  

    return -mu*N*v_hat

        
# python version 3.10.9
import math
import random
import sys


import pygame  # version 2.3.0

pygame.init()

pygame.display.set_caption("Exercise 3.3")

WHITE = (255, 255, 255)

WIDTH, HEIGHT = screen_size = 640, 360
screen = pygame.display.set_mode(screen_size)

FPS = 60
frame_rate = pygame.time.Clock()

# 大砲發射砲彈的力道
cannon_force = pygame.Vector2(6, -8)

projectiles = []    

while True:
    for event in pygame.event.get():
        if event.type == pygame.QUIT:
            pygame.quit()
            sys.exit()
        elif event.type == pygame.MOUSEBUTTONDOWN:
            # 按一下滑鼠左鍵會發射一顆砲彈
            if event.button == 1:    
                new_projectile = Projectile(0, HEIGHT-50, random.uniform(1, 3))
                new_projectile.apply_force(cannon_force)
                new_projectile.update()
                projectiles.append(new_projectile) 
                    
    screen.fill(WHITE)    

    for projectile in projectiles:
        # 砲彈持續受到重力的作用
        gravity = pygame.Vector2(0, 0.1*projectile.mass)
        projectile.apply_force(gravity)
        
        # 掉到地上移動時，會有摩擦力
        if projectile.position.y+projectile.size >= HEIGHT:
            friction = friction_force(0.05, projectile.velocity, N=1)
            projectile.apply_force(friction)
        
        projectile.update()
        projectile.check_edges()
        projectile.show()
        
    pygame.display.update()
    frame_rate.tick(FPS)





ysf的沙龍Nature of Code閱讀心得與Python實作Chapter 3
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1.0 從函數到函算語法 1.2 函數概念小史 1.2.1 中譯的來源 1.2.2 一個速度問題 1.2.3 幾何的方法 1.2.4 微積分的記法  二 前面說過，牛頓關心的不是抽象的數學問題，他要解決的是天體運動的問題。他知道，假如他擁有該天體在任何一刻的瞬速數據，他便能夠從質量
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