我把 sqrt(z^2-1) 做成魔術方塊了！

play: Space Rift

sqrt(z²-1) 無法完全畫在紙上，因為平方根有兩個解。畫出來看到一條不連續的線：

sqrt(z-1) sqrt(z+1)

為什麼一個簡單的解析函數會產生不連續的結果？這證明了並不是所有的東西都被繪製出來了。

平方根 c = sqrt(z) 被定義為方程 c² = z 的解，這個方程有兩個解，但我們通常只取其中一個。例如，我們一般會說 sqrt(4) 是 2，但事實上它也可以是 -2。如果輸入值是正的，我們總是選擇正的那個解。這個選擇不錯，因為它是連續的：當輸入緩慢改變時，輸出也會平滑地變化。但如果我們考慮複數，情況就會變得複雜。由於複數有更多的自由度，它可以在兩個方向上變化。當輸入 z 圍繞原點移動時，即在 z = e^(it) 中變化 t，輸出的值可以是 sqrt(z) = e^(it/2)，這樣函數就是連續的。然而，如果它繞原點一圈，輸出會在符號上有差異：sqrt(e^(2πi)) = e^(πi) = -1。

上面畫的圖只用了平方根的一個解，還有另一個隱藏的部份畫在下面的圖層上。圖中的不連續線（稱為 branch cut）就像是這個二維空間中的一個空間裂縫，這是通向隱藏圖層的大門。如果這個空間中有生物，它會透過這個大門看過去而不會注意到 branch cut。branch cut 是由於解的選擇而造成的人工產物，如果我們做出不同的選擇，就可以改變這個 branch cut 的位置。我們這樣畫是因為我們沒有合適的紙張來放這個畫作。然而，當二維生物望向 1+0i 點時，會注意到左右的視野是不同的（稱為 branch point）。這就像遊戲《Antichamber》一樣，通過不同的窗戶看到的景色是不同的。

用 sqrt(z²-1) 做成的平面魔術方塊實際上就是做在這樣空間上的平面魔術方塊。這其實只是在一個奇怪空間上的平面魔術方塊。與普通平面魔術方塊不同的是，一個面要旋轉 720 度才能轉一圈，因為它的邊塊和角塊在旋轉時會移動到另一個圖層上。這個拼圖的抽象模型就像是普通的魔術方塊一樣，但要把它畫在二維空間上並不容易，因為我們需要根據 branch cut 的位置來決定應該繪製哪一部分。為了強調 branch cut 與這個結構無關，我讓它能夠自由移動。