專家視角： 本報告由量化金融分析專家撰寫，旨在將複雜的凱利公式模型轉化為清晰、實用的投資與風險管理洞見，特別為尋求易懂解釋的讀者設計。
1. 凱利公式簡介：它試圖解決什麼問題？
在投資或博弈的世界裡，找到具有潛在盈利能力的機會固然重要，但一個更關鍵且往往更困難的問題是：當機會出現時，應該投入多少資金？投入太少，可能錯失巨大的增長潛力；投入過多，則可能面臨毀滅性的虧損風險，甚至導致破產。凱利公式（Kelly Criterion）正是為了解決這個核心的資金管理與風險控制問題而誕生的數學工具 1。
凱利公式並非預測市場走向或挑選獲勝隊伍的水晶球，它的核心目標是在一系列重複的、具有正期望值（也就是說，長期來看平均而言是有利可圖的）的投資或賭博中，找到那個最佳的資金投入比例（f*） 1。這個「最佳」的定義非常具體：它旨在最大化長期資本的幾何增長率，或者等價地說，最大化財富對數的期望值 1。這個側重點與許多其他策略不同。凱利公式關注的不是單次下注能贏多少錢的期望值（算術平均），而是經過多次重複下注後，你的總資金能夠以最快的速度複利增長。財富的增長本質上是乘法關係，而對數運算可以將乘法問題轉化為加法問題，使得長期增長率可以被優化 66。只關注單次算術期望值的策略，例如在期望值為正時就投入全部資金，雖然看似誘人，但在重複博弈中幾乎必然會因為一次或幾次失敗而導致破產 75。因此，凱利公式內在地包含了風險管理的考量，其計算出的比例旨在確保即使遭遇連續虧損，也不會失去全部本金（理論上），從而避免破產 2。
凱利公式的應用前提是，你所面對的投資或賭博機會必須具有正期望值，也就是說，平均而言是有利可圖的 1。如果期望值為負或零，凱利公式會建議不下注或投入比例為零，因為在這種情況下，長期參與只會導致虧損或原地踏步，無法實現資本增長 6。尋找並確認具有「優勢」（edge）的機會，是應用凱利公式的第一步，也是最關鍵的一步 2。
這個公式由數學家約翰·凱利（John L. Kelly Jr.）於1956年在貝爾實驗室工作時提出，最初是為了解決長途電話線路中的信號噪音問題，屬於資訊理論的應用 1。但其深刻的數學原理很快被博弈論專家和投資者發現其在資金管理上的巨大價值，並被應用於二十一點、賽馬、股票市場等領域 5。它提供了一種量化、客觀的決策方法，有助於克服人類在面對風險和收益時常見的貪婪、恐懼等情緒化偏誤 1。
2. 解讀凱利公式：數學表達式與變數說明
凱利公式有多種表達形式，適用於不同的情境。理解這些形式及其變數的確切含義至關重要。
基礎形式（適用於二元結果賭局）
最廣為人知且最基礎的凱利公式形式適用於結果只有兩種的簡單賭局：要麼贏得特定倍數的回報，要麼輸掉全部投入的賭注。其表達式為：
f* = (bp - q) / b 2
- f*：這是公式的核心輸出，代表凱利比例或最佳投注比例。它指的是，在每一次下注或投資時，應該投入現有總資金的多少比例。例如，f* = 0.2 意味著應投入現有資金的 20% 2。
- b：指淨賠率（Net Odds）。它表示每投入 1 元本金，在獲勝時除了拿回本金外，還能額外贏得多少。這個概念有時會與博彩公司標示的賠率混淆。例如，如果一個賭局的賠率是「1 賠 2」（bet $1 to win $2 in addition to your stake），那麼 b = 2。如果賠率是「1 賠 1」（even money），那麼 b = 1 2。在體育博彩中，b 通常等於小數賠率減 1 7。
- p：指勝率（Win Probability），即單次下注或投資成功的機率，通常以 0 到 1 之間的小數表示 2。
- q：指敗率（Loss Probability），即單次下注或投資失敗的機率，計算方式為 q = 1 - p 2。
公式的核心在於分子 bp - q，這代表了每次下注的期望淨收益率（或稱為「優勢」edge） 52。只有當這個值為正時，凱利公式才會建議投入資金 51。
另一種常見形式（基於歷史回報）
在交易和投資領域，尤其是基於歷史數據回測時，常使用以下形式：
K% = W - 3
- K%：凱利百分比，意義同 f* 8。
- W：獲勝概率（Winning Probability），意義同 p。在實際應用中，通常通過分析過去一段時間（例如最近 40-60 筆交易）的交易記錄來估算，計算方式為：獲利交易次數 / 總交易次數 3。
- R：贏/輸比率（Win/Loss Ratio）。指平均每次獲利金額除以平均每次虧損金額。同樣基於歷史交易記錄計算 3。注意 R 是一個正數。
這兩種形式在基礎情境下是等價的，因為在輸掉全部賭注（損失為 1 倍本金）而贏得 b 倍本金的情況下，R = (b * 本金) / (1 * 本金) = b 3。第二種形式的優勢在於 W 和 R 可以直接從歷史交易數據中計算出來，更便於交易者應用。然而，必須強調的是，這裡的 R 代表的是平均盈虧比，它量化了當你贏的時候，平均能贏多少，相對於輸的時候平均會輸多少。這與基礎公式中的淨賠率 b 在概念上略有不同，但都反映了風險調整後的回報大小。混淆這兩者的定義可能導致計算錯誤 13。
更通用的形式（考慮部分損失和連續市場）
現實中的投資損失往往不是全部本金，且收益和損失的幅度可能不同。因此，凱利公式也演化出更通用的形式：
- 考慮損失率和收益率： f* = p/a - q/b
- 這裡 p 是獲勝機率，q 是失敗機率，a 是失敗時的損失率（例如虧損 25%，則 a=0.25），b 是獲勝時的收益率（例如獲利 20%，則 b=0.2）13。
- 加入虧損比例參數 c： f* = (b*p - c*q) / (c*b)
- 這裡 c 代表每次失敗時實際虧損的比例（例如只虧損投入資金的 50%，則 c=0.5）2。
- 連續時間金融市場形式： f* = (μ - r) / σ²
- 這是將凱利思想應用於金融市場（如股票指數）的理論模型。μ 是資產相對於無風險利率的期望超額年化報酬率，r 是無風險年化利率，σ 是資產年化報酬率的標準差（波動率）6。
這些變體公式的核心思想一脈相承，都是在權衡潛在收益、潛在損失及其發生機率後，尋找能最大化長期複利增長的資金投入比例。理解不同形式的適用場景（賭局 vs. 投資回測 vs. 連續市場模型）及其變數的確切定義，是正確應用凱利公式的基礎。
3. 凱利公式實例演練：簡單易懂的計算與解釋
為了更直觀地理解凱利公式如何運作，以下將通過幾個簡單的例子進行演算和說明。
範例一：不公正的硬幣投擲
- 情境： 假設有一個不公正的硬幣，擲出正面的機率（勝率 p）為 60%（0.6），反面的機率（敗率 q）為 40%（0.4）。規則是：擲出正面，你贏得下注金額的一倍（淨賠率 b = 1）；擲出反面，你輸掉下注金額 6。
- 計算： 使用基礎公式 f* = (bp - q) / b f* = (1 * 0.6 - 0.4) / 1 = 0.6 - 0.4 = 0.2 6
- 解釋： 計算結果 f* = 0.2，意味著凱利公式建議你在每一次投擲時，投入你當時總資金的 20%。為什麼是 20%？因為這個賭局對你有利（期望值 bp - q = 1*0.6 - 0.4 = 0.2 > 0）。凱利公式平衡了獲勝的可能性（60%）和潛在的回報（贏 1 倍）與失敗的可能性（40%）和潛在的損失（輸 1 倍），計算出這個比例可以在長期重複遊戲中最大化你的資金增長速度。如果每次投入超過 20%（例如 50%），雖然單次獲勝可能帶來更高收益，但連續幾次失敗就可能導致資金大幅縮水甚至破產 11。如果每次投入少於 20%（例如 10%），風險較低，但資金的長期增長速度也會相對較慢 11。計算出的 f* 值（0.2）本身也量化了這個機會的「優勢」大小。
範例二：有偏見的骰子
- 情境： 假設一個骰子被動了手腳，擲出 1、2、3 點的機率（勝率 p）為 60%（0.6），擲出 4、5、6 點的機率（敗率 q）為 40%（0.4）。如果你下注「會出現 1、2 或 3」，賠率是 1 賠 1（淨賠率 b = 1）5。
- 計算： f* = (bp - q) / b = (1 * 0.6 - 0.4) / 1 = 0.2 5
- 解釋： 結果與硬幣範例相同，建議投入資金的 20%。值得注意的是，如果骰子的偏見減弱，例如出現 1、2、3 的機率降至 53%（p=0.53, q=0.47），那麼凱利公式的建議比例會顯著降低： f* = (1 * 0.53 - 0.47) / 1 = 0.06 這時僅建議投入資金的 6% 5。這突顯了凱利比例對輸入參數（尤其是勝率 p）的敏感性。微小的勝率變化可能導致最佳投入比例的巨大差異。
範例三：股票投資
- 情境： 你有 100 萬元資金，分析發現某支股票有 60% 的機率（p = 0.6）上漲 20%（收益率 b = 0.2），同時有 40% 的機率（q = 0.4）下跌 25%（損失率 a = 0.25）46。注意這裡的 b 和 a 是百分比。
- 計算： 由於這個情境涉及的是投資收益率和損失率，而非賭局的全贏或全輸，我們使用更通用的投資形式 f = p/a - q/b： f = 0.6 / 0.25 - 0.4 / 0.2 = 2.4 - 2 = 0.4 46
- 解釋： 計算結果 f = 0.4，表示凱利公式建議將總資金的 40% 投入這支股票，也就是 100 萬元 * 40% = 40 萬元。這個公式考慮了盈利和虧損的相對幅度（損失率 a 和收益率 b），而不僅僅是輸贏結果。
範例四：體育博彩
- 情境： 你分析一場足球比賽，認為 A 隊獲勝的真實機率（勝率 p）為 55%（0.55）。某家博彩公司為 A 隊獲勝開出的小數賠率是 2.10。這意味著淨賠率 b = 小數賠率 - 1 = 2.10 - 1 = 1.1。失敗的機率 q = 1 - p = 1 - 0.55 = 0.45 7。
- 計算： f* = (bp - q) / b = (1.1 * 0.55 - 0.45) / 1.1 = (0.605 - 0.45) / 1.1 = 0.155 / 1.1 ≈ 0.141 7
- 解釋： 凱利公式建議投入約 14.1% 的資金押注 A 隊獲勝。如果計算出的 f* 為負數或零，則表示博彩公司開出的賠率相對於你估計的勝率來說並不具備優勢，此時不應下注 6。
通過這些例子可以看出，凱利公式提供了一個基於概率和賠率的量化決策框架。它不僅告訴你是否應該參與，還給出了理論上最優的參與程度。然而，這些計算的有效性完全取決於輸入參數的準確性，這也引出了凱利公式的假設條件與限制。
4. 凱利公式的基石：假設條件與重要限制
儘管凱利公式在理論上提供了一個優雅的解決方案來最大化長期財富增長，但在實際應用中，必須深刻理解其背後的假設條件以及由此產生的限制和風險。忽略這些因素可能導致模型的誤用和潛在的重大損失。
核心假設條件
凱利公式的推導和有效性建立在幾個關鍵的理想化假設之上：
- 準確的概率和賠率信息： 這是最核心也是最難滿足的假設。公式要求使用者能夠精確地知道每一次投資或賭博的真實勝率（p 或 W）和相應的賠率（b 或 R）5。
- 可重複的獨立試驗： 公式假設投資或賭博的機會可以無限次或至少大量地在相同條件（即 p 和 b 固定不變）下重複進行，並且每次試驗的結果都是相互獨立的，不受之前結果的影響 2。
- 資金與賭注可無限分割： 理論上，公式要求資金和賭注可以被無限細分，以便精確地按照計算出的比例 f* 進行投入 2。
- 利潤再投資（複利）： 模型假設每次產生的利潤都會被重新投入到本金中，用於計算下一次的投注額，這是實現長期複利增長的基礎 10。
- 長期視角： 凱利公式的目標是最大化長期的財富增長率，它並不保證任何短期內的結果，甚至可能經歷顯著的短期虧損 1。
- 無摩擦市場： 基礎的凱利公式沒有考慮交易成本（如手續費、滑點）、稅收、以及博彩公司或交易所可能存在的投注上下限等現實摩擦因素 7。
主要限制與風險
上述假設在現實世界中往往難以完全滿足，這就構成了凱利公式應用的主要限制和風險：
- 估計錯誤風險（Estimation Risk）： 這是應用凱利公式時最核心的挑戰。在真實的金融市場或複雜的博弈中，精確預知未來的勝率 p 和賠率 b（或 W 和 R）幾乎是不可能的 5。歷史數據不一定能準確預測未來 25，市場狀況是動態變化的 11，而且人類的判斷容易受到認知偏差（如過度自信）的影響 20。任何對 p 或 b 的估計錯誤，尤其是高估了勝率或潛在回報，都會導致計算出的 f* 偏離最優值，極有可能引發過度投注（overbetting），從而顯著增加鉅額虧損甚至破產的風險 11。這種對輸入參數準確性的極度依賴，被認為是凱利公式實用性的「阿基里斯之踵」。
- 高波動性與巨大回撤（Drawdown）： 即使能夠準確估計參數，嚴格遵循凱利公式（特別是未經調整的「全凱利」）計算出的投注比例也可能非常高，導致投資組合淨值在短期內經歷劇烈的波動和深度的回撤（即從前期高點下跌的幅度）7。這種波動性不僅考驗投資者的心理承受能力，也可能迫使有短期資金需求（如退休、應急）的投資者在不利的時點退出，無法實現凱利的長期目標 5。波動性本身就會侵蝕複利增長，即使算術平均回報率相同，波動越大的策略，其長期幾何平均增長率通常越低。這被稱為「波動性損耗」（Volatility Drag）19。凱利公式試圖在最大化增長和控制這種損耗之間找到平衡點，但全凱利策略的波動性對許多人來說仍然過高。超過凱利最優點的過度投注會同時增加風險並降低長期增長率 19。
- 市場的動態性與非獨立性： 金融市場與理想化的賭局不同。市場的勝率和賠率（預期回報和風險）是動態變化的，受到宏觀經濟、政策、市場情緒等多重因素影響，難以保持恆定 11。此外，市場中的不同投資標的之間往往存在相關性（例如，同一個行業的股票可能同漲同跌），這意味著它們的結果並非相互獨立，增加了系統性風險。基本的凱利公式並未考慮這種相關性，可能導致風險被低估 7。
- 黑天鵝風險： 凱利公式基於對已知概率分佈的計算，無法預測或有效應對那些發生概率極低但一旦發生影響極其巨大的「黑天鵝」事件（如金融危機、戰爭、疫情等）。這類事件可能導致遠超模型預期的損失，對採用高槓桿或高比例凱利策略的投資者尤其危險 9。
- 心理與行為挑戰： 嚴格執行凱利策略需要極高的紀律性。在連續虧損時，凱利公式會要求減少投注比例，這可能與「翻本」的衝動相悖；而在判斷有極大優勢時，公式可能建議投入非常大的比例，這又可能引發恐懼。人類的情緒和直覺往往會干擾理性決策的執行 1。
- 適用性差異： 將源於賭場環境（如二十一點，結果相對二元，規則固定）的公式直接應用於金融市場（結果連續分佈，規則動態變化，損失可能非 100%）存在理論和實踐上的差異 15。
由於這些限制，特別是估計風險和高波動性，許多專業人士和有經驗的投資者建議不要直接使用全凱利公式計算出的比例，而是採用**分數凱利（Fractional Kelly）**策略，例如只投入計算結果的 50%（半凱利）、30% 或 25%（1/4 凱利）5。這樣做可以在一定程度上保留凱利公式優化增長的好處，同時顯著降低波動性和因估計錯誤導致的風險。例如，半凱利策略通常能獲得全凱利約 75% 的長期回報，但波動性只有全凱利的一半左右 19。同時，設定一個絕對的單筆投資上限（如不超過總資金的 20% 或 25%）也是常見的風險控制手段 5。
5. 資金管理策略比一比：凱利公式 vs. 其他方法
選擇合適的資金管理策略對於投資或博弈的長期成功至關重要。凱利公式只是眾多方法中的一種，了解其與其他常見策略（如固定金額投注和固定比例投注）的區別、優劣，有助於做出更明智的選擇。
主要資金管理策略類型
- 凱利公式 (Kelly Criterion):
- 核心目標: 最大化長期財富的幾何增長率。
- 投注規模決定方式: 根據對勝率 (p) 和淨賠率 (b) 或平均盈虧比 (R) 的估計，動態計算出最佳的投入資金比例 (f*)。優勢越大，投入比例越高（但有上限）。
- 特點: 理論最優，與機會優勢掛鉤，內含風險控制（避免破產）。
- 固定金額投注 (Fixed Amount Betting / Level Stakes):
- 核心目標: 簡單易行，控制單次損失金額。
- 投注規模決定方式: 無論總資金多少或機會優劣，每次都投入一個預先設定好的固定金額（例如，每次 100 元）。
- 特點: 最簡單，單次風險固定，但無法最大化利用優勢，資金增長時效率降低，資金縮水時相對風險增大 22。
- 固定比例投注 (Fixed Percentage Betting / Fixed Fractional):
- 核心目標: 簡單易行，投注額隨資金規模自動調整。
- 投注規模決定方式: 每次都投入總資金的一個固定百分比（例如，每次 1% 或 2%），這個比例是預設的，不隨機會優劣變化。
- 特點: 實現了投注額與資金規模的聯動，比固定金額更能適應資金變化，也有一定的破產保護作用，但未根據機會優勢優化比例 12。
策略比較分析
下表總結了這三種主要策略的關鍵特徵、優點和缺點：
深入比較與選擇考量
- 凱利 vs. 固定比例： 固定比例投注可以看作是凱利公式的一種簡化或未經優化的版本。兩者都採用按比例投注的方式，使得投注額能隨著資金規模變化 12。然而，凱利的比例 f* 是基於對當前機會優勢（勝率和賠率）的評估而動態計算出來的最優解，而固定比例投注的比例則是預先設定且固定不變的 29。這意味著固定比例投注無法像凱利公式那樣，在優勢大時加大投入、優勢小時減少投入，因此其長期增長率理論上無法達到凱利的最優水平。
- 凱利 vs. 固定金額： 固定金額投注在資金增長時，實際投入比例會逐漸下降，限制了複利效應；而在資金縮水時，固定金額的損失佔總資金的比例會上升，增加了風險。凱利公式通過始終按比例投注來避免這些問題，更好地利用複利並控制相對風險。然而，固定金額投注的絕對簡單性和可預測的單次損失上限，使其在某些情況下（如娛樂性博彩或極度厭惡風險）具有吸引力。
- 實用性考量： 儘管凱利公式在理論上具有優越性，但其對精確輸入的高度依賴和潛在的高波動性，使得固定金額和固定比例投注因其簡單性和更平穩的表現而在實踐中仍被廣泛使用 27。對於那些難以準確估計勝率和賠率，或者風險承受能力較低的參與者來說，這些更簡單的策略可能是更務實的選擇。特別是在需要快速決策和執行大量投注的場景（例如高頻交易或某些體育博彩策略），固定投注的效率優勢可能更為突出 29。
總之，沒有絕對「最好」的資金管理策略，只有最適合特定目標、風險偏好和執行能力的策略。凱利公式提供了一個理論上的最優增長路徑，但需要謹慎使用並可能需要調整（如分數凱利）。固定金額和固定比例則提供了更簡單、波動性更低的替代方案，但犧牲了部分潛在的長期增長。
6. 凱利公式的多元宇宙：不同領域的實際應用
凱利公式的核心思想——根據優勢大小來決定投入比例以最大化長期增長——具有廣泛的適用性，遠不止於其最初的資訊理論背景或賭場應用。以下是凱利公式在不同領域的一些實際應用：
- 投資（Investing）
- 資產配置（Asset Allocation）： 這是凱利公式在金融領域最常見的應用之一。投資者可以利用凱利公式（或其變體）來決定在不同資產類別（如股票、債券、房地產、大宗商品）之間如何分配資金，或者在單一資產類別中（如股票組合）為每隻股票分配多少比例的倉位 5。這需要對各資產的預期回報（μ 或 W*R）和風險（波動率 σ 或勝率 W、盈虧比 R）進行估計 6。
- 投資組合管理（Portfolio Management）： 雖然基礎凱利公式針對單一賭注，但已有研究將其擴展到多個資產的投資組合管理中，這需要考慮資產之間的相關性，計算更為複雜 7。一些傳奇投資者，如沃倫·巴菲特、查理·芒格和比爾·格羅斯，據稱在其投資決策中運用了凱利公式的變體或其核心思想，尤其是在機會極佳時敢於下重注 5。
- 風險投資（Venture Capital）： 在風險投資領域，凱利公式可以被用來評估對每個初創公司或項目應該投入多少比例的基金，基於對其成功概率和潛在回報（例如成為獨角獸或實現高倍數退出）的估計 16。
- 賭博（Gambling）
- 體育博彩（Sports Betting）： 這是凱利公式非常流行的應用領域。博彩者利用自己對比賽結果的分析（估計的勝率 p）與博彩公司提供的賠率（計算出淨賠率 b）進行比較，如果認為存在優勢（即預期值為正），則使用凱利公式計算最佳投注比例 f* 6。
- 撲克（Poker）： 在撲克遊戲中，玩家可以根據自己手牌的強度、對手可能的牌力以及底池賠率（pot odds），運用凱利思想來決定下注或跟注的大小 16。
- 二十一點（Blackjack）： 著名數學家愛德華·索普（Edward Thorp）在其著作《擊敗莊家》（Beat the Dealer）中推廣了算牌術，並結合凱利公式來決定在對自己有利的情況下（例如牌堆中剩餘大牌較多時）應該下多大的注 15。
- 賽馬（Horse Racing）： 凱利本人最初的論文就是以一個擁有賽馬內幕消息的賭徒為例來闡述其理論 8。賽馬博彩者可以根據自己對馬匹實力、狀態、場地、騎師等因素的分析，估算出每匹馬的獲勝概率，再結合賠率，使用凱利公式決定投注策略。
- 交易（Trading）
- 量化交易（Quantitative Trading）： 在算法交易和量化策略中，凱利公式（或其變體，如考慮連續時間和波動率的形式 f* = (μ - r) / σ²）可以被用來動態調整倉位大小 17。策略的回測結果可以用來估計勝率（W）和平均盈虧比（R），然後代入公式計算每次交易應該投入的資金比例 12。
- 期貨交易（Futures Trading）： 期貨交易者可以利用凱利公式來管理倉位，基於對市場方向的判斷（估計 p）和設定的止盈止損點（估計 b 或 R），計算合適的合約數量 15。
- 倉位管理（Position Sizing）： 無論是主觀交易還是系統交易，凱利公式都提供了一個量化的框架來思考「應該買多少」的問題，幫助交易者避免因情緒或隨意性導致的倉位過輕或過重 2。
- 資訊理論（Information Theory）
- 信道容量（Channel Capacity）： 凱利公式的根源在於資訊理論，它與信道容量的概念有關，即在有噪音的信道中，如何最優地傳輸信息以最大化傳輸速率同時最小化錯誤率 1。凱利將這個思想應用到了賭博和投資的回報率優化上。
儘管應用領域廣泛，但必須重申，凱利公式的有效性始終取決於其核心假設（特別是概率和賠率的準確性）在特定應用場景下的滿足程度。在實際應用中，往往需要根據具體情況對公式進行調整或謹慎使用（例如採用分數凱利）。
7. 總結：凱利公式的核心洞見與實用價值
凱利公式作為一個源自資訊理論、後被廣泛應用於賭博和投資領域的數學工具，為資金管理和風險控制提供了深刻的洞見和實用的框架。儘管其應用存在假設條件和限制，但其核心理念對於任何尋求在不確定性中做出理性決策的人都具有重要的啟發意義。
核心概念與洞見
- 目標：最大化長期複利增長： 凱利公式的獨特之處在於其目標並非最大化單次期望收益，而是通過優化財富的對數期望值，來最大化長期的幾何平均增長率（複利增長）1。這對於需要進行一系列決策的投資和博弈至關重要。
- 方法：基於「優勢」的最優比例投注： 公式的核心是量化「優勢」（正期望值），即 bp - q 或 W - (1-W)/R 6。它建議投入的資金比例應與所擁有的優勢大小成正比，同時考慮到賠率的大小 6。優勢越大，建議投入比例越高，反之亦然。如果沒有優勢（期望值≤0），則不應投入 6。
- 內建風險管理：避免毀滅性損失： 通過計算最佳比例而非固定金額，凱利公式確保了投注額會隨著總資金的增減而調整。理論上，只要不投入 100% 的資金，即使遭遇連續虧損，總資金也不會歸零，從而避免了破產的風險 6。它強調了「留在牌桌上」的重要性 69。
- 量化決策，克服情緒偏誤： 凱利公式提供了一個客觀、數學化的決策框架，有助於避免因貪婪（過度投注）或恐懼（投注不足或錯失良機）等情緒因素導致的非理性行為 1。
實用價值與注意事項
儘管凱利公式具有強大的理論基礎和廣泛的應用潛力，但在實踐中，它更應被視為一個指導性框架而非必須嚴格遵守的教條。其主要實用價值體現在：
- 提供資金配置的量化思路： 它迫使使用者思考並量化投資/賭博的勝率和潛在盈虧比，從而更理性地評估機會的優劣。
- 強調風險控制的重要性： 它清晰地揭示了過度投注的危害，即使在有利可圖的機會面前，也需要控制投入比例以防範風險。
- 作為比較不同機會的基準： 計算出的凱利比例 f* 可以作為一個指標，用來比較不同投資或博弈機會的相對吸引力。
然而，使用者必須時刻牢記其局限性：
- 輸入參數的準確性是關鍵： 公式的輸出結果對輸入的勝率和賠率極其敏感。現實中這些參數難以精確估計，錯誤的估計可能導致嚴重後果 34。
- 高波動性可能難以承受： 全凱利策略可能帶來劇烈的資金波動和深度回撤，超出許多人的風險承受能力 19。
- 現實世界的複雜性： 市場的動態性、資產的相關性、交易成本、稅收、流動性限制以及黑天鵝事件等，都是基礎凱利公式未完全涵蓋的因素 34。
因此，在實際應用中，審慎和調整是必要的。常見的做法包括：
- 使用分數凱利（Fractional Kelly）： 投入計算比例的一部分（如 1/2、1/4），以降低波動性和估計錯誤的風險 5。
- 結合其他風險管理工具： 如設定止損點、最大單筆投入上限（如不超過總資金的 20-25%）5、多元化投資等 5。
- 持續監控與調整： 定期重新評估勝率和賠率，並根據市場變化調整策略 11。
總而言之，凱利公式
引用的著作
- 模型凯利公式（通俗解读） 原创 - CSDN博客, 檢索日期：4月 11, 2025， https://blog.csdn.net/vviccc/article/details/140588751
- 凯利公式, 檢索日期：4月 11, 2025， http://doc.fens.me/r-meeting-2019-zhangdan.pdf
- 用R语言解读凯利公式 - 粉丝日志, 檢索日期：4月 11, 2025， http://blog.fens.me/finance-kelly/
- 凯利公式的应用，投资和投机的区别| 北美老劉Dr. Liu ResearchTIPS - YouTube, 檢索日期：4月 11, 2025， https://www.youtube.com/watch?v=PFcN0D0pYVE
- Kelly Criterion - Overview, Formula, & Analysis of Results, 檢索日期：4月 11, 2025， https://corporatefinanceinstitute.com/resources/data-science/kelly-criterion/
- Kelly criterion - Wikipedia, 檢索日期：4月 11, 2025， https://en.wikipedia.org/wiki/Kelly_criterion
- Sports Betting: Understanding the Kelly Criterion | by William Finney | Medium, 檢索日期：4月 11, 2025， https://medium.com/@pelicanlabs/sports-betting-understanding-the-kelly-criterion-fdca4d0f029e
- What Is the Kelly Criterion? - Investopedia, 檢索日期：4月 11, 2025， https://www.investopedia.com/terms/k/kellycriterion.asp
- 什麼是凱利公式? | 如何在技術分析中使用它? - AvaTrade, 檢索日期：4月 11, 2025， https://www.avatrade.com.tw/education/technical-analysis-indicators-strategies-zh-hant/the-kelly-criterion
- 凱利公式是什麼?凱利公式如何應用於資產管理與配置? - 財富101：你的理財朋友, 檢索日期：4月 11, 2025， https://rich101.tw/kelly_criterion_and_asset_management/
- 【主編碎碎念】資金控管（下）：藉由凱利公式決定資金配置 - FinSight 趨勢觀點, 檢索日期：4月 11, 2025， https://blog.finsight.investments/2022/06/28/kellycriterion/
- Using the Kelly Criterion for Asset Allocation and Money Management - Investopedia, 檢索日期：4月 11, 2025， https://www.investopedia.com/articles/trading/04/091504.asp
- The Kelly Criterion: You Don't Know the Half of It | CFA Institute Enterprising Investor, 檢索日期：4月 11, 2025， https://blogs.cfainstitute.org/investor/2018/06/14/the-kelly-criterion-you-dont-know-the-half-of-it/
- 凱利公式：投資最佳比例的資本管理策略 - 方格子, 檢索日期：4月 11, 2025， https://vocus.cc/article/6775f30afd897800015543aa
- 凱利公式-賭博與投機者的資金控管經典 - 勳仔的理財小角落, 檢索日期：4月 11, 2025， https://shiuncorner.com/2022/05/20/kelly_criterion/
- The Kelly Criterion and Its Application to Portfolio Management | by Jatin Navani | Medium, 檢索日期：4月 11, 2025， https://medium.com/@jatinnavani/the-kelly-criterion-and-its-application-to-portfolio-management-3490209df259
- What is the Kelly Criterion? | CQF, 檢索日期：4月 11, 2025， https://www.cqf.com/blog/quant-finance-101/what-is-the-kelly-criterion
- Understanding the Kelly Criterion in Algo-Trading - ALGOGENE, 檢索日期：4月 11, 2025， https://algogene.com/community/post/175
- The Kelly Criterion - Quantitative Trading - Nick Yoder, 檢索日期：4月 11, 2025， https://nickyoder.com/kelly-criterion/
- 認識凱利標準：投注大小計算公式、如何應用於交易 - WOO, 檢索日期：4月 11, 2025， https://woox.io/zh/blog/when-math-is-mathing-discussing-the-kelly-bet-size-criterion-zh
- 凱利公式與合約風控的一種方式 - DA Labs, 檢索日期：4月 11, 2025， https://dalabs.org/guide/kelly-criterion/
- 重温凯利公式：风险评估 - Pinnacle, 檢索日期：4月 11, 2025， https://www.pinnacle.com/betting-resources/zh-cn/betting-strategy/revisiting-the-kelly-criterion-part-1-a-risk-assessment/nj2jwgv9yhxjp6gj
- 技術分析找買點（一）期望值與凱利公式 - 玉山證券, 檢索日期：4月 11, 2025， https://www.esunsec.com.tw/article/post/54
- 凱利公式助你事半功倍, 檢索日期：4月 11, 2025， https://nie.merit-times.com.tw/newsdetail_tw.php?id=9604
- 凱利公式是什麼？真能賺大賠小財富自由？網一看搖頭：統計完已破產 - Yahoo股市, 檢索日期：4月 11, 2025， https://tw.stock.yahoo.com/news/%E5%87%B1%E5%88%A9%E5%85%AC%E5%BC%8F%E6%98%AF%E4%BB%80%E9%BA%BC-%E7%9C%9F%E8%83%BD%E8%B3%BA%E5%A4%A7%E8%B3%A0%E5%B0%8F%E8%B2%A1%E5%AF%8C%E8%87%AA%E7%94%B1-%E7%B6%B2-%E7%9C%8B%E6%90%96%E9%A0%AD-%E7%B5%B1%E8%A8%88%E5%AE%8C%E5%B7%B2%E7%A0%B4%E7%94%A2-073300350.html
- The Risk-Constrained Kelly Criterion: From the foundations to trading - QuantInsti Blog, 檢索日期：4月 11, 2025， https://blog.quantinsti.com/risk-constrained-kelly-criterion/
- Revisiting the Kelly Criterion Part 1: A risk assessment - Pinnacle, 檢索日期：4月 11, 2025， https://www.pinnacle.com/betting-resources/en/betting-strategy/revisiting-the-kelly-criterion-part-1-a-risk-assessment/nj2jwgv9yhxjp6gj
- Kelly criterion in sports betting: Examples, Tips and Risks - TheTrader, 檢索日期：4月 11, 2025， https://thetrader.bet/academy/systems-and-tips/kelly-criterion/
- Flat Betting vs Kelly Criterion: Best Strategy for +EV Bets - OddsShopper, 檢索日期：4月 11, 2025， https://www.oddsshopper.com/articles/betting-101/flat-betting-vs-kelly-criterion-best-strategy-for-ev-bets-y10
- Reasons to Ignore the Kelly Criterion - Analytics.Bet, 檢索日期：4月 11, 2025， https://analytics.bet/articles/reasons-to-ignore-the-kelly-criterion/
- How To Use Kelly Criterion In Betting - Full Expert Guide - ThePuntersPage, 檢索日期：4月 11, 2025， https://www.thepunterspage.com/kelly-criterion-betting/
- Do you use the Kelly criteria? How do you account for the cost of time? - Reddit, 檢索日期：4月 11, 2025， https://www.reddit.com/r/algotrading/comments/1bvo04z/do_you_use_the_kelly_criteria_how_do_you_account/
- Kelly Criterion vs. Level Staking in Sports Betting and Trading, 檢索日期：4月 11, 2025， https://tradeonsports.co.uk/kelly-criterion-vs-level-staking-in-sports-betting-and-trading/
- 一文读懂凯利公式—一个多次被巴菲特芒格引用的投资方法 - CSDN博客, 檢索日期：4月 11, 2025， https://blog.csdn.net/richardzhutalk/article/details/125027518
- 凱利公式是什麼？幫你決定最佳資金管理配置比例！美股交易如何實際應用, 檢索日期：4月 11, 2025， https://finguider.cc/Article/ArticleIndex/341
- 【轉載】以數學眼光透視投資中的風險管理 - Medium, 檢索日期：4月 11, 2025， https://medium.com/@xmy1108/%E4%BB%A5%E6%95%B8%E5%AD%B8%E7%9C%BC%E5%85%89%E9%80%8F%E8%A6%96%E6%8A%95%E8%B3%87%E4%B8%AD%E7%9A%84%E9%A2%A8%E9%9A%AA%E7%AE%A1%E7%90%86-abc5a9602629
- 股市中的數學魔法，運用凱利公式調整投資比例，避免波動性損耗 - YouTube, 檢索日期：4月 11, 2025， https://www.youtube.com/watch?v=j7fQyZt51qM
- 資金管理 - TEJ台灣經濟新報, 檢索日期：4月 11, 2025， https://www.tejwin.com/insight/%E3%80%90%E5%AF%A6%E6%88%B0%E6%87%89%E7%94%A8%E3%80%91%E8%B3%87%E9%87%91%E7%AE%A1%E7%90%86/
- What is Kelly Criterion and How do Investors use it? - StartupTalky, 檢索日期：4月 11, 2025， https://startuptalky.com/kelly-criterion-explained/
- Analysis of The Kelly Criterion in Practice - Alpha Theory, 檢索日期：4月 11, 2025， https://www.alphatheory.com/blog/kelly-criterion-in-practice-1
- Kelly Criterion vs Optimal F: Best Strategies for Money Management and Risk Control, 檢索日期：4月 11, 2025， https://www.quantifiedstrategies.com/kelly-criterion-vs-optimal-f/
- Apply the Kelly Criterion to Investing and Your Portfolio Sizing - Old School Value, 檢索日期：4月 11, 2025， https://www.oldschoolvalue.com/investing-strategy/kelly-criterion-investing-portfolio-sizing/
- Kelly Criterion - Hacker News, 檢索日期：4月 11, 2025， https://news.ycombinator.com/item?id=26834333
- vocus.cc, 檢索日期：4月 11, 2025， https://vocus.cc/article/6775f30afd897800015543aa#:~:text=%E5%87%B1%E5%88%A9%E5%85%AC%E5%BC%8F%E6%98%AF%E4%B8%80%E5%80%8B%E5%BC%B7%E5%A4%A7,%E5%87%BA%E7%8F%BE%E7%9A%84%E8%B3%87%E6%9C%AC%E6%B3%A2%E5%8B%95%E6%83%85%E5%BD%A2%E3%80%82
- 凱利公式 - MBA智库百科, 檢索日期：4月 11, 2025， https://wiki.mbalib.com/zh-tw/%E5%87%AF%E5%88%A9%E5%85%AC%E5%BC%8F
- [筆記]凱利公式(Kelly criterion) - 方格子, 檢索日期：4月 11, 2025， https://vocus.cc/article/649beed0fd897800019bd990
- Mastering the Kelly Criterion: A Comprehensive Guide for Investors, 檢索日期：4月 11, 2025， https://pictureperfectportfolios.com/mastering-the-kelly-criterion-a-comprehensive-guide-for-investors/
- The Kelly criterion - Junto Investments, 檢索日期：4月 11, 2025， https://junto.investments/kelly-criterion/
- VC Portfolio Size: A Kelly Criterion Approach | by Nicola Weiroster | Medium, 檢索日期：4月 11, 2025， https://medium.com/@nicola-weiroster/vc-portfolio-size-a-kelly-criterion-approach-2f18791a2832
- 「稳赚不赔」的凯利公式：永远给自己留一手牌|【经纬低调分享】 - QQ News, 檢索日期：4月 11, 2025， https://news.qq.com/rain/a/20240312A0392800
- 別去賭場了，你永遠贏不了“凱利公式” - iQVALUE 智股網, 檢索日期：4月 11, 2025， https://www.iqvalue.com/tips/article?id=449&tipsCategoryId=8
- 凯利公式启示：赢得胜利的唯一法则是“不赌” - 新浪财经, 檢索日期：4月 11, 2025， https://finance.sina.cn/fund/jjgdxw/2023-08-20/detail-imzhuhcq0400126.d.html?from=wap
- 讓你投資賭博永遠大賺小賠！神奇的「凱利公式」 - YouTube, 檢索日期：4月 11, 2025， https://m.youtube.com/watch?v=p0srBD20Lp4
- How to use Kelly Criterion for betting | Betting strategy - Pinnacle, 檢索日期：4月 11, 2025， https://www.pinnacle.com/betting-resources/en/betting-strategy/how-to-use-kelly-criterion-for-betting/2bt2lk6k2qwq7qj8
- What is the Kelly Criterion and How Does it Apply to Sports Betting? - betstamp, 檢索日期：4月 11, 2025， https://betstamp.com/education/kelly-criterion
- How to Use Kelly Criterion Betting Formula to Maximize Profits - SiGMA World, 檢索日期：4月 11, 2025， https://sigma.world/play/blog/kelly-criterion-in-betting/
- Understanding How to Use Kelly Criterion - Outlier - Smarter Sports Betting, 檢索日期：4月 11, 2025， https://help.outlier.bet/en/articles/8269411-understanding-how-to-use-kelly-criterion
- Kelly Criterion Calculator & Betting Tools - OddsJam, 檢索日期：4月 11, 2025， https://oddsjam.com/betting-calculators/kelly-criterion
- The application of Kelly Criterion in lottery mathematical statistics, 檢索日期：4月 11, 2025， https://madison-proceedings.com/index.php/aemr/article/download/1382/1378/2877
- 如何计算和应用凯利公式进行仓位管理？这些管理方法有哪些实际应用？ - 和讯网, 檢索日期：4月 11, 2025， https://m.hexun.com/futures/2024-10-04/214830893.html
- 交易里的神奇公式—凯利公式| EBC金融集团, 檢索日期：4月 11, 2025， https://www.ebc.com/zh-cn/jinrong/89.html
- Use the Kelly criterion for optimal position sizing - PyQuant News, 檢索日期：4月 11, 2025， https://www.pyquantnews.com/the-pyquant-newsletter/use-kelly-criterion-optimal-position-sizing
- Kelly Criterion Resources - Quant Codex, 檢索日期：4月 11, 2025， https://moontowerquant.com/kelly-criterion-resources
- Arbitrage vs. Kelly Criterion vs. EV Maximization : r/quant - Reddit, 檢索日期：4月 11, 2025， https://www.reddit.com/r/quant/comments/1ejz6hx/arbitrage_vs_kelly_criterion_vs_ev_maximization/
- Quant Radio: Kelly Criterion Applications in Trading Systems - YouTube, 檢索日期：4月 11, 2025， https://www.youtube.com/watch?v=wJ6bgtwmrNU
- 凯利公式学习笔记原创 - CSDN博客, 檢索日期：4月 11, 2025， https://blog.csdn.net/u012724887/article/details/98787898
- How to Bet Using the Kelly Criterion - Matchbook Insights, 檢索日期：4月 11, 2025， https://insights.matchbook.com/betting-strategy/the-kelly-criterion/
- What is the Kelly Criterion in Sports Betting? - OddsJam, 檢索日期：4月 11, 2025， https://oddsjam.com/betting-education/what-is-the-kelly-criterion-in-sports-betting
- 凯利公式Kelly Criterion - moomoo 社区, 檢索日期：4月 11, 2025， https://www.moomoo.com/hans/community/feed/kelly-criterion-113133705297926
- 凱利公式（Kelly formula）: 長期投資的贏家方程式, 檢索日期：4月 11, 2025， https://www.cgu.edu.tw/ft/ServerFile/GetByKindEditor/8fd0338e-7e31-4b2b-afc8-3a18fe266be1?subjectId=61290
- This formula is the true secret to Buffett's investment success., 檢索日期：4月 11, 2025， https://news.futunn.com/en/post/55263435/this-formula-is-the-true-secret-to-buffett-s-investment
- The Kelly criterion: exploiting favorable bets and the stock market - UC Berkeley Statistics, 檢索日期：4月 11, 2025， https://www.stat.berkeley.edu/~aldous/Real_World/kelly.html
- 凱利公式- 維基百科，自由的百科全書, 檢索日期：4月 11, 2025， https://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E5%87%B1%E5%88%A9%E5%85%AC%E5%BC%8F
- 凯利公式- 维基百科，自由的百科全书, 檢索日期：4月 11, 2025， https://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E5%87%B1%E5%88%A9%E5%85%AC%E5%BC%8F
- Talk:Kelly criterion - Wikipedia, 檢索日期：4月 11, 2025， https://en.wikipedia.org/wiki/Talk%3AKelly_criterion
- [Question] ELI5 The Kelly Criterion Proof : r/statistics - Reddit, 檢索日期：4月 11, 2025， https://www.reddit.com/r/statistics/comments/10teovl/question_eli5_the_kelly_criterion_proof/
- Money Management via the Kelly Criterion - QuantStart, 檢索日期：4月 11, 2025， https://www.quantstart.com/articles/Money-Management-via-the-Kelly-Criterion/
- Good and bad properties of the Kelly criterion, 檢索日期：4月 11, 2025， https://www.stat.berkeley.edu/~aldous/157/Papers/Good_Bad_Kelly.pdf
- Risk-Constrained Kelly Gambling - Stanford University, 檢索日期：4月 11, 2025， https://stanford.edu/~boyd/papers/pdf/kelly.pdf
- Kelly betting: why do we maximize the expected value of the logarithm of wealth?, 檢索日期：4月 11, 2025， https://math.stackexchange.com/questions/4360475/kelly-betting-why-do-we-maximize-the-expected-value-of-the-logarithm-of-wealth
- 「稳赚不赔」的凯利公式：永远给自己留一手牌 - 新浪财经, 檢索日期：4月 11, 2025， https://finance.sina.cn/2024-03-12/detail-inanaari4492958.d.html
- ELI5: The Kelly Criterion. : r/explainlikeimfive - Reddit, 檢索日期：4月 11, 2025， https://www.reddit.com/r/explainlikeimfive/comments/71jqcu/eli5_the_kelly_criterion/
- The Kelly Betting System for Favorable Games. - UCLA Department of Mathematics, 檢索日期：4月 11, 2025， https://www.math.ucla.edu/~tom/stat596/Kelly.pdf
- Kelly Criterion Applications in Trading Systems - QuantConnect.com, 檢索日期：4月 11, 2025， https://www.quantconnect.com/research/18312/kelly-criterion-applications-in-trading-systems/
- 凯利公式的理解最重要补充, 檢索日期：4月 11, 2025， https://blog.sina.com.cn/s/blog_7a07ce500102xinb.html
- Understanding Kelly for Portfolio Management - Alpha Theory, 檢索日期：4月 11, 2025， https://www.alphatheory.com/blog/understanding-kelly-for-portfolio-management
- Kelly Criterion in real trading - Quantitative Finance Stack Exchange, 檢索日期：4月 11, 2025， https://quant.stackexchange.com/questions/80498/kelly-criterion-in-real-trading
- The Kelly Criterion Explained | StreetFins®, 檢索日期：4月 11, 2025， https://streetfins.com/the-kelly-criterion-explained/
- Kelly Formula / 凱利公式－ 風險控管, 檢索日期：4月 11, 2025， https://captainvincent.github.io/kelly-formula/index.html
- 數學家的賭局：凱利公式推導證明！ - 幣圖誌Bituzi - 挑戰市場規則, 檢索日期：4月 11, 2025， https://www.bituzi.com/2013/06/kellyproof.html
- 鄧力文- 以凱利公式分析比特幣| Exchange² - 星島頭條, 檢索日期：4月 11, 2025， https://www.stheadline.com/article/3404546/%E9%84%A7%E5%8A%9B%E6%96%87-%E4%BB%A5%E5%87%B1%E5%88%A9%E5%85%AC%E5%BC%8F%E5%88%86%E6%9E%90%E6%AF%94%E7%89%B9%E5%B9%A3-Exchange
- What is Kelly Criterion? The Must Know Concepts for Bankroll Management - YouTube, 檢索日期：4月 11, 2025， https://www.youtube.com/watch?v=fSbhJvY2ge4
- 关于凯利公式 - 集思录, 檢索日期：4月 11, 2025， https://www.jisilu.cn/question/455060?gopage-true__page-1__item_id=4117335#!answer_4117335
- 凯利公式的应用- chengjon - 博客园, 檢索日期：4月 11, 2025， https://www.cnblogs.com/treasury-manager/p/18784632
- Kelly criterion - Wealth-Lab Wiki, 檢索日期：4月 11, 2025， https://www2.wealth-lab.com/wl5wiki/psKelly.ashx
- The Kelly criterion, capital market parabola & the almighty Sharpe ratio - Outcast Beta, 檢索日期：4月 11, 2025， https://outcastbeta.com/the-kelly-criterion-capital-market-parabola-the-almighty-sharpe-ratio/
- The Kelly criterion in the presence of uncertainty about risk - Outcast Beta, 檢索日期：4月 11, 2025， https://outcastbeta.com/the-kelly-criterion-in-the-presence-of-uncertainty-about-risk/
- Why Retail Traders Should Avoid The Kelly Criterion Method : r/options - Reddit, 檢索日期：4月 11, 2025， https://www.reddit.com/r/options/comments/mnhrj9/why_retail_traders_should_avoid_the_kelly/
- 凱利法則風險控制系統__臺灣博碩士論文知識加值系統, 檢索日期：4月 11, 2025， https://ndltd.ncl.edu.tw/cgi-bin/gs32/gsweb.cgi/login?o=dnclcdr&s=id=%22111NYCU5449029%22.&searchmode=basic
- 研發的價值--現代因子模型最棘手的異常現象 - 方格子, 檢索日期：4月 11, 2025， https://vocus.cc/article/6378d470fd897800010956a1
- 搜尋簡報|傷亡精算協會, 檢索日期：4月 11, 2025， https://www.casact.org/zh-TW/professional-education/presentation-search?page=55
- 新加坡證券市場相關制度, 檢索日期：4月 11, 2025， https://www.twse.com.tw/staticFiles/product/publication/0003000172.pdf
- 百家樂10 30打法- www.mmot.com.tw, 檢索日期：4月 11, 2025， https://www.mmot.com.tw/?GameID=2025-03-23/xihrnv.html
- Untitled, 檢索日期：4月 11, 2025， http://file.finance.sina.com.cn/hkdata98/hk/hk_realtime_announcement/news/20190429/003479759-0.PDF
- Sheet1 - 南开大学图书馆, 檢索日期：4月 11, 2025， https://lib.nankai.edu.cn/_upload/article/files/10/19/3bf345724299939616b3ffdf1de3/a51f0040-1c6c-439f-ba73-39901d94a048.xls
- The Kelly Criterion : r/AskStatistics - Reddit, 檢索日期：4月 11, 2025， https://www.reddit.com/r/AskStatistics/comments/1fpoovs/the_kelly_criterion/
- When and why should you use the Kelly criterion? - LessWrong, 檢索日期：4月 11, 2025， https://www.lesswrong.com/posts/qXvj6abkc9eqPjKaB/when-and-why-should-you-use-the-kelly-criterion
- The Kelly Criterion - YouTube, 檢索日期：4月 11, 2025， https://www.youtube.com/watch?v=-9JM9suCIHs
- Can Someone Explain Kelly's Criterion and whether it actually maximizes long-run expected utility? : r/EffectiveAltruism - Reddit, 檢索日期：4月 11, 2025， https://www.reddit.com/r/EffectiveAltruism/comments/193didu/can_someone_explain_kellys_criterion_and_whether/
- Positive EV Sports Bet Sizing: Why Units, Flat Betting, and Kelly Criterion are Not Enough, 檢索日期：4月 11, 2025， https://www.youtube.com/watch?v=8KVV7YB9Dwc
- www.oddsshopper.com, 檢索日期：4月 11, 2025， https://www.oddsshopper.com/articles/betting-101/flat-betting-vs-kelly-criterion-best-strategy-for-ev-bets-y10#:~:text=Typically%2C%20bettors%20choose%20a%20fixed,equal%2C%20reducing%20complexity%20and%20risk.
- 那些來自賭場的交易策略(下) - 若辛老師, 檢索日期：4月 11, 2025， https://scantrader.com/article/016a918cdc950000532b000000000000
- 淺談部位管理與資金(策略)管理 - 量化思維QuantBrains, 檢索日期：4月 11, 2025， https://quantbrains.club/2017/03/19/%E6%B7%BA%E8%AB%87%E9%83%A8%E4%BD%8D%E7%AE%A1%E7%90%86%E8%88%87%E8%B3%87%E9%87%91%E7%AE%A1%E7%90%86/
