心統 | 推論統計 | t 檢定 | 單一、相依、獨立樣本

t檢定使用時機：不知道母群的標準差。
(備註：二項分配只適用z檢定，因其標準差是數學理論推導出來的)

不知道母群標準差，該怎麼解決？

用s^{^}取代σ(因s^{^}是σ的不偏估計數)。雖然s^{^}會趨近於σ，但因為s^{^}的抽樣分配是一個正偏態，若用z檢定的方式，我們會高估z值。因此，我們使用t檢定來解決這個問題。

s^、t檢定公式

s^的抽樣分配：正偏態，會因樣本數越大趨近常態

t檢定裡的重要概念：自由度

自由度的意思是可以任意填寫不同觀測值的個數。例如我們3個人的身高平均數是160cm，已知A是150cm，B是170cm，試問C的身高為何？我們可以推倒答案是160cm。所以在已知平均數的狀況下，A、B兩位的身高我可以任意決定數值，但C就只能存在一個數值。因此自由度是2，也就是N-1。

自由度(df) = N-1

t分配

t_crit = t_p,df

不同的自由度的t分配

下面網站為查t-table的網站：

t檢定單一樣本

若我們今天想要觀察方法有沒有效，我們不能只有實驗組沒有對照組。因為根據霍桑效應，他發現只要被觀察，數據就會被改變。因此我們需要兩筆樣本資料來做分析。

t檢定相依樣本 / 配對樣本

同一批人或有相似性質的人(例：雙胞胎)做比對。因有兩個樣本，所以會有兩個數字，要如何計算？我們會使用差異分數的方式。

老師覺得期末考全班考得比期中考好，所以抽了10位學生來做比較，試問老師的猜測是否合理？(A為期中考樣本，B為期末考樣本)

有算差異分數以外的方式嗎？用Variance Sum Law直接算

效果量 Cohen's d

效果量有分 r family 和 d family。我們這邊要介紹的是 d family 中的 Cohen's。Cohen's 在算的是平均數差異是幾個標準差。

s^{^}要帶哪一個呢？s^{^}_A、s^{^}_B還是s^{^}_D？答案是都可以喔！

t檢定獨立樣本

兩群不同樣本的人做研究。獨立樣本跟相依樣本的計算方式很像，只是不能用差異分數來算，因為非同一批人無法配對做差異比較。因無法做差異分數，只能用Variance sum law 的方式計算兩樣本平均數相減的變異數。

這時會發現要帶入σ_XA、σ_XB的數值，但在使用獨立t檢定的前提是σ_XA、σ_XB要一樣，否則會偏離t分配，無法準確估算機率。我們稱之為「變異數同質」。

變異數同質無法做到怎麼辦？

之後我們會教F檢定就可以解決這個情況，也可以使用 Welch t 檢定，計算特別的自由度，讓t值符合t分配。

Welch t 檢定自由度計算

除了以上方法外，變異數還有強韌性特質(至少滿足兩個)：

1. 若σ_XA>σ_XB，則σ_XA/σ_XB≦4可視為同質
2. N相等，則不同不受影響
3. 兩樣本母群形狀相同、對稱，則不受影響

σ_XA、σ_XB = σ_X，用pooled variance來代替σ_X

因為A、B兩樣本數不同，因此我們採用加權平均的方式來計算新的估計變異數--pooled variance。

假設利用隨機分派的方式，將20名受試者分成兩組：實驗組接受記憶術的訓練，而控制組不接受任何訓練。數週之後，這兩組受試者分別接受記憶力測驗，測驗結果如下所示：
實驗組：N₁=10，X^-₁=9.58，S₁=1.21
控制組：N₂=10，X^-₂=7.42，S₂=0.96
試問實驗組與控制組在記憶力測驗成績上有無顯著的差異存在？

結論

是否有統計方法能夠結合相依t檢定和獨立t檢定的優點？有的！就是變異數分析(ANOVA)。ANOVA較複雜，後面一點我們會再探討。

從z檢定到t檢定除了二項分配的探討，其餘我們都在處理等距和比率變項。下個統計方法我們要教的是卡方檢定，適用於探討名義變項。