心統 | 推論統計 | 從z檢定看區間估計、假設考驗

z檢定使用時機：已知母群標準差、若母群為非常態，需要抽取樣本數N>30。
(備註：常態分配時，才能夠使用。也是唯一能使用CLT的檢定方式)

區間估計：從x̄ 猜測μ範圍

連續變項

設x̄ 是一個N(61,1)的常態分配，信賴水準95%的情況下，μ的信賴區間為？

先確認是否可以使用z檢定：常態分配、已知抽樣分配標準誤為1。可以！
信賴水準95%是在x̄ ±1.96σ_x̄ 的範圍內，因此x̄ -1.96σ_x̄ < μ < x̄ +1.96σ_x̄，帶入數值（x̄ =61、σ_x̄ = 1），59.04 < μ < 62.96。
信賴區間為[59.04 , 62.96]，可寫為95% C.I. [59.04 , 62.96]
信賴界線為59.04和62.96。

信賴水準：信賴區間涵蓋μ的機率。
→有90%的機率，μ會涵蓋在x̄ ±1.65σ_x̄的範圍內
→有95%的機率，μ會涵蓋在x̄ ±1.96σ_x̄的範圍內
→有99%的機率，μ會涵蓋在x̄ ±2.58σ_x̄的範圍內

二項分配：將次數轉為機率

小明拿出一個公正的硬幣，擲100次，正面出現30次，成功機率p=0.3(p代表點估計)。你懷疑小明的硬幣一點都不公正，你要如何證明？

計算二項分配時，先將次數轉為機率，再來去觀察它是否Np和Nq皆大於5滿足常態分配。例如：100*0.3=30、100*0.7=70，兩者都大於5，是常態分配。可使用z檢定。

• 抽樣分配會因N大小改變

此時的抽樣分配是一個平均數為p、標準差(又稱標準誤)為√ (pq/N)的常態分配。N越大標準誤越小，信賴區間越小，準確估計值越高。

• 標準誤的pq要帶哪一個？

若樣本數夠大(N>100)，則可帶樣本所得的p、q。若不夠大，那就先相信小明帶p=0.5、q=0.5進去算。

假設考驗：已知或假設μ，並用x̄ 證明合理性

虛無假設 (null hypothesis, H₀)、對立假設 (alternative hypothesis, H₁)
兩假設需包含所有的可能性。

研究假設：大華國中女性身高大於160公分
統計假設：H0:μ≦160cm ; H1:μ>160cm

驗證方式：推翻虛無假設

「我只是犯了全天下男人都會犯的錯！」這是很經典的一句話，那要如何證明他是否正確呢？是找遍全世界的男人證明會劈腿嗎？還是找到一個專情的男人就可以否定掉這句話了呢？想必是後者，對吧！

所以當我們要證明A，我們就必須要先推翻非A的言論。此方法稱為「否證法」。

研究假設：全天下男人都會劈腿
統計假設：H₀:劈腿次數=0 ; H₁:劈腿次數≠0

怎樣才算推翻？設定顯著水準α，進入拒絕區！

顯著水準α是研究者可以自行設定的，通常我們會訂0.05。

若α設太高，H₀太容易被推翻；若α設太低，H₀太容易被接受。因此，我們需要好好制訂。α又分單尾檢定和雙尾檢定，如下圖所示：

顯著水準單尾檢定、雙尾檢定

連續變項

已知大華國中的女性身高的標準差=9，今天我調查了大華國中25位女同學的身高，得到樣本平均數為162公分。想知道是不是大華國中全體女性平均身高是否大於160公分。

可去以下網站找z-table，求z的臨界值：

二項分配

小明拿出一個公正的硬幣，擲100次，正面出現30次，成功機率p=0.3(p代表點估計)。你懷疑小明的硬幣一點都不公正，你要如何證明？

TYPE I ERROR & TYPE II ERROR

虛無假設一定是不對的嗎？

答案是不一定！他只是我們的假設而已！有可能並不能推翻他，讓我們接受虛無假設的理論。但若今天推翻了，也不代表對立假設一定是正確的。

TYPE I ERROR：H₀為真

今天H₀是正確的話，當我們接受它，代表我們做了對的決定。若我們推翻他，代表我們做了錯的決定。這個錯誤決定的機率我們又稱為TYPE I ERROR。TYPE I ERROR 的機率又等於α。α是研究者自己決定的，決定好後臨界值就不會改變。

我們要如何避免這個狀況？取樣本數時應隨機，不可太過極端。

TYPE II ERROR：H₀為假

今天H₀是錯誤的話，當我們推翻它，代表我們做了對的決定。若我們接受他，代表我們做了錯的決定。這個錯誤決定的機率我們又稱為TYPE II ERROR。TYPE I ERROR 的機率又等於β。

在做假設考驗時，我們的期望都是能夠推翻H₀，這個機率是1-β，又稱統計檢定力。我們希望這個機率越大越好。

如何增加統計檢定力？

要增加統計檢定力的話，我們需要讓β變小。以下有3種方法可以試試看：

1. α、β之間互為消長，我們可以把α訂大一點(但不是一個好方法)
2. 改變H₀與H₁分配的距離（讓TS離H0越遠越好）
3. 改變H₀與H₁分配的標準差（取越多樣本數越好）

改變距離，右圖距離較大

改變標準差，右圖較小

TYPE I ERROR / TYPE II ERROR 比較圖

結論

「理想很豐滿，現實很骨感」z檢定是一個很好用的統計方式，但有許多前提：知道母群標準差、母群非常態時樣本數要夠大。但現實裡，我們往往不知道母群長什麼樣子，也不會知道他的標準差。

因此，t檢定就出來了！t檢定除了計算單一樣本之外，也可以使用在相依樣本、獨立樣本上，會比z檢定在現實中的運用更廣。下一篇章，我們即將討論t檢定在單一樣本下的運用~~