打過棒針嗎？你是否注意過，一塊平針織片擺在那裡，就是會自動往上捲，不管我們怎麼按、怎麼拉，它就是會捲起來！彷彿織片有自己的「脾氣」？
手編織課上，常常有學生問我：老師我的織片/作品這樣捲捲的怎麼辦？我也只能說，除了熨斗，沒有其他快速的方法！
有趣的是，最近的研究發現，平針織片會捲，並不是毛線的問題，而是針織布本身的「天性」。
最近，美國德瑞索大學與賓州大學的研究團隊，發表在《美國國家科學院院刊》（PNAS）的研究，揭開了這個日常現象背後的數學規律。他們發現，只要理解針目（下針與上針）的幾何特性，就能準確預測織片最後會怎麼折疊、捲曲，甚至可以設計出自我摺疊的紡織品。
針織的基本單位是「針目」。如果你從織片的正面看，一排排整齊的「V」字（我都說「辮子」），就是所謂的下針（knit）；翻到背面，會看到一顆顆小凸起，那是上針（purl）。
這兩種針法其實是一體兩面，就像銅板的正反面。但當一整個織片都是同一方向的針目時，這些微小差異就會累積成一股「彎曲傾向」。
實驗顯示：
如果正面是下針，那麼織片上下邊會往前捲、左右邊往後捲。
如果正面是上針，織片的捲曲方向就會完全反過來。
為了解釋為什麼平針織片會這樣彎曲，研究團隊建立了一個數學模型。
他們把織片想像成一張「有彎曲慣性」的薄片。每一個針目交錯，就像在薄片上加了一點「想要彎曲」的力量；當這些力量全部疊加起來，就會讓織片自然形成特定的曲面。
他們用電腦軟體來模擬這個過程，然後再用針織機（為了降低變數，他們選擇了使用針織機而不是人工編織）打出來的織片來比較。
研究團隊用了「薄殼理論（Föppl–von Kármán energy）」，把布料看成一張可以拉伸、彎曲的彈性薄片。他們給每一個區塊一個「自然曲率」（κx, κy），代表這裡比較想往哪個方向捲。這樣做，最後就是把「上/下針法排列」轉換成一張「有自然彎曲傾向的薄片」，然後用能量最小化去算它最後會折成什麼樣子。
他們先把織片假設成平面，然後一步步增加「彎曲傾向」，看織片會怎麼「自己長」成三維形狀。每一個針目等於一個「小小的彎曲源」，每一針下針，會產生一組「往某方向彎」的力矩；而每一針上針也會產生一個力矩，其方向與下針的方向剛好相反。
最後，一整塊織片要怎麼彎，就是這些力矩的「總和」。
模型算出來的結果是怎樣的呢？
首先，他們計算平針織片（stockinette stitch）：下針起針的平針織片與上針起針的平針織片的捲曲方向。
他們計算的結果發現，如果是下針起針的平針織片，則上下邊往前捲，左右邊往後捲。如果是上針起針的平針織片，捲曲的方向則完全相反。
這個計算的結果，和實際編織出來的織片一致。
接著，他們試著計算不同針法組合所產生的折痕與曲面。
他們發現，模型能預測某些圖案（例如「Miura-ori三浦摺疊（日語：ミウラ折り）」）最後會出現哪些直線狀的折痕。
但是，折痕的位置不一定出現在上下針交界，而是出現在數學計算出來最「省力」的地方。
最後，他們發現模型可以告訴我們織片最後會是「圓筒狀」「波浪狀」還是「幾乎平坦」。
雖然它無法精確算出每一針的細節，但能夠掌握織片「宏觀的形狀」。而且，電腦模擬出來的折疊紋路，和真實織片幾乎一模一樣。
總而言之，透過這個數學模型，研究團隊可以預測織片會怎麼折。而且他們發現：織片會怎麼折，與毛線材質無關，而是由上針/下針的排列來決定。
換句話說，有了這個軟體，只要寫好針法圖案，就能事先預測織片會折成什麼形狀。這意味著，這個軟體讓設計織片省事得多，不需要實際上打出一片片織片，可以先用軟體模擬。
你可能聽過「摺紙數學」：一張紙只要設計好折線，就能折成鳥、花或各種立體形狀。
針織雖然也會折，但它和摺紙不同。摺紙的折痕位置很清楚，通常就在兩種區塊的交界處。針織布的摺痕卻比較「任性」：上下針的交界處未必一定會成為折線，織片會自己找到最省能量的方式來彎曲。
這意味著，光看針法排列，我們不一定能猜到織片會怎麼捲。這就是為什麼，要發展一個新的編織圖案，往往曠日廢時：因為需要實際上動手做，然後再一次次地進行修改。但是，這個數學模型卻能幫我們算出答案。
也就是說，未來使用「Knitogami™」（研究團隊給軟體取的名字），無論是設計功能性布料或開發新的工藝美學產品，都可以變得更有效率。「Knitogami™」可以很方便的幫我們預測織片的形狀，不需要一再地人工試誤。
從這項研究我們瞭解到，科學不只存在於實驗室或顯微鏡、望遠鏡裡。我們每天穿的衣服，其實也有深刻的幾何學的原理在其中。每一個針目，都是一個小小的數學動作；當它們串在一起，就能讓一條紗線變成三維的世界。
參考文獻：
Niu, L., Dion, G., & Kamien, R. D. (2025). Geometric modeling of knitted fabrics. Proceedings of the National Academy of Sciences, 122(7), e2416536122. https://doi.org/10.1073/pnas.2416536122
