在資料分析中，分群分析（Cluster Analysis）是一種常見的無監督學習（Unsupervised Learning）方法，用來探索資料中的自然群集結構。當我們沒有標籤資料、也不知道該分成幾群時，分群分析能幫助我們發現潛在的分類邏輯。
在眾多分群方法中，階層式分群分析（Hierarchical Clustering）以「從個體到群體、由小而大」的方式建構群集結構，並能用一張樹狀圖（dendrogram）清楚地展示整體層級關係。一、階層式分群分析的核心概念
階層式分群可分為兩種思考方向：
- 凝聚式（Agglomerative）
每個觀察值起初都是一群，依據相似程度逐步合併（自下而上）。 - 分裂式（Divisive）
先將所有資料視為一群，再逐步拆分（自上而下）。
實務上最常見的是「凝聚式」方法。
整個分析結果可以用「族譜樹狀圖（dendrogram）」呈現，顯示每次合併的距離與層級。
二、距離與連結方式（Linkage Method）
階層式分群的結果會受到兩個要素影響：
- 距離衡量方式（Distance Metric）：
- 歐氏距離（Euclidean distance）
- 曼哈頓距離（Manhattan distance）
- 馬氏距離（Mahalanobis distance）
2.群與群之間的距離定義（Linkage Method）：
在社會科學與醫學研究中，Ward法最為常見，因為它能產生相對穩定、緊湊的群組。
三、適用情境
階層式分群分析特別適合以下情境：
- 📊 探索性分析（Exploratory Analysis）：
想先觀察資料的自然群集結構。 - 🧬 樣本數較少（數十到數百筆）：
可清楚繪出樹狀圖，不易過度複雜。 - 🧠 重視解釋與可視化：
可透過 dendrogram 理解每次合併的層級與距離。 - 🧪 應用領域廣泛：
例如基因表現資料分群、心理量表項目分類、病患分型、消費者行為分析等。
四、與其他分群方法的比較
五、實作範例：R 語言進行階層式分群
1️⃣ 資料介紹：USArrests
這是 R 內建的一個經典資料集，記錄了 美國 50 州在 1973 年的四項暴力犯罪率：
這份資料常被用來示範分群分析，因為各州在犯罪型態上存在自然差異。
2️⃣ R 程式碼實作
# 載入資料
data("USArrests")
# 1. 標準化（避免不同變數尺度差異）
data_scaled <- scale(USArrests)
# 2. 計算距離矩陣（歐氏距離）
dist_matrix <- dist(data_scaled, method = "euclidean")
# 3. 階層式分群（使用 Ward.D2）
hc <- hclust(dist_matrix, method = "ward.D2")
# 4. 繪製樹狀圖
plot(hc, main = "階層式分群樹狀圖", xlab = "", sub = "")
# 5. 以三群為例：標示框線
rect.hclust(hc, k = 3, border = "red")
# 6. 分群結果
groups <- cutree(hc, k = 3)
table(groups)
這樣即可看到樹狀圖與三群劃分的結果
六、如何判斷「合理的分群數」？
在階層式分群中，樹狀圖提供了視覺線索 ---越「高」的水平線代表群體合併時差異越大。 理論上，應在樹狀圖的「長枝」處切割，以形成彼此差異明顯的群。
但除了目測之外，還有更系統的方法：肘部法則（Elbow Method）。
💡 肘部法則 (Elbow Method)
肘部法則透過觀察「群內平方和（Within-cluster sum of squares, WSS）」的變化，
找出當群數增加時，誤差下降幅度開始趨緩的轉折點（像手肘一樣的彎曲處）。
在 R 中，我們可用 factoextra 套件視覺化這個現象：
# 安裝與載入套件
install.packages("factoextra")
library(factoextra)
# 使用 Ward 法進行階層分群
hc <- hclust(dist_matrix, method = "ward.D2")
# 繪製肘部法則圖
fviz_nbclust(data_scaled, FUN = hcut, method = "wss") +
labs(title = "肘部法則圖：選擇最佳群數")
在圖中，你會看到 WSS 隨著群數增加而下降，但在某個點之後，下降速度明顯趨緩。 那個「轉折點」就是最合理的分群數。
七、結語
階層式分群分析像是一棵「資料的家族樹」，幫助我們理解觀察值之間的親近程度與分群邏輯。它的優勢在於可視化、可解釋性高，非常適合在研究初期探索資料結構。在實務應用上，搭配肘部法則或樹狀圖觀察，就能更有依據地決定分群數。
🔍 延伸閱讀
- Kaufman, Leonard, and Peter J. Rousseeuw. Finding groups in data: an introduction to cluster analysis. John Wiley & Sons, 2009.
- S Brian, Everitt, et al. "Cluster analysis." Library of Congress Cataloging-in-Publication Data, 2011.
- R 官方文件：
hclust,cutree,factoextra套件說明
