《夫妻的世界》 丈夫出軌的貝氏推理

書本問題 vs 現實問題

「丈夫出軌的可能性有多高？」是我們在現實世界裡經常需要解決的典型機率問題，即是從手上的證據開始，反過來去猜測真相究竟為何。

它與數學課的教科書問題 (book problem) 不盡相同。很多時候，教科書內的機率問題，界定清晰 (well－defined)，資訊充足。例如﹕「一顆完美且公平的骰子，連續3次擲出6的機率是多少？」題目告訴我們骰子是完美的 (事實)，於是我們知道擲骰子每面朝上的機率是多少 (資訊)。學生只需把數據輸入機率公式內就會得到正確 (必然) 答案。

然而現實世界的機率問題 (street problem) 並沒有那麼簡單 — 我們不會知道骰子是否完美的。不，現實世界裡根本沒有一顆完美的骰子，因此我們並不知道擲骰子每面朝上的機率大小。日常生活裡，我們更常需要解決的，往往不是「連續3次擲出6的機率是多少？」這類問題，而是「竟然連續3次擲出6呢 (證據)，我們有理由懷疑手上這顆骰子給做了手腳嗎 (猜測)？」

典型教科書問題是演繹式的 — 把既定的事實與資料輸入公式，計算必然的結果。

現實生活的難題是歸納式的 — 從雜亂的證據與數據試著猜測，找回或然的真相。

打個比方，典型教科書問題會問﹕「俗語說﹕『十個男人九個滾』❶。現在從一群已婚男性中隨機抽出2人，他們都曾經出軌的機率是多少？」這個問題是演繹式的，有趣與否見仁見智，但它可以訓練學生的數學計算能力。不過在日常生活裡，類似的問題並不是我們最需要解決的。在日常生活裡，我們遇到的難題往往是歸納式的﹕「丈夫近來形跡可疑，行為怪異 (證據)，是否因為有外遇呢 (猜測)？到底丈夫出軌的可能性有多高？」就像《夫妻的世界》裡的池醫生，急需要從手上的證據反過來去推論自己的猜測為正確的可能性。

那麼這類難題我們要如何解決呢？

貝氏演算法 (Bayesian Algorithm)

貝葉斯定理 (Bayes Theorem) 正好擅長處理現實生活裡的歸納式問題 — 在資訊不足，數據匱乏，證據不多的情況下，去評估我們的猜測有多準確。貝氏定理的公式簡單，但應用時所涉及的推理過程相當有啟發性。這令得貝氏定理更像一個巧妙的演算法多於一條冷漠的數學公式。貝氏演算法帶領我們從瑣碎的證據開始，試著猜測，然後重複試誤，一步一步發掘真相。演算法主張，我們必須敞開心胸，摒棄成見，要隨著新的證據或觀察結果的出現，更新和修正我們的猜測。

那麼池醫生要如何運用貝氏演算法去評估丈夫出軌的可能性呢？

步驟一﹕針對問題，提出假設 (hypothesis)

首先是釐清問題。我們要解答的問題是「到底丈夫出軌的可能性有多大？」針對這個問題，我們提出暫時的假設﹕丈夫的確背叛了妻子。我們用 H 來代表假設的內容。很明顯，真相只能是二擇其一﹕H非真即偽，如下圖所示﹕

步驟二﹕ 估計先驗機率 (prior probability)

第二步是估計先驗機率，或事前機率，即是在證據 (唇膏) 出現之前，你一直認為丈夫會背叛你的可能性有多大。我們用 p(H) 來代表假設 H 為真的可能性。

我們如何估計先驗機率呢？最快捷的方法就是﹕瞎猜 (wild guess)。憑主觀臆測得出的先驗機率當然是主觀的。這個機率，或曰信念 (belief)，或曰偏見 (bias)，純屬個人判斷，無所謂對或錯。神奇的貝氏演算法會迫使你隨著證據陸續出現而不斷修正你的看法，因此我們即管放心瞎猜。

想客觀一點也可以。我們可以尋求「外部觀點」— 找來統計數據，看看有多少已婚男性曾對妻子不忠，然後用那個百分比，即基本頻率 (base rate)，作為先驗機率。

假設我們一直相信丈夫，姑且把先驗機率定為 10% 吧 。p(H) = 0.1

步驟三﹕在假設 H為真的情況下，估計證據 e出現的機會

跟著我們要估計一下，在假設 H為真的情況下 (丈夫真的出軌)，證據 e (唇膏) 出現的機率。我們稱之為「真陽性」(true positive)，數學代號寫作 p(e|H)。我們或會想，就算丈夫真的背叛了，也不至於隨身攜帶情人的唇膏吧。於是我們把 p(e|H) 定為 30%。

步驟四﹕在假設 H為假的情況下，估計證據 e出現的機會

最後我們要估計，在假設 H為假的情況下 (丈夫沒有出軌)，證據 e (唇膏) 出現的機率。我們稱之為「偽陽性」(false positive)，數學代號寫作 p(e|～H)。在丈夫沒有背叛的情況下，真的頗難想像他會買一枝櫻桃味唇膏來用吧。不過他說是因為機艙內乾燥。嗯，也不是完全沒有可能。於是我們把p(e|～H) 定為 5%。

步驟五﹕剔除沒有證據出現的世界

好，估計的部份完成了。由於唇膏這一證據的出現，我們可以剔除「沒有唇膏」的世界。如下圖所示﹕

步驟六﹕計算及比較面積

現在只剩下證據出現過的世界，其面積就是兩個長方形的總和 ﹕

總面積 ＝ H 的面積 + ～H的面積 = 0.1 x 0.3 + 0.9 + 0.05 = 0.075

而H的面積 = 0.1 x 0.3 ＝ 0.03

比較一下兩個面積﹕ H的面積 ÷ 總面積 = 0.03 ÷ 0.075 = 0.4 = 40%

步驟七﹕暫時的結論

這個百分比就是我們的答案，稱為後驗機率 (posterior probability, p(H|e))。意思是說，由於唇膏(證據) 的出現，你必須改變對丈夫忠誠度的看法。原本你認為丈夫背叛你的機率只有10％，現在已更新為40％了。丈夫真的出軌的機會大增，但仍然遠低於我們早前定下的門檻 80%。於是我們按兵不動，靜觀其變。我們應該繼續相信丈夫，除非有新的證據出現…

貝氏演算法的方程式

如果嫌畫圖的方式麻煩，我們也可以直接使用貝氏演算法的公式。公式內有四個數值，我們要輸入其中三個﹕

輸入數值一﹕先驗機率 p(H) — 證據 e 還未出現時，H 為真的可能性

輸入數值二﹕真陽性的機率 p(e|H) — 假設 H 為真，證據 e 出現的可能性

輸入數值三﹕偽陽性的機率 p(e|～H) — 假設 H 為假，證據 e 出現的可能性

輸出數值﹕後驗機率 p(H|e) — 由於證據 e出現了，H 為真的可能性更新版本

從畫圖的方式來進行貝氏演算，我們得知後驗機率其實就是「真陽性面積」佔「總陽性面積」的百分比，所以﹕

後驗機率 p(H|e) ＝ 真陽性面積 ÷ 總陽性面積 = 真陽性面積 ÷ (真陽性面積 + 偽陽性面積) ＝p(H) x p(e|H)÷ [(p(H) x p(e|H) + p(~H) x p(e|~H))] 。。。貝氏公式一

好像很複雜吧？試試簡化一下﹕

由於真陽性面積加上偽陽性面積等於總陽性面積，又等於 p(e)，即證據出現的機率。所以，

p(H|e) ＝p(H) x p(e|H)÷ [(p(H) x p(e|H) + p(~H) x p(e|~H))] = p(H) x p(e|H)÷ [p(e)] 。。。貝氏公式二

公式二，就是我們較常見的貝氏方程式的寫法﹕

這個寫法表達了貝氏演算法的核心思想﹕初始估計 x 證據出現 = 更新估計。

我們對於真相為何，心中會有主觀的猜測。為了找出真相，我們需要客觀地做實驗或觀察，得出支持或駁斥猜測的證據。而隨著證據出現，我們不得不把原先的猜測修正過來。然後重複整個流程，逐步迫近真相。這就是貝氏演算法，亦是簡化版的科學方法。

先驗機率p(H) 或許是沒有根據的瞎猜。後驗機率 p(H|e) 則是有證據支持的猜測。透過運用貝氏演算，我們從先驗機率計算出後驗機率，從瞎猜 (wild guess)進步到成為有根據的猜測(educated guess)。

重複演算，更新猜想

回到池醫生那邊的討論。很不幸，頸巾上紅色長髮的出現，我們不得不重複一次貝氏演算來更新 H 的可能性。

輸入數值一﹕先驗機率 上一回的後驗機率，就變成這一回的先驗機率了。所以 p(H) = 40%

輸入數值二﹕真陽性的機率 假設丈夫背叛妻子，紅髮出現在頸巾上的可能性有多大？頗大呢！70％？嗯，差不多吧。p(e|H) = 70%

輸入數值三﹕偽陽性的機率 假設丈夫並沒有背叛妻子，紅髮出現在頸巾上的可能性有多大？應該機會很微…10％好了。p(e|～H) = 10%

把數值輸入公式內﹕ p(H|e) ＝ p(H) x p(e|H)÷ [(p(H) x p(e|H) + p(~H) x p(e|~H))] ＝0.4 x 0.7 ÷ (0.4 x 0.7 + 0.6 x 0.1) ＝82%

這下可糟了。丈夫出軌的機率，從40％飆升至82％。難怪池醫生登時心神彷彿，不能專心替病人看症了。

貝氏演算，帶你從瞎猜走到有根據的猜測

日常生活中大部份的經驗是，我們只能憑瞎猜，加上少量的觀察樣本 (證據)，就要去推論事件真相為何。這不一定是因為我們懶惰，又或者草率武斷。很多時候，是因為我們沒有統計數據可依。又或者是由於客觀情況根本不容許我們重複實驗去蒐集證據。這些時候，貝氏演算法格外有用。以美國911恐怖襲擊為例，在慘劇發生之前，絕大部份紐約客根本不能想像恐怖份子會正面襲擊曼哈頓。但當第一架航機撞上世貿大樓時，評估「是否恐怖襲擊」就變成當務之急。

步驟一﹕提出假設 我們的假設 H 是﹕恐怖份子襲擊曼哈頓。

步驟二﹕ 估計先驗機率 我們瞎猜，美國受到大規模襲擊，是百年一遇的事情。100年約等於三萬六千五百天。所以 p(H) = 1 ÷ 36500 = 0.000027 ❷

步驟三﹕估計真陽性機率 假如恐怖份子策劃襲擊，那麼證據出現，即客機撞擊世貿大樓的機率幾乎是100%。p(e|H) ＝ 100%

步驟四﹕估計偽陽性機率 假如恐怖份子並沒有策劃襲擊，那麼證據出現，即客機撞上世貿大樓是由於意外或其他原因所造成的機率微乎其微。我們不知道正確的機率是多少，唯有再一次估計這是百年一遇的事情。p(e|～H) ＝ 0.000027

步驟五﹕計算後驗機率 p(H|e) = 0.000027 x 1 ÷ (0.000027 x 1 + 0.999973 x 0.000027) = 50%

「恐怖份子正在襲擊曼哈頓」為真的機率，由初始微不足道的數字飆升至50％！雖然以上用到的數據不科學❸，但我們總算確認「恐怖份子正在襲擊曼哈頓」並非子虛烏有的憂慮。

到了第二架航機撞上世貿大樓，後驗機率變成99.99% (= 0.5 x 1 ÷ (0.5 x 1 + 0.5 x 0.000027)) 。這意味著，「恐怖份子正在襲擊曼哈頓」幾乎已是不用爭辯的事實了。

致命的證據

池醫生在丈夫的車尾箱內，找到一部手提電話，裡面儲存著很多丈夫與一名紅髮女子的相片。相片裡的男女，態度親䁥，似乎正享受著渡假帶來的歡樂。

這是決定性的證據。

貝氏演算亦順理成章給出相同的答案﹕ 先驗機率 ＝ 82％ 真陽性機率 ＝ 100％ 偽陽性機率 ＝ 近乎0% 後驗機率 = 0.82 x 1 ÷ ( 0.82 x 1 + 0.18 x 0) = 0.82 ÷ 0.82 = 100%

這也是致命的證據。

池醫生再也壓不住怒氣，拿出急救箱裡的剪刀，氣沖沖的衝向丈夫，狠狠地一刀插下去…

註﹕

1. 廣東話中的「滾」，可作「出軌」解。
2. 這是科學家費曼 (Richard Feynman) 提倡的方法﹕把抽象的機率概念，轉為較具體的意象來表達。思考機率時，試著把一件事會發生的可能性(抽象機率)，改為想像「如果我試很多次，會發生什麼狀況」(具體頻率)。例如十萬分之一的可能性，意思即是把同一個實驗每天重複做一次，預期300年只會出現一次特定的結果 (300年約有十萬天)。
3. 請參考《精準預測》(The Signal and the Noise by Nate Silver) 一書內有關911恐怖襲擊的討論