舊業重溫19--圓靠在正方形內部求正方形邊長問題

在油管(Youtube)看到一則英語影片，解一道關於圓形的幾何題，屬於國中程度，但亦適合高中的解析幾何處理，可選用的幾何性質繁多，且計算簡易，誠屬很好的練習題材。

□ABCD為正方形，圓G與AD邊相切於中點E，連接正方形兩組對邊中點EF與HI，交會在M點，K為EF與圓的交點，J、L為HI與圓的交點。已知FK長為8，HJ長為6，求□ABCD的邊長。

我們先做一些預備，就像總鋪師大展身手前，先將食材備妥洗淨那樣。

題目欲求正方形邊長，影片講解者直接設為未知數，當然這是基本招，但運算過程中會產生分式，有點煩。
我們迂迴一下,設邊長的一半長為a, 即ME、MF、MH、MI長都是a, 則所求就是2a。
所以MJ長 = MH長–JH長 = a - 6,
MK長 = MF長–FK長 = a - 8,
圓直徑KE = EF長–FK長 = 2a–8, ∴半徑 = (2a–8)÷2 = a - 4,
∴ MG長 = KG長–KM長 = (a-4) - (a-8) = 4,
另外,我們應該也不難理解EF⊥MI,

接下來,列出方程式,求解。

解法一: ( 關鍵性質--對半圓的圓周角是直角 )

請參考圖二,

∵EK是直徑,∠KJE是對半圓的圓周角, ∴∠KJE=90゜,
依畢氏定理,
KE² = KJ² + JE² . . . . . . (ㄅ)
又在直角△MKJ中,
KJ² = KM² + MJ² =(a-8)² + (a-6)²,
在直角△MEJ中,
JE² = EM² + MJ² = a² + (a-6)²,

代入(ㄅ)式,
(2a–8)² = [(a-8)² + (a-6)²] + [a² + (a-6)²]
根據乘法公式展開(註),
4a²–32a + 64 = (a² - 16a +64) +( a² -12a + 36) + a² + (a² -12a +36)
右式合併,
4a² – 32a + 64 = 4a² –40a + 136
左右式消去平方項, 移項, 得到
40a–32a = 136–64
8a = 72,    ∴ a=9,
則正方形邊長2a=18

解法二: ( 關鍵性質--直角三角形母子相似定理 )

由解法一推知, △KJE是直角三角形,而JM是斜邊上的高,
根據母子相似定理, △MKJ～△MJE,
∴ MK:MJ = MJ:ME
   MJ² = ME×MK  (內項乘積=外項乘積)
   (a-6) ² = a(a-8)

   乘開求解過程與解法一類似,交給讀友鍛鍊了。

解法三: ( 關鍵性質--畢氏定理 )

這是影片講解者用的方法。我們把目標放在直角△MGJ,
斜邊GJ是半徑,所以長為a-4,
依畢氏定理, GJ² = MJ² + MG²
          (a-4) ² = (a-6) ² + 4²

後續求解過程,照例交給讀友了。

高中學的是解析幾何,先建立好坐標系,圓就可以用一個方程式代表,解決幾何問題改用代數的方法。

解法四: ( 圓方程式 )

建立坐標系必須選定原點與坐標軸,選擇對象不同,圓方程式可能不同。

參考圖一,大家會不會也跟我想的一樣?最直覺的選擇,是以M當原點,EF當x軸,HI當y軸。
因為MG長 = 4,自然就定圓心G的坐標為(4,0),
又圓半徑為a-4, 所以圓方程式為
(x-4) ² + y² =( a-4 ) ²
因為MJ長= a-6, 所以J點的坐標為(0, a-6),
而J點在圓周上,故J點坐標滿足圓方程式,
(0 - 4)² + (a-6)² = ( a-4 )² 

…… (與解法三的結果相同,以下就依然省略吧) 

[陳傳義]拍攝

古典幾何有關圓的部分,以前國中課綱有「內冪性質」,遺憾108課綱已取消,若使用此性質,也能得到解法二的等式。
其實程度不弱的國中生是學得起來的。有興趣的讀友,稍稍提一下重點:

兩弦AB與CD相交於圓內E點, 則 AE×BE = CE×DE。

只要能證出△AED～△CEB,即可由對應邊成比例推出結論。

註: 完全平方乘法公式可前往《舊業重溫5--又連乘又開根號,超大數求平方根問題》參考。