自以為學會數學的小丑碩博士生，都有下面三個特徵：

1. 誤以為自己已經掌握了微積分：

- 許多學生在學完微積分課程後，往往會自信地認為自己已經完全掌握了微積分的精髓。事實上，他們可能只理解了公式的應用，而沒有深入了解其背後的推理和邏輯。例如，他們能夠解微分方程，但對於微積分如何從基本原理推導出來，卻知之甚少。這種表面理解使得他們在面對更高階數學問題時，無法靈活運用微積分的思想，導致解題思路卡住。這就是為什麼很多人自信地說自己懂微積分，卻在更複雜的問題面前束手無策。

2. 缺乏專業指導卻執意自學：

- 數學自學最大的挑戰在於缺乏專業的反饋機制。自學者往往只能依賴自己的理解，但數學中的盲點和錯誤很難自行發現。與電腦科學不同，電腦科學的錯誤可以通過編譯器來快速檢測並修正，而數學的問題則需要經過多次的推敲和專業指導才能被察覺。因此，很多自學者在沒有專業人士的點撥下，常常會在某些概念上停滯不前，難以突破學習瓶頸。這使得他們的學習進度緩慢，甚至可能走上錯誤的理解路線。

3. 忽視數學的基礎學科——微積分與線性代數：

- 在學習新數學概念時，許多學生往往忽視了微積分與線性代數這兩門基礎學科的重要性。事實上，許多高等數學的理論都是由這兩個基礎學科演變而來的。學生如果能夠牢記「一切的數學其實就是微積分與線性代數」這句話，並在學習新概念時不斷反思其與微積分或線性代數的聯繫，將能夠更好地理解和掌握新知識。此外，這種學習方法能夠幫助他們在解題時，找到解題思路的源頭，從而提升他們的數學推理能力。相反，忽視這一點的學生往往會迷失在複雜的公式推導中，無法理解其本質。

你在自學數學的過程中還見過什麼其他錯誤？