Day 18 案例研究：精算數學（二）保險自留團體
問題描述
儲備金計算
假設有兩個不同的保險自留團體，分別簡化為「團體 1」與「團體 2」。他們各自面臨相同的單次損失 1 元的風險，但出險機率不同：
團體 1：有 n1=100 名成員，每人出險機率 q1=0.1。
團體 2：有 n1=100 名成員，每人出險機率 q1=0.2。
假設每個團體若單獨經營一個小型「自保機構」，需在淨保費（期望損失）之上加一筆「安全附加費」，以確保機構的破產機率低於 0.001。
先看第一個團體，令以下的隨機變數代表「損失」：
我們使用鐘型分佈來近似這跟二項分布，這樣就可以查表計算，
令儲備金為 P ，則我們需要
如此一來，儲備金才會在只有 0.001 的機率這樣的儲備金不夠用，也就符合這個保險團體的要求。
先改寫一下：
然後我們參考以下的鐘型分佈圖：
你可以看見在超過三個標準差時，累積機率就是 0.1 %。
因此如果我們要做到
那就需要要求
這樣才會讓累積的機率小於等於 0.001。
因此我們計算出儲備金應該要是
使用同樣的方法來計算第二個團體：
可以得到
合作計劃
到此為止我們已經計算出，如果團體一自己進行保險自留，則他們要準備儲備金
若團體二自己進行保險自留，則他們要準備儲備金
可是如果兩者合作呢？我們來計算看看：
假設兩個團體的風險是獨立事件，且團體一與團體二的風險分別用鐘型分佈近似的話會是
則兩個團體的合併損失可以用以下的隨機變數：
因為 Loss1 與 Loss2 現在都用鐘型分佈近似，根據機率論的基本性質
（ https://en.wikipedia.org/wiki/Sum_of_normally_distributed_random_variables）
可以寫出：
其中：
運用同樣的估計技巧，要達到破產機率小於 0.001 的話，儲備金至少要是
現在注意到：
若團體一自己進行，總共要花 P1 = 19
若團體二自己進行，總共要花 P2 = 32
但若兩者合作，需要花 P12 = 45
比兩個各自保險還省錢。
特徵遊戲模型
你發現這是一個經典的「成本分攤賽局（Cost Allocation Game）」，其對應到的成本函數是：
於是對應到的「節省賽局（Saving Game）」的特徵函數就會是：
我們來研究 Shapley Value 以及核心
Shapley Value
因為現在只有兩個人，所以只有兩種排序
團體一的邊際貢獻
團體二的邊際貢獻
另一個排序：
團體二的邊際貢獻
團體一的邊際貢獻
於是我們可以計算出 Shapley Value
核心
核心要滿足以下得線性條件：
效率性
穩定性
於是這幾乎不用解，隨便分都行。
Takeaway
此範例體現了合作賽局理論在保險領域中的應用，說明如何透過數學模型與解概念來做出「公平且穩定」的成本或收益分配，亦展現出團體合併在風險分散上的具體效益。
Reference
Lemaire, Jean. "Cooperative game theory and its insurance applications." _ASTIN Bulletin: The Journal of the IAA_ 21.1 (1991): 17-40.
