從生活認識微積分（六）：斜率的幾何意義（中）

更新於 2022/11/10發佈於 2018/07/19閱讀時間約 6 分鐘

你曾有燒開水或煮火鍋的經驗嗎？如果將開水或湯的溫度，過一段時間後，測量兩次後畫在紙上，就可以計算兩點間的斜率，本文將從燒開水的生活經驗切入，探討上篇中沒有探討的遞增型斜率，並總結正、負斜率的幾何意義，最後給出新的斜率定義。

作者：kboyd ；圖片來源：https://pixabay.com/zh/%E7%94%B5%E6%B0%B4%E5%A3%B6-%E9%93%9C-%E8%92%B8%E6%B1%BD-%E6%B2%B8%E8%85%BE-%E7%85%AE-%E6%B0%B4-%E5%87%86%E5%A4%87%E5%A5%BD%E4%BA%86-653673/；授權方式：CC0 Creative Commons

二、「斜率」的幾何意義

（二）正、負斜率的幾何意義：

　　第二種類型的斜率為遞增型。當斜率為正，我們就稱此斜率為遞增型，與遞減型含義相反。所以本文將舉與上文冷凍冰塊，冰塊隨時間降溫的相反例子，燒開生水、煮火鍋。

2. 遞增型：「分母、分子皆為負」或「分母、分子皆為正」

　　在生活中燒開生水、煮火鍋，只要在水沸騰變為蒸氣以前，水溫都會隨著時間而增加，將湯裡的材料一一煮熟。假設將一壺生水或火鍋湯，煮了十五分鐘後，經過溫度計測量，發現水溫從室溫25度C，升高到100度C的沸點，即將化為水蒸氣。為了方便用數學討論這個生活情境，本文用x座標表示時間，y座標表示水溫，這樣就可以將火鍋或開水的初始、末了狀態表示成兩點，畫在座標平面上。

　　Ａ點表示水溫的初始狀態(0,25)，Ｂ點表示水燒開後的結果（15,100），根據定義，水溫y對時間x的變化率，即AB之間的斜率為：

　　經過觀察，我們發現斜率為正的原因是，時間x和水溫y同時增加，x, y座標的結果皆變得比初始狀態大，所以利用變化率的定義，將末值減去初始值，Δx（在分母）與Δy（在分子）皆為正，自然變化率（斜率）為正了。

　　模仿上文中用冰塊融化解釋遞減型斜率的方法，數學並非化學，時間x不一定要往前近，也可以往後退。忽略生活時間往前的情境，反而將火鍋湯裡加熱前的水溫「Ａ點」視為結果，加熱後的「Ｂ點」視為初始狀態，重新計算ＡＢ兩點間的斜率：

　　結果發現，雖然將AB兩點的相減順序顛倒了，斜率依然沒變，皆為5。以數學符號來看，Δx遞減（在分母），Δy遞減（在分子），所以斜率依然為負。在數學世界裡，ＡＢ兩點的斜率總是始終如一，就像上篇文章中將冰塊溫度倒過來相減，斜率依然一樣。

　　經過以上觀察，我們得出遞增型斜率的小結：若觀察後，發現兩點的x、y座標皆遞減，如：Ａ點(0,25)到Ｂ點（15,100），分子、分母相減後皆為負，斜率為正；若發現兩點的x、y座標皆增加，如：Ａ點（0, 25）到Ｂ點（15, 100），分子、分母相減後皆為正，斜率也為正。

　　再次提醒讀者，平面座標的世界裡，變化率的正負不代表變化順序，而是方向，以x當基準單位，若計算後斜率為m，這代表的幾何意義是：每增加一x單位，即每往右邊一x單位，就會上升m單位。拿上述燒開水的例子來說，ＡＢ兩點斜率為5，代表的不只是：「平均來看，經過一分鐘水溫會上升5度Ｃ」，幾何的觀點是，平均來說，水平每增加1個x單位，就會上升5個單位。

3. 應變單位y無變化：「分母為任意實數，分子為0」

　　本文透過放入冷凍箱降溫的冰塊，與煮火鍋、燒開水的經驗，詮釋了日常生活中斜率正、負號的幾何意涵，斜率為負代表往右看，高度下降；斜率為正則是往右看，高度上升。但生活中亦有毫無變化的可能性。

　　假設某位學生在學校已完成10%的數學作業，但他放學後不想寫數學作業，因此回家後坐到書桌前，時間過了半小時後，學生將時間拿去偷偷在玩手機遊戲，遊戲可能獲得了很多經驗值，但是數學作業一題都沒有算，所以作業完成度對時間的變化率，理所當然為零。為了方便討論上述情境，畫在座標平面上，將作業完成百分比，當作y座標，x座標則是時間，單位為小時。

　　用座標表示，開始寫作業時的狀態為A點（0,10），一小時後作業的狀態為Ｂ點（1,10），根據定義，作業完成百分比y對時間x的變化率，即A、B兩點斜率為：

　　跟預期結果一樣，由於作業的完成百分比完全沒有變化，自然斜率為零了，以數學代號看，Δy＝0且Δx＝1，零除了除以自己之外，除以其他所有實數皆為0。若忽略情境，將Ａ點視為結果：

　　由於分子Δy為0，而Δx＝-1，所以斜率依然為0。

　　從以上討論可以得知，ＡＢ兩點斜率為負，即遞減型的變化率，將ＡＢ兩點用直線連接，幾何意涵上，代表的是左邊這一類型由右上往左下傾斜的線（段），即往右看斜線下降，往左看斜線上升。

　　ＡＢ兩點斜率為正，即遞增型的變化率，將ＡＢ兩點用直線連接，幾何意涵上，代表的是左邊這一類型由左上往右下傾斜的線（段）：即往右看直線上升，往左看直線下降

　　最後若AB兩點斜率為0，將ＡＢ兩點用直線連接，幾何意涵上，代表的水平線（段）

　　我們還得知一個重要的事實，在數學斜率的定義裡，ＡＢ兩點間的變化率是固定的，兩者相減的順序改變，並不會影響結果。點Ａ變化到點Ｂ，點Ｂ變化到點Ａ的意思是一模一樣的。斜率的「正負」不是表示變化順序，而是表示最終ＡＢ兩點連線的直線方向，正號代表x往右看線的高度y往上，正代表x往右看線的高度y往下，y對x的變化率，不論順序怎樣交換，結果都是一樣的。因此之前給出的斜率定義還可以改寫成：

在座標平面上曲兩個點Ａ（x1, y1）Ｂ(y1, y2)，ＡＢ兩點間的斜率為：

　　除了用實例討論，還可以用代數，對「相減順序改變不會改變正負」這個事實給出嚴格證明：

　　先將負號由分子提出，再由分母提出，剛好就是調換兩點的相減順序，但經過觀察，最後兩者提出的負號相抵，整個分數剛好為正，因此換順序並不會改變斜率正負號。

　　下篇將以實驗探討斜率的關鍵問題，如何用「數學斜率來衡量斜坡的陡、緩」。

文章難易度：易

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由於學校上課時間有限，老師礙於進度壓力，時常無法慢慢一步步地帶領學生思考和理解數學中的觀念，而是倉促講解完概念後，開始進入計算解題。然而數學不單是計算而已，數學真正的精髓卻是在於背後觀念中，邏輯的推演與歸納。也因此期盼透過本專題的數學科普文，能幫助讀者看見數學的美，並提升讀者的思考、推理邏輯能力。

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