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中學以下的素養教育與經驗談:國一下數學篇──二元一次聯立方程式(上)

更新於 發佈於 閱讀時間約 7 分鐘

每篇都要再次說明,所有的教學方法與手段,完全要看:

  1. 個人因素
  2. 社經背景
  3. 對應教材與年齡

沒有百分百適用,也不會有一招行天下的密技,最大差異在於針對個人或是多人數上課。而且不管多好的教材,只要學生本身完全沒有學習的意願,都是沒有用的,這時候就得要換其他方式,不能只看教材與方式。


進入一下後,數學的難度會突然上升一個階段,主要原因是方程式從一元變成二元,未知數多了一個,很多同學無法繼續用「填方塊」的概念,怎樣都得進入代數的領域。

於是,有些一直用小學方式撐過一上的,到了這邊就倒了。筆者的經驗是,通常中等程度的同學,本來就是很難理解代數是什麼,才會不上不下,家長請不要急著灌輸,而是要透過「做中學」的概念去完成。

同樣希望家長可以理解,筆者並沒有打算寫一本萬用攻略集,沒有這種東西。設定為中等程度的常見問題,指的就是學校成績大概落在40-80分,班上名次大概在20%~80%左右,以一個班25人來看,大概是6~20名之間浮動。後段的要用另一種方法,前段的也要其他辦法,而且……

基本上,所有的數學困境,每個人都有個別不同的原因,教材可以一致,但教學方法沒有萬用,家長若家裡真的不差這點錢,又很在意的話,請花錢送補習班或是請家教,務必找到可以抓出問題點的老師,不是很會炫技的那種。

未必求唯一解,必須用符號加快思考

這邊主要有四個重點要學

  1. 未知數有兩個,知道怎麼應用
  2. 會有很多組解,兩個未知數無法用一個等式求出唯一解
  3. 要兩個方程式組成聯立才能求唯一解
  4. 看懂圖形以及繪製兩條線的關係

第1點,未知數有兩個,常用x、y作為符號,為何到此用方格☐就會開始難以理解?這稍微圖解一下就懂了,如下:

raw-image

有沒發現,好像有點怪?是的,圖像化處理代數,慢慢會有極限,程度好的同學或許還可以,但中等以下的就不行了,運算速度會越拖越慢;不過程度好的要轉換成符號也不難就是。

所以,無論如何,都得要逼學生在這階段,習慣用x、y、z等常用英文符號作為代數運用。萬一真的不行,就回到一元一次方程式,一次丟一頁10~20題簡單的運算,強迫同學用符號思考問題

而這個階段,筆者的經驗,最大的麻煩並不是在符號看不懂,大致上一元一次方程式沒問題的,這邊也還好。問題在應用題看不懂,很難把文字敘述用代數寫出來,個人建議用一些應用題開始,先讓同學了解,一元一次方程式往往代表一個結果,但二元一次方程式則是「可能性」。

一條二元一次方程式,沒有唯一解

範例1-A:小明帶了200元出門,買了兩本書後,還剩下20元,請問一本書幾元?

解說:假設一本書為x元,可以列式如下

raw-image

範例1-B:小明帶了200元出門,買了兩本書跟3枝筆後,還剩下20元,請問書跟筆各多少錢?

解說:假設一本書為x元、一枝筆為y元,可以列式如下

raw-image

通常到了這邊,同學應該就會發現到,條件不足無法求出唯一解,筆者建議從這類應用題,去建立兩個未知數是怎樣來的概念,早點看懂文章,並同時透過應用題了解:「一條二元一次方程式無法求出唯一解。」

列表及運算,實際體會「很多組解」是怎麼回事

為何會沒有唯一解?請第一次做的同學有耐心,列出表格窮盡可能性,如果可以的話,順便學會條件限制:

範例1-B:小明帶了200元出門,買了兩本書跟3枝筆後,還剩下20元,請問書跟筆各多少錢?

解說:假設一本書為x元、一枝筆為y元,可以列式如下

2x+3y+20=200

2x+3y=180

raw-image

1. 2×0 + 3y = 180 → 3y = 180 → y = 60

2. 2×1 + 3y = 180 → 3y = 178 → y = 178/3

3. 2×2 + 3y = 180 → 3y = 176 → y = 174/3

4. 2╳3 + 3y =180 → 3y= 174 → y = 58

通常做到這邊,就會發覺不對勁了。因為在台灣,筆的價格沒有分數,而且敏銳度夠的同學,應該會發現2x會讓x每多1,右方的數字就會少2,那要讓3y的3可以整除,下一次應該是第⑦格。體會不了的,就再把⑤⑥⑦做一次,如下:

5. 2×4 + 3y = 180 → 3y = 172 → y = 172/3

6. 2×5 + 3y = 180 → 3y = 170 → y = 170/3

7. 2×6 + 3y = 180 → 3y = 168 → y = 56

可以的話,就能要同學重做一次這個表格,很快就能抓到概念,應該要以3的倍數去做才會得到整數解。若有同學問為何是整數解,請用筆沒有1/3元的概念去講。完成的表格如下:

raw-image

其他的往下延伸可以做到底。



有人會說,怎麼一開始就這麼複雜?因為素養教育跟經驗談,主要說給家長以及新進教師聽,這系列不是給學生看的,拜託別忘了。XD


這個應用題已經算是第一次段考前後的狀況,算是一種總整理,目標是學生到此理論上要可以看懂這些方程式,以及怎樣列出可能性,不然接下去的圖形就不用學了。而這種應用題如果會,照道理學生應該對二元一次方程式有很多組解,也無法求出唯一解,會有相當的心得。

家長以及老師怎麼一路教到這,筆者建議先從最基本的x+y=3這些開始,可能性列出會如下表:

raw-image

然後下一步,提醒題目沒有說負數不可以,建議前後各抓三個如下:

raw-image

接著下一步,問y 可不可以有負數,建議後再找三個如下:

raw-image

理解題目中是否存在條件限制

當然,學生能夠舉一反三那最好,若不成就一步步來。最重要的概念,是要建立學生,無論是一般的數學計算還是應用題,二元一次方程式是無法求出唯一解的,除非有很多的條件限制,像是下題:

範例:小英的錢包內有50元,已知全部都是5元與10元硬幣,請問這兩種硬幣的數量為何?

解說:假設5元硬幣有x個,10元硬幣有y個,可列式如下

5x+10y=50

raw-image

這是典型的題目隱含條件限制,首先硬幣不存在負數,所以必須x>0、y>0,其次是5元硬幣不會有1,因為當x=1,y=4.5,硬幣沒有半個,代表x、y必須都是正整數。

請透過這類題型,讓學生自然而然從情境中,找到各種沒明說的條件限制。筆者也必須很殘酷的跟家長說,如果發現孩子怎樣都……找不到,實在是看不懂,那心裡要有數了,他可能真的沒這方面的資質。不是說練不起來,只是投注的資源跟獲得的成果,交換比恐怕是很差的。

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