仿射變換 (Affine Transformation)

仿射變換 (Affine Transformation) 是一種二維幾何變換，它將一個平面上的點映射到另一個平面上的點，並保持直線的「直線性」和平行線的「平行性」。簡單來說，經過仿射變換後，圖像中的所有直線仍然是直線，平行的線仍然是平行的，但長度、角度和比例可能會改變。

更正式地說，一個二維的仿射變換可以表示為以下形式：

y' = cx + dy + f

其中，(x, y) 是原始圖像中的點的座標，(x', y') 是變換後對應點的座標，a、b、c、d、e、f 是定義變換的六個常數。

仿射變換可以由以下幾種基本的幾何變換組合而成：

* 平移 (Translation)： 將圖像上的所有點沿著給定的向量移動一定的距離。在上述公式中，由參數 e 和 f 控制。

* 縮放 (Scaling)： 改變圖像的尺寸。在上述公式中，由參數 a 和 d 控制對應軸的縮放比例。

* 旋轉 (Rotation)： 將圖像繞著某個點旋轉一定的角度。這會影響公式中 a、b、c、d 的取值。

* 剪切 (Shearing)： 使圖像沿著一個軸的方向傾斜一定的角度。這會影響公式中 b 和 c 的取值。

* 反射 (Reflection)： 將圖像沿著一條直線翻轉。這也可以透過調整 a、b、c、d 的取值來實現。

仿射變換的特性：

* 直線仍然是直線： 經過仿射變換，原始圖像中的任何一條直線都會保持為直線。

* 平行線仍然是平行線： 如果原始圖像中有兩條平行的直線，變換後它們仍然是平行的。

* 點的順序保持不變： 如果三個點在原始圖像中共線，它們在變換後仍然共線，並且它們之間的相對順序不變。

仿射變換在圖像處理和電腦視覺中的應用：

仿射變換是一個非常重要的工具，在許多領域都有廣泛的應用，例如：

* 圖像配準 (Image Registration)： 將不同時間、不同視角或不同感測器獲取的圖像對齊到同一個坐標系統中。

* 圖像扭曲和變形 (Image Warping and Distortion Correction)： 用於校正圖像的幾何失真，或創建特定的視覺效果。

* 透視校正 (Perspective Correction)： 校正由於拍攝角度造成的圖像透視變形。

* 特徵匹配 (Feature Matching)： 在不同視角或變形的圖像中尋找對應的特徵點。

* 資料增強 (Data Augmentation)： 在訓練機器學習模型時，通過對訓練圖像進行隨機的仿射變換，來增加資料的多樣性，提高模型的泛化能力。

總而言之，仿射變換是一種強大而靈活的幾何變換，它可以對圖像進行各種線性變換，是圖像處理和電腦視覺領域中不可或缺的基本工具。