你是不是覺得統計學很複雜？別擔心，其實統計學就像我們生活中的指南針，幫助我們更清楚地看見事物的全貌。今天，我們不講理論，直接用一個貼近生活的例子，帶你一次搞懂統計學中三個常見的離散指標：平均差、標準差和變異係數。
讓我們想像一下，這是某國中A班30位同學某次段考的數學成績。
A班30位同學的數學成績 (滿分100分)： 85, 78, 92, 65, 88, 75, 80, 70, 95, 60, 82, 79, 90, 84, 73, 91, 68, 86, 77, 83, 76, 81, 74, 87, 69, 93, 71, 89, 72, 94這是一份完整的成績資料，讓我們用它來進行一場統計大冒險！
在開始之前，我們先算出所有同學的平均分數，這是所有統計分析的起點。
- 總分加總： 2430
- 平均數： 2430÷30=81
結果：A班的平均數學成績是81分。
三個指標的共同任務：測量分數有多分散
雖然我們知道全班平均是81分，但光是這個數字還不夠。我們想知道，這群成績是緊密地集中在81分附近，還是分數高高低低、分得很開？
這時，平均差、標準差和變異係數就登場了！它們三者都是用來衡量資料的「分散程度」，但各有各的個性與用途。
平均差 (Mean Absolute Deviation)
平均差是最直接、最基本的離散指標。它的概念非常簡單：把每個同學的分數與平均分數之間的距離，全部加起來再求平均。
公式：
白話文解讀： 平均差告訴我們，一個群體中每個成員與「平均」的距離，平均來說有多遠。
- 計算方式：
- 算出每個同學成績與81分的距離，例如 ∣85−81∣=4、 ∣60−81∣=21。
- 將這30個距離加總，得到200。
- 再將總和除以人數30。
- 結果： 200÷30≈6.67
平均差為6.67分。 這代表A班同學的分數，平均來說與平均分數81分相差約6.67分。這個概念直觀好懂，是入門統計最好的切入點。
標準差 (Standard Deviation)
標準差是這三個指標中最重要、也最常被使用的。它像是一個「分數穩定度」的量尺，用來衡量資料的離散程度。標準差越大，代表分數越分散；標準差越小，代表分數越集中。
由於我們把A班的30筆成績視為一個完整的資料集（母群），因此我們使用的公式會與樣本標準差略有不同，分母會是 n 而不是 n−1。
公式：
白話文解讀： 標準差告訴我們，資料點「平均」散佈在離平均數多遠的地方。
- 計算方式：
- 算出每個同學成績與81分的距離，並將這些距離平方。
- 將這30個平方後的距離加總，得到1508。
- 將總和除以總人數30。
- 最後將結果開根號。
- 結果： (1508÷30)^0.5 ≈7.09
標準差為7.09分。 這告訴我們，A班同學的數學成績，平均散佈在離平均數81分上下約7.09分的範圍內。由於平方的特性，標準差會更強調那些離平均數很遠的分數，因此更能反映資料的極端變異。
變異係數 (Coefficient of Variation, CV
變異係數是這三個指標中最獨特的一個，它的專長是做跨群體比較。
白話文解讀： 如果我們想知道，A班同學的數學成績和英文成績哪個比較分散？我們不能單純比較兩者的標準差，因為兩科成績的平均數可能不同，直接比較是不公平的。變異係數可以消除量級的影響，讓我們進行公平的比較。
假設A班同學的英文成績，平均分數為90分，標準差為9分。
公式：
結果： 數學成績的變異係數是8.75%，英文成績的變異係數是10%。這代表相對於各自的平均數，英文成績的變動程度其實比數學成績要大。變異係數讓我們可以在不同單位或不同量級的資料之間，進行公平的比較。
比較與用途
透過這篇用A班數學成績為例的文章，各位能對這三個統計概念有更清晰的認識。下次當你看到新聞報導中的數字時，除了看平均數，也別忘了多看看這些「離散指標」，它們會讓你對事情有更全面、更深入的了解！
