綁架愛麗絲 之 鏡像語言 099

7 The Lion and the Unicorn: 一個更複雜的語言

獅子與獨角獸

六

雖然語句邏輯比謂詞邏輯簡單，但歷史卻向反方向發展。古希臘的第一個邏輯系統就是阿里士多德的詞項邏輯 (term logic)，而詞項邏輯就是謂詞邏輯的一種。

語句邏輯是頗為現代的一個發明。

語句邏輯的基本單位是語句，謂詞邏輯的基本單位是謂詞和量詞 (比語句更小的單位)﹔而謂詞 (predicate) 和量詞 (quantifier) 就是一個語句中的主要內容，但卻為語句邏輯所故意忽略。

譬如「約翰愛所有的女人」。

「愛」﹑「女人」都屬謂詞，「所有」是個量詞。

用語句邏輯的語言表達不出「約翰愛所有的女人」的內容。

我們可以隨便用一個大寫字母「P」(或「Q」﹑或「R」﹑或「S」﹑或「T」…) 來表示「約翰愛所有的女人」，但這個「P」對「約翰」﹑「愛」﹑「所有」﹑「女人」都沒有任何表示。

若使用謂詞邏輯的語言，「愛」可以用譬如「L(x, y)」來表示——即 x 愛 y﹔「女人」可以用譬如「Wx」來表示——即 x 是一個女人﹔作為一個專名的「約翰」可以用譬如一個小寫「j」來表示﹔量詞「所有」則有特定的符號「∀」。

這時，我們可以用謂詞邏輯的語言來表述「約翰愛所有的女人」這個句子﹕⁵¹

這個句子是說﹕對某些 (∃) x 和所有 (∀) 的 y 來說，如果 x 是一個男人 (M)，而 y 是一個女人 (W)，那麼 x 愛 (L) y。「Mx」表示 x 是一個男人，「Wx」表示 y 是一個女人，「L(x, y)」表示 x 愛 y」。謂詞邏輯有兩個量詞，之前的「∀」是一個，本例的「∃」是另一個。「∃」是有些 (嚴格意義﹕至少一) 的意思，「∃x」即有(些) x。

如果是「約翰愛所有的女人」，其邏輯表達亦很簡單。我們只要將「x」等同約翰 (j；即 John) 便可：

這個邏輯表述是說：有 x，而 x 就是 j；同時，對任何的 y 來說，只要 y 是女人，約翰都愛。

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⁵¹ 「⊃」是「如…則…」的意思。「⋀」是「並且」(即「和」)的意思。有關聯結詞的用法，請讀者參考《綁架愛麗絲﹕地下邏輯》。

待續