2020-06-07|閱讀時間 ‧ 約 5 分鐘

數與人系列:數字運算的雙重性

雖然一般人多認為數學運算是理性的,但許多自然學家其實對數字的合理性懷抱著疑惑。從數學物理學家 Eugene Wigner 的文章 「The unreasonable effectiveness of mathematics in the natural sciences」在科學界引起廣泛討論即可窺見這種微妙的雙重性。
人可以定義「數字」的概念,但「數字」和 「運算」一但被定義出來,似乎又有了自己的生命,不受發明者的控制。數學家可以定義「符號」概念是什麼,但又似乎無法掌握「符號」會創造出什麼。「數字」是一種會自行創造規律的符號,數學家的工作只是在「發現」這套符號系統中所蘊藏的規律,並不見得要預見這套規律與在現實中的意義。
當然,數學家可以很宅,很超於物外,好的自然學家最關心的還是現實,數字只是發現自然規律的工具,所以會不停追問「數字的現實意義」,也難免遇見心理上無法接受的數字模式。
在數字的四則運算中,除法似乎是最能令數字人抓狂(或著迷)的運算。
1/2 = 0.5 似乎相當合理,但是,1/3 = 0.33333⋯⋯ 究竟是什麼?
再往下算算 1/4 = 0.25 , 1/5 = 0.2 回復理性之後,又冒出來 1/6 =0.66666⋯⋯,而接下來的 1/7 = 0.142587142587⋯⋯ 的規律性又代表著什麼?
當然,你可以說,小數點本身就是無理的,小數點讓數字人陷入了圓周率的奇幻漂流。
從幾何的角度出發,所謂「圓周率」就是圓周和直徑的比率,而且不管圓的大小,都擁有相同的圓周率。一切似乎都非常合理。
但是,看看下面的影片,pi 這玩意兒在小數點之後居然有這麼多數字而且不會循環,真的是太無理了,是吧?
於是,數字人決定將無法用兩個整數表現的數字,例如圓周率,叫做「無理數」。
不過,就心理層面來說,除法雖然令數字人困惑,但其實減法對大多數人的生活所帶來的負擔其實更為真實。
比如說,你有一個池子,裡頭不知道有多少魚,你只知道你從來都沒有放魚苗到池子裡,而且每天都要從池子裡撈出一條魚請客。最後,終於,你的池子裡一條魚也沒有了,但你依舊想每天撈一條魚請客,怎麼辦呢?
笛卡兒( Descartes )認為:「比『無』還小的數是不存在的。」所以,沒有魚就是沒有魚了!不只笛卡兒這麼想,帕斯卡 ( Pascal ) 也這麼認爲:「從零減去一還是零。
在「負數」的觀念上,中國應該是世界上最早開竅的國度,據說,中國在大約西元前二世紀就認識到了「負數」的存在。人們在籌算版上運算的時候,就用黑籌表示負數,紅籌表示正數。
當然,到了近代的會計學,虧損是用紅色來表示,所以才會用「赤字」一詞來表示政的虧損。
所以回到魚的故事,什麼是「負一條魚」? 應該就是儘管自己的池子裡已經沒有魚了,但你還是每天都準備了一條魚請客。
池子裡明明沒有魚了,卻還是每天有魚吃,說起來還真是幸運。只是如果看著空著的魚池,心中有數的人難免要焦急的,這就是「負數」的 「負面心理效果」。
所以,數字人雖然發明了「負數」,但心中其實很不喜歡負數,也很不想面對負數。
不過,在負數的世界中,有一個不可思議的性質,叫「負負得正」,這是怎麼來的呢?
以上述魚的例子來說明,自己的池子裡已經沒有魚了,但你還是每天有一條魚吃,過了100天後,你就有了「負100條魚」。這可以用 -1 ×100 求得。
那麼,如果,問題變成,雖然你現在的池裡沒有魚。但在過去100天裡,你每天都撈一條魚吃,請問你的池子原來有幾條魚?
答案應該是 -1 × -100 = 100 吧!
當然,時光不能倒流,所以我們也回不去那池裡有一百條魚的好時光了。
我們應該是想想如何改進我們的制度,讓我們的未來更美好吧? 如果說,我們要讓罷免成為選舉制度的一部分,甚至常態,也許我們也該考慮如何讓「罷免」的行使更合理,其中自然也包括在選舉時就加入負數票的觀念。
在這充滿負數的時代,就讓我們期待「負負得正」的情勢出現吧!
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