班門弄斧:班佛定律與世界中的數

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〈班門弄斧:班佛定律與世界中的數〉2023-05-19


  長久以來,人們對「數學是什麼」有著截然對立的兩種想法。對一些人來說,數學只是一種人為建構的系統,正因為它並不依賴於真實世界,它才可以如此地自我完備。但對另一種思維而言,數學體現在生活中的方方面面,不只是人類在文明中使用數學,上帝或自然本身,從一開始就用數學來塑造這個世界。


  譬如說,人們在以帕德嫩神廟為典範的人造物與鸚鵡螺為典範的生物構造上,都找到了1.618的黃金分割率。而科學家也在部分植物的枝條數目與花瓣數目上找到費波那契數列。對於相信與熱愛數學的一些人來說,這無疑是「大自然以數學構造」之鐵證。但對另外一些人而言,這只不過是某種「幸運數字」,世界中存在著那麼多可供我們任意切分的數量,這和聖誕老人(Santa Claus)在專門的以數字6為單位的字母序換算公式(A=6、B=12、C=18,依此類推)中,會得到666的瀆神數字一樣,可以當我們茶餘飯後的談資,但不需要過於認真看待。


  但另一個例子可就不是「我們能在世界中找到符合」而已了。它被相信是一個能被大數據驗證的「法則」--「班佛定律(Benford’s law)」。



  1881年,天文學家Newcomb(不是班佛)在翻查對數表時發現,包含了以1為首數字的這幾頁比其他頁面破舊許多,後續數字的相關頁面破舊程度則明顯變低。這個有趣的「骯髒書頁效應」並沒有得到太多重視,直到任職於通用電器的物理學家班佛再一次注意到這件事,並在一定的統計和計算後,得到了以下的結果:


  在世界中任何足夠大的非人為操控且非隨機數中「首數為n」的數字佔比裡,n為1的情況佔了30.1% 、n為2佔了17.6%、n為3佔了12.5%,之後亦逐漸減少,直到n為9的4.6%。


  這組有點不符合直覺的數字在世界上大大小小的統計數字中被發現,甚至經常被拿來檢驗財務報表等數字是否真實。2020年美國網友也以此來質疑拜登在密爾瓦基的選票是否造假(再重新驗票之後還是拜登的得票更多)。這迫使我們不得不承認,我們世界中的確存在著某些數字的規律。



數字的趨力與本性

  然而,這意味著世界是由數學所建構的嗎?還是,這仍是數學閉環裡的一種必然現象呢?透過換匯,我們可以粗略窺探到這件事情的邏輯。按照當前的匯率,1美元大約可以換成30.63台幣。如果這裡有65個人,第一個人有一美元,之後每個人比前一個人多一美元,那他們分別有多少台幣呢?


  透過計算我們會發現,從擁有33元的那個人開始,直到最後一個人,他們都有「一千多元台幣」。所以,包括有一百多元台幣的那幾個人,有超過一半的人擁有的錢換算成台幣時首數是1。如果繼續算,會再有三十幾個人首數是2,直到有一些人台幣總額的首數是一萬多時,1為首數的人數又會暴增。這意味著,這其實不是什麼古怪的數學巧合,而是一個根據數學理所當然的事情。但這樣的理所當然有沒有什麼超越於數學的意義呢?



  事實上,就像我們理所當然地願意接受四捨五入,數對我們而言是具有方向性的。隨著數字越來越大,它們越加「傾向」進位,而1~3的數字則傾向於保守地留在原地。根據班佛定律的計算,如果算上第二位數,10開頭的數是最多的、99則最少。


  這一方面是10進位的「宿命」,另一方面,也給對這種數字的傾向給出了說明。我們之所以會覺得99元的東西划算,因為它讓我們相信它如此接近但少於100,而101元的東西則明顯貴了一塊。在我們的直覺裡面,這些數字雖然還「是它們自己」,但看起來要按捺不住的雙腿似乎不由自主地都朝向100。



  在我們的世界中,我們大量地使用數學,這與我們的自然性的理解已經難以劃分。無論數學究竟是「本源地」在世界之中還是人為建構,我們無法穿越數字去理解,也無法抽象且無感情地看待數字。


  我們無法像拉馬努金那樣和每個數字交朋友,沒辦法說出「那是個有趣的數字,在所有可以用兩個立方之和來表達而且有兩種表達方式的數之中,1729是最小的」,但至少我們可以注意到這些與我們的日常互相影響的數字,知道它們為什麼會這樣,並知道它們可以用來做什麼。畢竟數學不會背叛你,不會就是不會。





延伸閱讀:

〈Mr. Anderson〉

〈俄式乘法:關於「拆分計算」、「尋找規律」與「二進制」思路〉

〈機率思維中的張力:三門問題與「運氣守恆的直覺」〉

〈《欲罷不能》:快速好上手的經典骰子遊戲〉

〈「他們」在騙你:陰謀論與認知作戰〉

〈不只關於答案,關於理解並回應問題〉


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