班門弄斧：班佛定律與世界中的數
〈班門弄斧：班佛定律與世界中的數〉2023-05-19
長久以來，人們對「數學是什麼」有著截然對立的兩種想法。對一些人來說，數學只是一種人為建構的系統，正因為它並不依賴於真實世界，它才可以如此地自我完備。但對另一種思維而言，數學體現在生活中的方方面面，不只是人類在文明中使用數學，上帝或自然本身，從一開始就用數學來塑造這個世界。
譬如說，人們在以帕德嫩神廟為典範的人造物與鸚鵡螺為典範的生物構造上，都找到了1.618的黃金分割率。而科學家也在部分植物的枝條數目與花瓣數目上找到費波那契數列。對於相信與熱愛數學的一些人來說，這無疑是「大自然以數學構造」之鐵證。但對另外一些人而言，這只不過是某種「幸運數字」，世界中存在著那麼多可供我們任意切分的數量，這和聖誕老人(Santa Claus)在專門的以數字6為單位的字母序換算公式（A=6、B=12、C=18，依此類推）中，會得到666的瀆神數字一樣，可以當我們茶餘飯後的談資，但不需要過於認真看待。
但另一個例子可就不是「我們能在世界中找到符合」而已了。它被相信是一個能被大數據驗證的「法則」－－「班佛定律（Benford’s law）」。
1881年，天文學家Newcomb（不是班佛）在翻查對數表時發現，包含了以1為首數字的這幾頁比其他頁面破舊許多，後續數字的相關頁面破舊程度則明顯變低。這個有趣的「骯髒書頁效應」並沒有得到太多重視，直到任職於通用電器的物理學家班佛再一次注意到這件事，並在一定的統計和計算後，得到了以下的結果：
在世界中任何足夠大的非人為操控且非隨機數中「首數為n」的數字佔比裡，n為1的情況佔了30.1% 、n為2佔了17.6%、n為3佔了12.5%，之後亦逐漸減少，直到n為9的4.6%。
這組有點不符合直覺的數字在世界上大大小小的統計數字中被發現，甚至經常被拿來檢驗財務報表等數字是否真實。2020年美國網友也以此來質疑拜登在密爾瓦基的選票是否造假（再重新驗票之後還是拜登的得票更多）。這迫使我們不得不承認，我們世界中的確存在著某些數字的規律。
數字的趨力與本性
然而，這意味著世界是由數學所建構的嗎？還是，這仍是數學閉環裡的一種必然現象呢？透過換匯，我們可以粗略窺探到這件事情的邏輯。按照當前的匯率，1美元大約可以換成30.63台幣。如果這裡有65個人，第一個人有一美元，之後每個人比前一個人多一美元，那他們分別有多少台幣呢？
透過計算我們會發現，從擁有33元的那個人開始，直到最後一個人，他們都有「一千多元台幣」。所以，包括有一百多元台幣的那幾個人，有超過一半的人擁有的錢換算成台幣時首數是1。如果繼續算，會再有三十幾個人首數是2，直到有一些人台幣總額的首數是一萬多時，1為首數的人數又會暴增。這意味著，這其實不是什麼古怪的數學巧合，而是一個根據數學理所當然的事情。但這樣的理所當然有沒有什麼超越於數學的意義呢？
事實上，就像我們理所當然地願意接受四捨五入，數對我們而言是具有方向性的。隨著數字越來越大，它們越加「傾向」進位，而1~3的數字則傾向於保守地留在原地。根據班佛定律的計算，如果算上第二位數，10開頭的數是最多的、99則最少。
這一方面是10進位的「宿命」，另一方面，也給對這種數字的傾向給出了說明。我們之所以會覺得99元的東西划算，因為它讓我們相信它如此接近但少於100，而101元的東西則明顯貴了一塊。在我們的直覺裡面，這些數字雖然還「是它們自己」，但看起來要按捺不住的雙腿似乎不由自主地都朝向100。
在我們的世界中，我們大量地使用數學，這與我們的自然性的理解已經難以劃分。無論數學究竟是「本源地」在世界之中還是人為建構，我們無法穿越數字去理解，也無法抽象且無感情地看待數字。
我們無法像拉馬努金那樣和每個數字交朋友，沒辦法說出「那是個有趣的數字，在所有可以用兩個立方之和來表達而且有兩種表達方式的數之中，1729是最小的」，但至少我們可以注意到這些與我們的日常互相影響的數字，知道它們為什麼會這樣，並知道它們可以用來做什麼。畢竟數學不會背叛你，不會就是不會。
延伸閱讀：
〈俄式乘法：關於「拆分計算」、「尋找規律」與「二進制」思路〉
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