中學以下的素養教育與經驗談：國一下數學篇──一元一次不等式
每篇都要再次說明，所有的教學方法與手段，完全要看：
- 個人因素
- 社經背景
- 對應教材與年齡
沒有百分百適用，也不會有一招行天下的密技，最大差異在於針對個人或是多人數上課。而且不管多好的教材，只要學生本身完全沒有學習的意願，都是沒有用的，這時候就得要換其他方式，不能只看教材與方式。
一下的另一個單元，拆成一元一次不等式，還有屬於對數字敏銳度的比例與統計。這要分開講一下，首先談不等式，這跟之前的方程式有不小差距，許多同學會一下子轉不過來，尤其是正負號的轉變上。
比例還好，著重在抓住正反比的概念，統計則是要記清楚平均數、中位數與眾數的定義，以往這些放在三年級，現在提前到國一下（七年級下學期），代表教育上認為，學生早點學會基本的統計觀有好處。
一元一次不等式
總之，先從一元一次不等式開始。不等式的重點可粗分為兩個 ：
- 求範圍而非唯一解，心態上要調整，初學者最好通通用數線思考。
- 不只是會求解，而能透過文字敘述了解列式與解題，意即閱讀素養。
以數線輔助抽象思考 何謂數線思考？ 
如上圖，不等式指的是大於、小於，或是大於等於、小於等於，指一個「範圍」。大於、小於在左邊，不包含指稱的那個點，若為大於等於、小於等於，則包含那個點。
請逐步用實際數字帶入，讓同學慢慢抓到那個感覺，例如下圖：
建議用筆塗色，實際表達出包含範圍的概念。
接著，再附加文字，出一些簡單的應用題，如下題：
範例：已知一元一次不等式 x＞3，請列出最小的三個整數解。
解答：4、5、6
需要當場解釋，因為大於（）的符號不包括該數字，所以最小的整數並非是3。然後接著立刻出大於等於3的題目如下：
範例：已知一元一次不等式 x≧3，請列出最小的三個整數解。
因為大於等於包含該數，所以 x≧3 當然是包含3，故最小整數為3。
之所以要很清楚地建立這些概念，是因為不等式很容易誤讀，尤其配合文字後，會常漏掉條件，導致算錯。要解決此問題的最佳路徑，就是在定義部份弄非常清楚，包含、不包含，是整數解或分數，很難從方程式中找到答案的，一律用數線去慢慢釐清。
這意思是，請同學把方程式整理後，發現x、y的正負相同，那麼會是一條左上到右下的斜直線，若正負號不同，會反過來從左下到右上。真的不行就不要死背了，這是一種感覺，有助於繪製圖形時，或是解題時直覺上發現不對勁的地方，再次強調不要當成祕笈去背。
因為真的有補習班會這樣教，以提高解題速度，筆者是覺得沒有必要。因為有感覺的很快就會，沒感覺的練半天只是背，不如去學其他的。
筆者的經驗裡，聯立方程式解的出來，中等程度的學生，大致上應該是不會連畫圖都亂七八糟，但值得我們去注意，或者說要學生一定得學會的概念，主要是特殊狀況，也就是「唯一解」、「無解」、「無限多組解」，這個用圖形來說最快，但也記得方程式的特性要解釋清楚。
複習運算規則理解「變號」 通常到這邊，開始會遇到一元一次不等式運算的困難，所謂的「變號」，同學會有人弄不清楚，為何乘了負數後大於小於的符號會改變，這得要靠例子去解釋。解不等式前，要先從運算規則開始，將不等式當成等式，用加減乘除一個個帶入，讓同學能體會。
筆者的意思很單純，學生的程度若無法舉一反三，就得加減乘除都表示一次，讓學生了解到「不等式兩邊做一樣的處理，結果依然會一樣」，但這「僅限於正數」。
下面四題用一樣的數字只是改為負數，再列一次結果如下：
在此，可以對同學解說，加減法的正負號，不會對不等式造成影響。但乘除法卻會，若乘除負數就需要變號。
實例來看變號的狀況 不過，應該會有不少同學，在數字上可以理解變號，但實際上無法理解為何，這邊得舉實際的例子。
範例：小明今年2月拿到一筆壓歲錢，然後他每隔1個月就花掉1000元，6月份的錢花完後，小明發現他的壓歲錢剩下2000元，請問他2月份拿到的壓歲錢是幾元？
- 答：設壓歲錢原有x元，每個月花掉1000元，記做-1000，從6月往回推到2月，已經「過了」4個月。
- 所以壓歲錢x＝用掉的＋剩下的＝（-1000）×（-4）＋2000＝4000＋2000＝6000
這是一個一元一次方程式的題目，一般我們不會這樣算，而是把「用掉1000」跟「過了4個月」，只取1000跟4相成，但若跟現有的狀態相比，金錢是花掉的，時間是過去的，都是「已經消失」的部分，整體來說都是用掉，要用負號代表。
那在不等式中又要怎麼去理解？可以數線，畫成實際狀況讓同學去想，重點是想通變號，不是說每一題都得要轉個彎去畫數線，習慣後就直接變號就好。 負向的時間軸和花去的錢為何負負得正
範例：有一個蹺蹺板，左邊放了1公斤的磚塊6塊，右邊放了1公斤的磚塊4塊，倘若一次可以搬走2塊，請問如何用不等式表示，哪一邊會先拿光？
各位可以看到，生活上在使用乘除以負號時，通常都是要表達「拿走」、「失去」，而且都有單位。透過上題，我們可以發現，最後之所以得到-2次大於-3次的結論，是因為題目問的是「誰先拿光」，所以-2次就是拿走2次，-3次是拿走3次，當然就題意來說會得到這個結論。
因為，原本比較多的那一邊，用相同速率取走，當然會要比較多次，但比較多次卻在先拿走的意義上落後了。
讀者可能覺得這是詭辯，主因是太過抽象，一般人不會這樣思考，而是很直觀的覺得，左邊要拿3次，右邊拿2次，當然是右邊「次數少比較快」。但這加上負數的概念，拿走本身就是負數的意思，所以負數的數字越小，當然就越快。
我們平常不會這樣兜圈子講話，自然覺得很難理解，但如果有做金融財管的，碰到利率反推，或是推算未來的損益，也許就能很快想通。
就如同前面負負得正的範例，小明往前回推，就時間軸來說就是負的，每個月花掉的錢，對於原本有的錢來說，擁有是正的、花掉即為負，所以負負得正可以推得原本有多少壓歲錢。但一般人會這樣想嗎？通常是直接想4個月、每月1000，共花了4000，加回去就好。
當然，筆者的意思不是要各位把每個數學都具體、生活範例化，這其實不大對。數學是描述大自然的語言，如果學生的抽象能力不好，本就不適合走向高深的數理科系。
也就是說，如果每一題都得要超級具體的案例，不然無法理解純粹數學的抽象計算，那麼可能要心裡有底，知道這位同學，很可能真的不適合。筆者的經驗是，國中大概是最後階段，不能否認有人大腦到了高中才完全發育，突然打開了那扇門，但比例真的很低。
通常到這邊，開始會遇到一元一次不等式運算的困難，所謂的「變號」，同學會有人弄不清楚，為何乘了負數後大於小於的符號會改變，這得要靠例子去解釋。解不等式前，要先從運算規則開始，將不等式當成等式，用加減乘除一個個帶入，讓同學能體會。
筆者的意思很單純，學生的程度若無法舉一反三，就得加減乘除都表示一次，讓學生了解到「不等式兩邊做一樣的處理，結果依然會一樣」，但這「僅限於正數」。
下面四題用一樣的數字只是改為負數，再列一次結果如下：
在此，可以對同學解說，加減法的正負號，不會對不等式造成影響。但乘除法卻會，若乘除負數就需要變號。
實例來看變號的狀況 不過，應該會有不少同學，在數字上可以理解變號，但實際上無法理解為何，這邊得舉實際的例子。
範例：小明今年2月拿到一筆壓歲錢，然後他每隔1個月就花掉1000元，6月份的錢花完後，小明發現他的壓歲錢剩下2000元，請問他2月份拿到的壓歲錢是幾元？
- 答：設壓歲錢原有x元，每個月花掉1000元，記做-1000，從6月往回推到2月，已經「過了」4個月。
- 所以壓歲錢x＝用掉的＋剩下的＝（-1000）×（-4）＋2000＝4000＋2000＝6000
這是一個一元一次方程式的題目，一般我們不會這樣算，而是把「用掉1000」跟「過了4個月」，只取1000跟4相成，但若跟現有的狀態相比，金錢是花掉的，時間是過去的，都是「已經消失」的部分，整體來說都是用掉，要用負號代表。
那在不等式中又要怎麼去理解？可以數線，畫成實際狀況讓同學去想，重點是想通變號，不是說每一題都得要轉個彎去畫數線，習慣後就直接變號就好。 負向的時間軸和花去的錢為何負負得正
範例：有一個蹺蹺板，左邊放了1公斤的磚塊6塊，右邊放了1公斤的磚塊4塊，倘若一次可以搬走2塊，請問如何用不等式表示，哪一邊會先拿光？
各位可以看到，生活上在使用乘除以負號時，通常都是要表達「拿走」、「失去」，而且都有單位。透過上題，我們可以發現，最後之所以得到-2次大於-3次的結論，是因為題目問的是「誰先拿光」，所以-2次就是拿走2次，-3次是拿走3次，當然就題意來說會得到這個結論。
因為，原本比較多的那一邊，用相同速率取走，當然會要比較多次，但比較多次卻在先拿走的意義上落後了。
讀者可能覺得這是詭辯，主因是太過抽象，一般人不會這樣思考，而是很直觀的覺得，左邊要拿3次，右邊拿2次，當然是右邊「次數少比較快」。但這加上負數的概念，拿走本身就是負數的意思，所以負數的數字越小，當然就越快。
我們平常不會這樣兜圈子講話，自然覺得很難理解，但如果有做金融財管的，碰到利率反推，或是推算未來的損益，也許就能很快想通。
就如同前面負負得正的範例，小明往前回推，就時間軸來說就是負的，每個月花掉的錢，對於原本有的錢來說，擁有是正的、花掉即為負，所以負負得正可以推得原本有多少壓歲錢。但一般人會這樣想嗎？通常是直接想4個月、每月1000，共花了4000，加回去就好。
當然，筆者的意思不是要各位把每個數學都具體、生活範例化，這其實不大對。數學是描述大自然的語言，如果學生的抽象能力不好，本就不適合走向高深的數理科系。
也就是說，如果每一題都得要超級具體的案例，不然無法理解純粹數學的抽象計算，那麼可能要心裡有底，知道這位同學，很可能真的不適合。筆者的經驗是，國中大概是最後階段，不能否認有人大腦到了高中才完全發育，突然打開了那扇門，但比例真的很低。
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