卜豐投針與亂數模擬法

求解圓周率的方法有很多種，卜豐(Buffon)，法國的博物學家，他曾做了一個有趣實驗，在一張白紙上畫了很多個平行直線，然後他也準備很多的細針，假設細針的數量為A，但是這些細針的長度剛好是平行直線之間的距離值的一半，然後把針隨機投下，其中針與的平行直線相交的數量為B，那麼A/B的比值會近似於3.1415926...，以數學學習而言，你會想了解卜豐投針實驗裡的圓在哪裡 ? 以亂數模擬的角度來看，他是歷史上第一個用不確定性的方式來處理確定性的問題

卜豐投針的推理如下 : 1. 將一鐵絲做成直徑為d的圓圈，平行線之間的距離也恰好為d，如此鐵絲圓圈不管怎麼亂投，必然與兩平行線有兩個交點，不是在一平行線上有兩個交點，就是剛好相切於兩平行線，因次n個鐵絲圓圈必然產生2n個焦點 2. 把鐵絲圓圈打開變成直線，如此直線的長度為πd，這個直線鐵絲與平行線的焦點個數會介於0~4之間 3. 由於長度相等，所以圓圈與直線的形狀，與平行線的交點數量都會相等 4. 當鐵絲長度為L，隨投擲次數n的增加，交點數m，會與L呈現正比例的增加，該比例註記為k，則有m=Lk 5. 當L=πd的特殊情形，有m=2n。由此可得k=2n/πd，代入上式（m=kl），有：m/n=2L//πd 6. 特別地，取L=d/2，便可得到卜豐結果，即m/n=1/π

以近代的亂數模擬而言，可以透過圓的代數公式與兩個介於0~1之間的亂數來模擬圓周率，請參考下圖