2022-04-28|閱讀時間 ‧ 約 3 分鐘

質疑或確信,Bayes factor

前言

接續先前本專題文章《經驗與預測,Bayesian Inference》,本貓貓見到一部不錯的影片來介紹 Bayes factor:
影片藉由引入發生比 (Odds) 的概念,替換概似性 (Likelihood function),使得 Bayesian inference 更為簡單乾淨地區分事前機率 P(H) 以及證據 E。其中比較的部分請見 18:30 左右。
對此,貓貓希望簡單地整理一下,補足兩種表示間的推論過程。

Bayes factor

以發生率表示 Bayesian inference
Bayes factor K
Bayes factor K

情境討論
情境
考慮 Bayes factor K 的三種可能,看出 Bayes factor K 是比較假說 H 成立與否,對於證據 E 的預測能力的一種指標。當假說 H 成立時,證據 E 發生的可能相較於當假說 H 不成立時,證據 E 發生的可能,若是
  1. 較小,則偏好假說 H 不成立。極端情況下,若假說成立則不應觀測到證據 E。
  2. 相等,則不管假說 H 成立與否。
  3. 較大,則偏好假說 H 成立。極端情況下,若假說不成立則不應觀測到證據 E。
簡單來說,當 O(H) 固定而 K 越大,則 O(H|E) 越大。 在給定的證據 E 面前,更加支持原先設定的假說 H。

以概似性重新檢視
概似性(Likelihood function)
為了方便理解,在先前藉由發生率引出 Bayes factor 後,現在重新寫回概似性的表示。在概似性的寫法下,可以藉由調整 K,觀察概似性 P(H|E) 對 K 的函數關係。

討論

在上述推論中,基於 Bayesian inference 並藉由引入 Bayes factor 的概念來觀察此概念的意義。觀察方式藉由發生率及概似性作出結論:
Bayes factor K 的數值由小到大,代表對於假說從否認到確信。
當一份假說模稜兩可,K=1 時,並無法藉由證據 E 證明或證偽。 以熱門影片《阿翰 po 影片 │算命阿姨 九天玄女之天女散花》來作範例,令觀測證據 E 為爆米花爆開,而假說 H 為九天玄女降落,假說不成立的 not H 則為九天玄女沒有降落。 此時,無論九天玄女有沒有降落,只要瓦斯開著,爆米花就會爆開。此情境 Bayes factor K=1,而無法證明或證偽九天玄女是否降落,徒留可疑感。
對於 K=1 的情境,貓貓希望大家能區分笑話跟現實,保有懷疑精神。
信仰與質疑之間

參考資料

Reference
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