中學以下的素養教育與經驗談：國三上數學，圓形（1）

國三幾何會把過去一二年級學過的全部用上，所以考試成績會讓學生很挫折。這種考驗過去有沒學好的總整理，筆者個人的經驗是：「沒辦法」。過去沒打好的底，想要臨時抱佛腳，在幾何這種非常需要累積的部分一定撞牆。此時想從頭鍛鍊實在很拚，做不到也不勉強，就抓好基礎題型的觀念，把握基本分就對了。

圓形

點與圓：圓內、圓上、圓外

點與圓的關係如下：

這裡要注意的，是點在哪一個地方，有一個不常見，但學生會問的問題。那就是「圓上」一點算不算圓內？

不算，圓的定義是「平面中一點（圓心），距離此一點等距離的所有點的集合」，這個做圖就知道，我們會先用圓規定住圓心，然後用鉛筆在一個相等距離，畫一筆連出封閉圖形，這就是圓。所以圓內「不在圓上」。

會有這種疑問，大部分是解題遇到，因為有時候題目講面積時，是圓以內且包含圓上，所以會有同學弄不清楚。這對解題或許沒影響，但題目敘述有可能造成學生混亂，建議稍微花點時間，或是補一行字在講義上說明，但請註記「不會考」。

線與圓：學習邏輯別太跳

接下來是線與圓的關係

單純講線與圓，關係真的很單純，但務必要詳記「交點」關係。也就是

割線「交圓於兩點」、切線「交圓於一點」，其他就是不相交，也就是一般直線，沒有特殊關係。

然後然後，請不要急著講圓與圓的關係，保證絕對死給你看。課本為何先講弦心距跟弦的關係，而不是直接接著圓跟圓，是有一定的道理。

有的補習班，或是新進教師會想說，透過點、線、面很「和諧」的方式去授課，然後就爆炸了。學生也是，有看筆者寫這系列的同學，請記得為何老師如此教？都是有學習邏輯在，你可以讀通之後自己筆記，順序調成你熟悉的去記憶，萬不可一開始就自作主張。

接下來就是最容易錯的第一個：

「弦是割線的一部分，割線不是弦」

如下圖，弦是藍色的部分，只是在圓割線中，屬於「圓上兩點之間的範圍」。這個很重要，請老師千萬要記得，不要忘了提，家長如果忘了請找專業補教老師，不要自己亂講。

所以，直徑是不是一條割線？不是，直徑是最長的「弦」。

弦心距：題目多直角三角形、概念可延伸到切線

一條割線可以通過圓心，讓其中一段變成弦，但直徑不是割線。

如上圖所示，弦心距指到圓上一條弦的垂直距離，是距離不是線，不過一般來講都是直接畫線，就先不管這個。由於弦心距連到圓心，這也表示做紅線到圓上，就是圓的半徑，故弦心距的題目幾乎都會跟直角三角形有關，照道理說只要直角三角形學好就沒問題，弦心距題型多半是圖形複雜，瞬間看不出切入點。

弦心距的概念是「點到線」，「點到割線」是如此，那麼「點到切線」呢？這當中有一個問題，許多老師授課時會忘記，導致學生一直不懂，為何「半徑垂直於切點」？

呃，講到這，老師應該恍然大悟哪邊漏講了。漏掉了點到切線的變化，所以筆者通常會在這當中，夾一兩張圖如下，讓學生自然而然記住切點到圓心連線垂直。因為這就是弦心距的變形啊。

其實不會很花時間，順便畫兩個圓，動態的表示那個「紅線」圍起來的三角型，好像越來越小對不對？學生自然就會理解，小到不能再小變成一條線，這就是弦心距垂直的概念而已。

總之，弦心距的性質，諸如垂直平分弦、延長線會變成直徑，這反而在「動態教學」上面沒那麼主要，學生會自然記起來。

圓與圓：加上割線跟切線就變成複雜題型

最後，是圓與圓的關係，這個就煩了。

關係好懂，重點在交點，有看圖應該都看得懂。筆者是建議，如果是用電子白板上課的，可以把那個紅圓從外到內慢慢移動，邊移動邊解說。（待續）