上古漢語的邏輯結構 041

1.0 從函數到函算語法

1.2 函數概念小史

• 1.2.1 中譯的來源
• 1.2.2 一個速度問題
• 1.2.3 幾何的方法
• 1.2.4 微積分的記法
• 1.2.5弦的振動
• 1.2.6熱的傳導

二

傅立葉認為他的結果對任一函數皆有效，並將函數定義為

(F_F) 在一般情況下，函數 f(x) 代表一系列任意的值或縱坐標。橫坐標 x 被賦予無窮的值，縱坐標 f(x) 的數目相同。它們全都有實際數值，或正或負或零。我們不認為這些縱坐標受制於某共同律則﹔它們以任何方式相互接替，每一個縱坐標都以單一量給定。[Rüthing 1984: 73]

這個定義非常現代。

首先，在二維的卡兒坐標系統中標繪一點時，我們會使用有序對，比如 (x, y)，x 屬對的第一個元素，稱為「橫坐標」(abscissa)，y 屬對的第二個元素，稱為「縱坐標」(ordinate)。換句話說，(F_F) 的頭兩句隱藏著函數可以用有序對表述的觀念。

現代觀念中的函數 f(x) —— 作為一個關係 —— 通常可以被理解為一個有序對 (x,f(x))，x 代表的值為輸入值，f(x) 代表的值為輸出值。假如 f(x)＝y，那麼作為函數的對 (x, f(x)) 就是 (x, y)。

這個理解對多變元函數同樣適用。

如果某函數有兩個變元，比如 x 和 y，我們仍然可以將該函數 f(x, y) 表述為一個對 ((x,y), f(x, y))，這時對的第一個元素也是一個對 (x, y)。假如 f(x, y)＝z，該函數可以表述為 ((x, y), z)。

又假如某函數有三個變元，對的第一個元素就是一個三元組，比如 (x₁, x₂, x₃)，而該函數則可以是 ((x₁, x₂, x₃), f(x₁, x₂, x₃))，仍然是個對﹔假如 f(x₁, x₂, x₃))＝ y，該函數可以表述為 ((x₁, x₂, x₃), y)。如此類推。

雖然 (F_F) 沒有明說函數可以表述為一個對，但 (F_F) 的內容足夠顯示我們可以借用平面坐標系統標繪一點時的橫縱兩個數值來表述函數。(F_F) 開闢了一條表述/理解函數的精緻途徑。(F_F) 的第二句，「... 橫坐標 x 被賦予無窮的值，縱坐標 f(x) 的數目相同 ...」，借用現代的語言來說，就是說每一個輸入值都有一個輸出值。這同樣是非常相近現代觀念的一個說法。

但這個函數定義的缺點有兩個。

一，在記法上沒有區分函數和函數的值，「f(x)」可以指稱函數，也可以指稱函數的值﹔這是第一個問題。

二，雖然傅利葉用一個三角級數去表述函數，但在定義函數的時候，他卻回歸幾何的語言。縱使是出于方便，但因此仍然將函數概念困囿在一個物理的圖像中，便遠離抽象的普遍性。

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待續