舊業重溫3--根與係數關係問題

學生拿著卷子來問,頗多一元二次方程式根與係數關係的題型。以下分享典型的題目,並介紹不同思考下的解法。

題目:

題(1):

解法1. 正面仰攻,直球對決。題目問的是兩根平方和,那就直接用公式算出兩根,各自平方後,再相加。

先求兩根:

(根據一元二次方程式求解公式)

再各自平方: (利用乘法公式)

相加後,根號部分抵消,得 76/4 (四分之七十六),約分為整數19,就是答案。

解法2. 前面的方法要演算根式以及分數,對多數學生有不小的壓力。感受到壓力,便能體會根與係數關係的好處。以下先提示一元二次方程式的根與係數關係:

若方程式 a𝒙² + b𝒙 + c = 0 (a≠0) 的兩根為α與β, 則有 α+β = - b/a; αβ = c/a 。 

解題的關鍵訣竅在於將所求式表達成α+β與αβ的運算式。

本題係數 a =1, b = -3, c = -5, 所以α+β= 3, αβ= -5,

根據完全平方展開的乘法公式, (α+β)² = α²+ 2αβ+ β²

經過移項,得到 α² + β² =(α+β)² – 2αβ
                     = 3² – 2x(-5)
                     = 9 + 10 = 19

解法3. 基於題目條件, α是該方程式的根,表示可滿足方程式,

所以 α² – 3α– 5 = 0, 移項後得 α² = 3α+ 5 ……(ㄅ)

同理,因為β也是該方程式的根,所以 β² = 3β+ 5 ……(ㄆ)

將(ㄅ) (ㄆ)兩等式相加,得

α² + β² = 3α+ 5 + 3β+ 5 = 3(α+β)+10
       = 3x3 + 10 = 19

題(2):

如果也想採取前一題解法1的辦法,那需要熟記完全立方展開式,計算的項以及繁難程度都比前一題增加。學生能通過考驗的必定比前一題稀少,大概都會跟我一樣,棄解法1而用解法2或解法3吧。

欲採用解法2,就從完全立方展開式出發:

(α+β)³ =α³+ 3α²β + 3αβ²+ β³ = (α³+ β³ ) + 3αβ(α+β)

移項推得 α³+ β³ = (α+β)³ – 3αβ(α+β)

                = 3³– 3x(-5)x3 = 27 + 45 = 72

如欲模仿解法3,分別把前文(ㄅ)式與(ㄆ)式各自乘以α、β,

α³ = 3α²+ 5α ……(ㄇ)

β³ = 3β²+ 5β ……(ㄈ)

同樣地,把(ㄇ) (ㄈ)兩式相加,得

α³ +β³ = 3(α² + β² ) + 5(α+β)
      = 3x19 + 5x3     (利用前一題計算結果,
      = 57 + 15 = 72    小心,要是前一題算錯了,會帶衰到這一題。)

後記:

　1.本文提供的三種解法,似乎後兩種在計算上比較輕鬆,但其實計算的難易可能因題目給的數字或條件不同,而有差異,不能一概而論。譬如,當一元二次方程式的兩根是整數,那用解法1最簡單,何須大費周章?

　2.題(2)求立方和,解法3要利用計算平方和的結果,而解法2則不必,所以題目如果不要學生算平方和,解法2可能較省事。

　3.早期(久遠以前了)的高中數學涵蓋一元三次方程式的根與係數關係,可用來解決的題目類型與範圍更廣,比二次的更能體會其用處與學習的意義。但目前課綱已無,只談一元二次方程式的根與係數關係,感覺不出其重要性,因為仍有不少其他的方法可解決問題。

　4.留一個讓讀友享受解題成就的機會,算出答案者,歡迎留言告訴我。
練習題: 方程式 2𝒙² – 3 𝒙 – 4 = 0 的兩根為 α與β, 求α² + β² =?