一號自學生·潛水

一號自學生離開他的電腦螢幕，每週來到大學教室參加數學潛水艇，雖然是心愛的數學課，毫不猶豫地坐在最前面的座位，他最感到痛苦的還是必須配合上下課時間，一整天接受高強度數學課的作息，青少年階段的小孩坐在教室內的腦袋清醒度，並不配合意志力的呼喚，早上的課程常常是濛濛渺渺的彌留狀態⋯而往返時間花費長達三至四個小時的車程，也是較無奈的現實。（想想，學生上學的通勤時間和網路學習相較之下真的蠻沒有經濟效益的。）

說起來潛水艇也是全程錄影的課程，自學生也承認，回家再看一次就比較懂了，那麼，為什麼還需要去教室上課？

回答這個問題前，我們還要先談到，學校型態教育學生相對於非學校型態實驗教育學生，彼此都有一些想像和猜疑。

自學生剛進去坐滿堂堂高中學生的教室，覺得自己是誤入叢林的小白兔（大家都好厲害啊⋯），嚇得魂不守舍，聽課時腦袋一片空白；後來熟悉上課的相處模式後，同學從他的課堂反應觀察其實力，又覺得自學生好像小天才一樣厲害，進而想像他好像什麼都好棒棒（我國一的時候才剛開始學基礎的數學而已啊⋯），搞得這些哥哥、姊姊們頗為焦慮。

從自學生和齊老師的教學互動，也抓出了自學的盲點：數學學習者常常因為落入直觀，而失於嚴謹。這正是從學習動機為燃料出發的小孩，最缺乏的專業門檻。

至於最折磨學生的測驗，雖然也給予自學生在一定時間內完成某個階段的壓力，實際上從他和同學的臨場反應看來，我們覺得學校經常採用考試來做為評量標準，對於學生的學習意願的確造成相當大的扭曲（包括我們兩位家長和2號自學生姊姊都是）。無論時間是否設限，是否設立獎勵辦法，自學生還是會聚焦在滿足學習目標，而不是選擇完成考試而已。

能夠有效幫助一號自學生從焦慮脫困的，並不是什麼逆水上游的人格特質，而是'競爭'一直以來都不是自學生的單選項，週一到週五都不用上學的孩子也沒有上下課的鐘聲限制，所以他知道自己可以承受失敗，失敗也不會是'不可原諒的事情'，甚至是我們欣然接受的學習狀況，所以他會以很放鬆的心情去參加口試，並從中成長。

我們本來覺得這樣做已經算是很絕了，沒想到人外有人，這回小孩實在是走投無路了，極不願意地向齊老師問了一個'簡單卻怎麼也答不出來的問題'，老師竟然也是放大絕，堅持不給答案要他好好想想，真讓我們深有覓得知音的痛快～（小孩表示無言orz⋯）

話說回來，學生到底是怎麼習得知識的呢？一直都是自然而然就能明白的事，或許就是所謂的天賦，問題在於如果有一天這種能力突然消失，天才還能夠從頭學習、走出谷底再創高峰嗎？（天才小提琴家曼紐因就曾發生這樣的情況）

（以下是齊震宇教授與自學生達夫的電子郵件問與答）

齊老師您好：

我在重看集合基礎概念1的影片後，發現有些習題我不會證，苦思一段時間後也還是沒有結果，請問照片裡的2之1要怎麼證？（先證一題就好了，其他的我應該自己類推就可以了）感謝！

PS：S/(S/T)=S 交 T我已經證明出來了。

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達夫：

這題不能回答你。我想問一下，該敘述的意思知道嗎？我的意思是所有的符號都明白嗎？

齊老師

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齊老師您好：

如果我沒有理解錯誤的話，2之1的意思是： 「 給定一集合S和被J編號之以集合為元素的集合U={S_ j | j屬於J}(為方便而自行定義U集合)，把U裡的集合"分別"扣掉S(屬於其中一個S_j但不屬於S)再聯集跟把U裡的集合"先聯集"，再一起扣掉S是一樣的(所有元素都一樣或兩個集合互相包含) 」

請問這樣有理解錯誤嗎?

達夫 敬上

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沒錯。那你就得自己想了。

（⋯於是我們這些可惡的家長看到老師這樣的回信不禁放聲大笑～）

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達夫回信：「⋯」

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齊老師回信：「？」

（我們覺得他一定是在裝傻科科偷笑⋯）

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（隔天）

齊老師回信：「如何？」

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齊老師您好

我也認為這題非~~~常簡單，但我還是遲遲想不出來，最近當我在想數學問題時，都無法專心思考，甚至有智力下降的情況，導致本來很簡單的事情一直想不出來，再加上我也知道這真的並不難，而產生一種極其煩躁的情緒，變成想不出來火氣大，火氣大更想不出來的惡性循環，嚴重時還會危害到家具和家人，產生一種非常糟糕的狀況，我們家產生了共識，那就是我的身體狀況出問題了(已經到了能夠一眼看出病態的地步了)，現在正在想辦法調養。

我認為這次的智力下降讓我領悟了一件事，也算是一種契機，因為以前的我都能夠用先天帶來的某種稟賦自然地想出各種數學問題(也可能只是一顆正常的大腦，現在看來顯得彌足珍貴...)，我想到如果我能夠經過各種考驗成為數學家並且面對數學難題時，我的感覺跟現在是一樣的，那就是"毫無頭緒"，我不相信世界上有任何人能單靠智商"證明"任何頂尖的數學難題(拉馬努金可能智商很高，但它是利用智商"提出"問題而不是證明它)，想必有一套證明的邏輯可以依循，以前的我可能是無意識地用出了這些邏輯卻完全沒有自覺，所以我在身體變好前會翻出之前看您的微積分影片時做的習題的證明，如果有能力的話，也把影片本身裡的證明拿出來看，統整其邏輯，做出一套證明的系統，這是向曾經聰明的自己和齊老師學習，為未來面對頂尖數學難題的自己著想。

齊老師意下如何?

達夫 敬上

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達夫：

我想問題不在於那個習題簡不簡單。我自己的看法是，對任何一個人來說，在得知問題的解答之前，去想一個問題簡不簡單是沒有意義的，不管其他人覺得如何。思考數學應該是能讓內心平靜的活動，如果弄到火氣大、甚至大到對自己或他人有不良影響，那肯定不單只是在思考，而是摻進了別的成分。我前面有封信問你問題看得懂嗎？你說符號都看得懂。那麼，等號 = 你有看懂嗎？兩個集合相等是甚麼意思呢？

智力下降一詞在我聽來實在詭異。說到底怎麼衡量一個人的智力呢？或許你是說你現在的思考狀況跟從前不太一樣，而且「感覺上」比較差一點。我自己小時學數學的時候曾經因為一些觀念看不懂、沒有弄清楚定義，卡了好幾個月(最長的一次是一年)，可是總是有一天我突然就領悟了，然後發現原來這事情真是卡得蠢到爆。在卡的過程中，會有一種「不知道未來何去何從」的模糊感受，而我面對的方法是：反正每天都還是想一想，並多找幾本講同樣題材但講法可能不同的書來看，而且我也會抽時間看我可以理解的書籍。就是在這樣一種微妙的平衡之下，每當突破了思考的窘境，之前散落的片段不多久就能串起來，成為一個更扎實的本體。

我先前就有注意到(而且也有提過)你學微積分的經驗比較像工學院的學生(或者說科學家)，是基於一種大致上會安全的半邏輯直覺之上。這並沒有甚麼不好，而且人類歷史上東西本來就是先以這樣的面貌被學會的，多數的觀念都是依賴於直覺，或是這個我們的感官已經很熟悉的物質世界/存在。而你現在(跟著我)學的這些東西是反其道而行，表面上跟實體世界很相像，但實際上卻是很超現實的。如果你沒有卡住，反而是很奇怪的事(可能表示你是外星人或機器人？)。

或許你不要操之過急，看看我前面所寫的，放慢腳步。沒有甚麼東西是今天一定要學會的。我一個月後會回台灣一趟，希望那時候你放鬆多了。中間有問題還是可以問我。

齊老師

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齊老師您好

情緒的方面真的有比較穩定了，再加上數學終於有了突破，所以現在很開心！

2-1那題還沒有完全證明，還差了一個"S_ j \ S 的聯集是S_ j 的聯集的子集"的說明，我認為想不出來是觀念問題，所以我又回去看了全部的簡易邏輯和集合基礎1的前半部分，並且當天(昨天)證出了"((P 或 Q) 且 R) 若且唯若 ((P 且 R) 或 (Q 且 R))"和"(S\T={}) 若且唯若 (S 包含於 T)"(第一題只要把左邊真右邊假和左邊假右邊真寫一寫得出矛盾就可以搞定，第二題寫一寫發現左右是一樣的意思就可以了，其實都不複雜)，其實在被難題卡住時回去牛刀小試一下也是不錯的！

達夫 敬上

齊老師您好

我想通2-1了！以下解釋請搭配附件圖片服用(?)，順便把其他證明說一說。

部分1：

最上面是S\(S\T)=S 交 T 的證明，其實這是在上個月的某一天寫的(我猜的，真的拖了很久阿...)，看得出字跡比較淡，因為S\(S\T)跟 S交T 都是S的子集，所以只要考慮S裡的元素就可以了，說s不屬於S是錯的是因為違反假設。

中間偏上就是2-1，右邊兩個{...}只是把左右的集合寫出來看能不能幫助思考，因為左右都是S_ j的聯集的子集，所以我只要考慮S_ j聯集裡的元素就好了，紅圈圈加問號是因為我當時還沒有解釋為什麼左邊是S_ j聯集的子集，證明在部分2，強調一下"存在 j 屬於 J 使得 s 怎樣怎樣..."的句型是強調s的性質而不是J的性質！，J已經給定了！(順帶一提，兩個集合相等的意思是說元素一樣或是互相包含，這點我是知道的)

中間偏下是 ((P 或 Q) 且 R) 若且唯若 ((P 且 R) 或 (Q 且 R))的證明，我是用反證法，上半部是左邊邊真的狀況，下半部是左邊真右邊假的狀況(只有這兩種情況發生時，若且唯若才是錯的)，基本上就是否定到底，看出矛盾就可以了。

最下面是 (S\T={}) 若且唯若 (S 包含於 T) 的證明，似乎不需要什麼解釋。

部分2：

部分2就是在解釋部分1的紅圈，中間兩行不是什麼有用的論述，但意外地反過來應證了部分1最下面的事實！最上面跟最下面才是證明的本體。

本來14號就寫好了，會15號(今天)才寄是因為我花了一天的時間驗證嚴謹性(有點久啊...)，剩下的五題應該可以用類似的方法來解了！

達夫 敬上