希臘哲學 (2)
2023/04/27閱讀時間約 26 分鐘
二、Pythagoras 畢達哥拉斯
Samos 薩摩斯，是愛琴海上的一個島嶼；這個小島，位於小亞細亞、也就是Anatolia 安納托利亞的西海岸外，距離Miletus 米利都西北、約40 公里的地方。
古希臘時期，Samos 一直是Miletus 的商業競爭者，因為地處海上交通要道，所以經濟十分繁榮。
Pythagoras’ life 生平
* Pythagoras of Samos 畢達哥拉斯 (派賽哥拉斯) (c. 570 – c. 495 BC)
Pythagoras 生於薩摩斯島，是寶石雕刻匠Mnesarchus 的兒子；從他後來無需工作、而能夠四處遊歷學習、可以看得出來，他的家境應該十分富裕。
他在Polycrates 波呂克拉底統治前後、離開了Samos，當時，他約莫30 歲；離開的原因、應該是不滿Polycrates 的作為，但更多的、則是對於知識的渴望。
Polycrates 約在公元前540、535 年間、成為Samos 的僭主﹐一直統治到公元前522 年、被刺殺身亡為止。
所謂「僭主」(tyrant)，並不一定是暴君，古希臘人認為：凡是不通過世襲、傳統、或民主選舉程序，而憑藉個人力量、獲得權力，來統治城邦的統治者，都稱為僭主。
在Anatolia 西岸遊歷期間，Pythagoras 曾向Bias of Priene、Thales、和Anaximander (Thales 的學生) 等人學習，據說，Thales 建議他、應該像自己年輕的時候一樣、到埃及去遊學；也有人說：彈七弦琴的吟遊詩人Orpheus 教過他，Orpheus 是音樂家、也是一個神祕主義者。
Pherecydes of Syros 對於靈魂和輪迴的看法也影響了Pythagoras：Pherecydes 斐瑞賽德，是神話作家、和宇宙神祕論者，主張靈魂不滅；Syros，是位於Samos 以西、愛琴海上的島嶼。在Pherecydes 年老垂死之際，Pythagoras 還特地回到Syros 島、照顧這位從前的老師。
Pythagoras 遊歷到埃及，在那裡、約有十年之久；在埃及期間，他四處拜訪神廟、僧侶，研究宗教：除了作為大先知Soches 的門徒，他還向埃及祭司Oenuphis of Heliopolis、學習祭祀方面的知識。後來，畢達哥拉斯教派的許多教義，都可以找到它們的埃及淵源。
波斯王Cambyses II 甘比西斯二世、在公元前525 年入侵埃及，滅掉了當時的埃及政權，在浩浩蕩蕩的波斯艦隊中，還包括了Samos 的僭主Polycrates 背棄他的盟友、所派遣的四十艘戰船、加入其中。
Pythagoras 也因此被俘、而被送往Babylon 巴比倫；在那裡，他學習到當地的音樂、數學。從他被俘的這件事情、可以看出：Pythagoras 和埃及的上層階級、關係應該十分密切。
而近代考古發現的幾塊巴比倫泥板、則證實了：早在Pythagoras 的一千年以前，巴比倫人就已經知道現在的「畢氏定理」；所以，我們所稱的「畢氏定理」、應該是他在那裡學習到的知識，不過，他可能是第一個證明它的人。
大約在公元前520 年，Pythagoras 離開巴比倫、並返回薩摩斯島。Polycrates 死於公元前522 年，Cambyses II 則於公元前522 年夏天、意外身亡，這些統治者的死亡、可能是他返回Samos 的原因之一，但並沒有其他資料可以解釋、Pythagoras 是如何獲得自由的。
最後，約在公元前518 年，Pythagoras 到了現代意大利南部的Croton，並在那裡、建立一個致力於神祕主義的宗教團體。
Pythagorean school 畢達哥拉斯教派
Pythagoras 是這個教團的領袖，為一群被稱為mathematikoi 的核心追隨者圍繞。mathematikoi 終其一生生活在教團中，沒有個人的財產，而必須素食；他們由Pythagoras 親自教導。
畢達哥拉斯教派的信念是：
(1) 在最深刻的層面上，現實世界、本質是數學的；
(2) 從事於哲學思考、有益於精神的淨化；
(3) 靈魂、可以和「神」結合；
(4) 某些符號具有神祕的意義；
(5) 教團的所有成員、都應該恪守忠誠、和保密的要求。
教團的加入、不限男女；而教團的外圍圈、稱為akousmatikoi，他們住在自己的家裡，只在白天、來到教團學習，還被允許擁有自己的財產，且無須素食。
正如Aristotle 亞里士多德描述的：畢達哥拉斯教派的成員在數學的研究中生活、成長，他們認為：「事物」、就是「數」，整個宇宙、就是一個刻度、或一個數。
Pythagorean mathematics and science 數學和科學
Pythagorean theory of numbers 數的理論
Pythagoras 說：「數」是萬物的本原。
數1
數1 是「單子」(monad)，它是宇宙萬物、及思想的本原。
在一切數中，數1 是最基本的：它是計量一切數量的「單位」，也是其後、所有數的「開端」。
數1 不是數，而是數的「開端」，所以，第一個偶數是2，第一個奇數是3。
數1 既是奇數又是偶數，因為，把1 加到偶數上、就變成奇數，加到奇數上、就變成偶數，所以，數1 是雌雄同體的。
數1 先於宇宙，如果沒有數，那麼，任何東西都不能存在，而數、即便離開了具體的事物，也能夠被感知察覺，因此，萬物的第一原則、是「數」，而數1、又是「數」的第一原則。
數1 是理性、本體、靈魂，所以，數1 就是「善」。
數1 是創造者：由數1 的「運動」、產生了數2；又由數1 之作用於數2、產生了其後的數列，所以，數1 就是太陽神Απόλλων Apollo 阿波羅，它同時也是Prometheus 普羅米修斯，因為他為人類帶來光明。
「單子」(monad) 可以比喻為一棵樹的「種子」：當它長成樹時，會分岔出許多樹枝 (數)；換句話說，數、之於「單子」，就像是樹枝之於樹的「種子」。
數2
數2 是「雙子」(duad)。
數2 是意見、運動，也是「惡」、和黑暗的泉源。
相對於數1 是智慧，數2 則是無明。
數1、代表雄性、理念、和抽象的形式，數2、代表雌性、物質、和具體的事物。
數1、是眾神之父Zeus 宙斯，數2、是眾神之母Rhea 瑞亞，Rhea、意為「流動」，代表雌性、母性、和生育，也象徵「慾望」，隱含了「性」之意涵。
畢達哥拉斯教派崇尚「單子」而鄙視「雙子」，因為，它是對立、和兩極的象徵：「雙子」以其無明的力量、創造了一個、與天堂截然不同的深淵；深淵映照著天堂，成為虛幻的象徵，下方、不過是上方的倒影，下方、又被稱為瑪雅、幻覺、大海、太虛⋯。
進入「雙子」的「單子」、乃後代的祖先，「雙子」是須彌的子宮，宇宙在其中孵化，此時的宇宙、仍處於胚胎狀態。
數3
數3 是「三子」(triad)。
數3 是「宇宙」，因為，它是由數1、數2 所共同創生出來的萬事萬物 (3 = 1+2)：長、寬、高三維是三，開始、經過、終結也是三，「水、火、土」三元素也是三，「紅、黃、藍」三原色也是三，各種多面體、也都是由三角形所構成的，所以，數3 也代表「全體」。
三位一體、及其象徵 — 三角形 — 之神聖性，亦源於它是由「單子」和「雙子」所組成之事實。
在「聖十」(tetractys) 的三角形圖像中，有三個三位一體，而「單子」則位於三個三位一體的中心。
此外，最小的幻方 (魔方，magic square) 是由三階構造的，其中，每一行、每一列、每一對角線的數加總，和皆為15。
數4
數4 是「四子」(tetrad)。
數4 代表「正義」，它不但是第一個平方數 (4=2²)，也可以被分解為兩個2 的和 (4 = 2+2)。
數4 銜接點、線、面、體，也象徵「水、火、土、氣」四元素，也代表春、夏、秋、冬四季，也構成人的四個部分：理性、意見、慾望、肉身。
「四子」連接所有的存在、元素、數字、和季節。
「聖十」(tetractys)、是由數1 到數4 所排成的三角形。
數5
數5 是「五子」(pentad)。
數5 代表「婚姻」，因為，它是第一個雌性的偶數 (2)、和第一個雄性的奇數 (3) 的結合 (5 = 2+3)；它屬於希臘神話中，掌管愛情、性愛、和生育的Aphrodite 阿芙蘿黛蒂。
數5 還被稱為「平衡」，因為，它將完全數10、分成兩個相等的部分 (10 = 5+5)。
數5 象徵第五元素 — ether 以太 — 它不受四大元素的干擾。
畢達哥拉斯教派說：「水、火、土、氣」等元素都被一種叫做「以太」的物質所滲透 —「以太」是活力和生命的泉源，因此，他們選擇五角星、作為活力、健康、和精神發展的象徵。
「五子」就像是小麥籽粒，從種子的形式開始，經過自然的藴育過程、生長成為麥穗，再結出小麥的種子。
其他數、與自己相乘，尾數都會產生其他數，但只有5、和6 與自己相乘，能夠保留其原始數字、作為其乘積的最後一個數 (例如，5⁴ = 625，6³ = 216)。
數6
數6 是「六子」(hexad)。
數6 代表「完美」，它是它的所有因數 (扣掉自己) 之和 (6 = 1+2+3)，恰巧，它同時也是它的所有因數 (扣掉自己) 之積 (6 = 1⋅2⋅3)。
另外的完美數 (perfect number) 是28、496、和8128⋯。完美數十分稀少：在10 和100 之間只有一個，即28；在100 和1000 之間只有一個，即496；在1000 和10000 之間只有一個，即8128。
數7
數7 是「七子」(heptad)。
人的神祕本質，由三重精神體、和四重物質體構成；數3 (精神、思想、靈魂) 下降到數4 (世界)，總和為7。
數7 代表「機會」，因為，數7 是十個數中，既不產生任何數 (比方，3 產生6、9)，也不被任何數所產生 (比方，10 被5 產生) 的數；猶如Athena 雅典娜，她既是處女，也沒有母親，而是從Zeus 宙斯的頭中蹦出來的。
在古埃及的傳說，有七條通往天堂的道路；Osiris 歐西里斯 (埃及神話的冥王) 也曾經帶領他的父親、穿過冥界的七重宮殿。
畢達哥拉斯教派將「七子」稱為「值得尊敬的」，它是宗教之數，因為，人被七位天神所管轄；掌管行星運行的七個大天使、加上掌管太陽三面向的三個聖靈，構成了10，亦即，神聖的畢達哥拉斯「聖十」。
數8
數8 是「八子」(ogdoad)。
數8 代表「和諧」，因為，音階向上的第八個音符、是極其和諧的八度音。
數8 也是第一個立方數 (2³)。
數8 還是一個吉祥數：任何奇數的平方減一，總是8 的倍數 (例如，3²-1 = 8⋅1，5²-1 = 8⋅3)，這個事實可以用數學證明。
數9
數9 是「九子」(ennead)。
它與失敗、和缺陷相關，因為，它沒能夠到達完善的數10。
數9 代表「邊界、限制」，數9、是10 前面的最後一個數，因而，是10 前面的所有數的「阻礙」，使前面的數、無法順利進入10。
「九子」還被稱為空氣的球體，因為，它包圍著前面的數、把所有的數都聚集在自己之內，就像是空氣包圍著地球一樣。
數10
數10 是「十子」(decad)。
數10 代表「完善」(completeness)，靈長類動物、有十根手指、和十根腳趾；十進制可以追溯到用手指、和腳趾計算的年代，手指、腳趾是最原始的計算工具，至今仍在許多土著中使用。
數10 也是「完美」加「正義」(10 = 1+2+3+4)。
此外，數10 還構成「聖十」(tetractys)，這是由點1、2、3、4 所排成的三角形，這個圖案、可以回溯到古印度，呼應印度的「九蛇環繞梵天」、和埃及的「九神環繞創世之神Atum 阿圖姆」等傳說。
前段提到：在「聖十」(tetractys) 的三角形圖像中，有三個三位一體，而「單子」則位於三個三位一體的中心。
Pythaoras 以10 這個數、來建構星系：
星體有十個，正中央是一團火 (不是太陽)，所以，地球不是星系的中心；
反地球 (counter earth)、地球、月亮、太陽、以及其他行星，共9 個，圍繞著中心火團旋轉；
地球是一個球體；
星系之外、則是無邊無際的空虛 (pneuma 噓氣、黑暗)。
畢達哥拉斯教派主張：數、是事物的「範型」(paradigm)；事物、只是數的「摹仿」(imitation)。
畢達哥拉斯教派的「摹仿說」、影響了後來的Plato。
要想加入畢達哥拉斯教團，必須對「聖十」宣誓效忠，他們的禱詞如下：
「庇佑我們！神聖的數，祢創造了眾神和人類！
哦！神聖的四面體！祢蘊含了永恆流動的創造根源！
神聖的數，從深邃的、純粹的1 開始，一直到達到神聖的4，由此生出萬物之母，包羅萬象！
永不偏離、永不疲倦的聖十，萬物的祕鑰的持有者！」
Pythagorean theorem 畢氏定理
直角三角形，其兩邊的平方之和、等於斜邊的平方。這可以表示為：
a²+b² = c²
Garfield's proof of the Pythagorean theorem 加菲貓 (不是) 的證明
James Abram Garfield 是美國第20 任總統，他在任的期間，自1881 年3 月4 日就職，到他六個月後去世 — 被刺客槍殺的兩個月後 — 為止。
Garfield 在從政之前，本想成為一名數學家，因為他對於數學有著濃厚的興趣，甚至在當選國會議員後、仍孜孜不倦地學習；一天，當眾議院的其他議員正熱烈地討論國家大事，他想出了畢氏定理的一個簡單證明：
做一個大正方形，底長：c = a+b。
從正方形的左下角開始，沿著邊、往右，再向上，再往左⋯，類似逆時鐘旋轉，讓正方形的四個邊，依序，成為：a+b，a+b，a+b，a+b，這樣的切割。
把四個切割點、用直線連起來，會構成一個內嵌的小正方形 (理由不敘，自行思考)。
先計算大正方形的面積，它是：(a+b)² = a²+2ab+b²。
而內嵌小正方形的面積、則是：c²。
在內嵌小正方形的外圍、有四個小直角三角形abc，其中，c 是斜邊，a 是側邊，b是底邊。
每個小直角三角形的面積、是：(1/2)ab；加總起來，等於：2ab。
這樣，大正方形、扣掉四個小直角三角形，會等於內嵌的小正方形，這就證明了：
a²+b² = c²。
Pythagorean theorem proof using similarity 利用相似三角形來證明
我們想要證明：a²+b² = c²，
其中，c 是直角對應的邊，也就是斜邊；a 是側邊，b 是底邊。
首先，由直角、畫一條垂線到c，將c 切割為：x+y。
我們的任務、變成是要證明：a²+b² = c⋅(x+y) = cx+cy。
可以觀察到，前述垂線、將原來的直角三角形、劃分成兩個小直角三角形；而這三個三角形、都彼此相似，只是大小不同。
從斜邊、比側邊，可以知道：a/x = c/a；
從斜邊、比底邊，可以知道：b/y = c/b。
也就是：a² = cx；
另外：b² = cy。
相加二者，我們得到：
a²+b² = cx+cy = c⋅(x+y) = c²。
得證。
Another Pythagorean theorem proof 其他的證明
我們有一個直角三角形abc，c 是直角的對邊，也就是斜邊，a 是側邊，b 是底邊。
讓斜邊c 平貼於底部的地面，而讓側邊a、和底邊b 類似趴著的背、和大腿。
現在，以c 為邊、做一個大正方形，將剛剛的直角三角形、框在大正方形裡面。
接下來，再想像，把剛剛的直角三角形、往上移，移到大正方形的頂部；這個動作相當於：在正方形的「家」上面、蓋一個屋頂。
屋頂的一邊、就是原來直角三角形的側邊a，另一邊、則是原來的底邊b。
再從屋頂的直角、畫一條垂線，往下連結、框在大正方形裡面的直角三角形的直角。
這樣的圖形，看起來會像是一個從上方鳥瞰的、3d 的屋脊圖。
這個從上方鳥瞰的屋脊圖、有兩片屋面：一片、是以a、c 為邊的平行四邊形；另一片、則是以b、c 為邊的平行四邊形。
以a、c 為邊的平行四邊形，它的高是多少呢？
畫輔助線，可以知道：它的高、也是a (理由不敘，自行思考)；
同理，以b、c 為邊的平行四邊形，其高、也是b。
所以，這兩片平行四邊形的面積、加總起來、等於：a²+b²。
好，接下來想像：剛剛，不是把在「家」裡面的直角三角形、搬到正方形的頂部嗎？
現在，再把它剪下來，貼回原來平貼於地面的趴著的直角三角形之處。
這樣，兩片平行四邊形a²+b² 不就變回為一個正方形了嗎？
正方形的面積、為：c²。
這就證明了畢氏定理。
The mathematics behind music 音樂背後的數學
想像拉小提琴，用拉弓、摩擦琴弦、來製造音響；讓我們先從「弦」切入正題。
弦長比、等於其振動的頻率比之倒數，也就是說：弦愈長、振動得愈慢。
反過來，也可以這麼說：弦「短」比、等於其振動的頻率比，弦愈短、振動得愈快，弦短多少倍、振動的頻率就快多少倍。
接下來，讓我們把「弦」的因素擺開，單單看振動的頻率：
440Hz 相當於A 這個音。
我們可以把任意的音高、當成是：I，因為，以不同的音高為基準、不過是轉調的問題而已，所以，使用I、II、III⋯ 來為音命名，要比使用A、B、C⋯，更為普遍和抽象。
因此，我們可以用數1、替換剛才的振動頻率，而命名其音高為：I。
將振動頻率加快二倍、三倍、四倍、五倍⋯，等於自然數列：1、2、3、4、5⋯，但此時，音高、卻不會隨著頻率的倍數等比例變化、而成為：I、II、III、IV、V⋯。
為什麼呢？
這是因為，音高的變化，所依循的、是「冪方」的法則，而不是「倍數」的法則。這應該是Pythagoras 始料未及的事情。
此外，我們的耳朵、對於音程的要求，也比這些數列的間隔、來得更為細密和精緻，所以，如果只是用自然數來構造音階的話，那麼，音程間的間距、聽起來不免過寬。
所以，我們想要的是：在數1 和數2 之間、再細分成幾個階段。
數2，在人類的耳朵聽起來、和數1 十分類似，只是高低不同，這叫做八度 (octave)，而我們賦予它們同音。
將任意的振動頻率 (數) 乘以2、相當於將音高升高八度；反之，乘以1/2、相當於降低八度。
Pythagoras 如何構造在數1 和數2 之間的音呢？
先前提到：將振動頻率加快二倍、三倍、四倍、五倍⋯，等於自然數列：1、2、3、4、5⋯；然而，當Pythagoras 聽到數4 是高八度的同音時，就不再往下繼續聽了。
數3 的音高，以C 大調而言：數1、相當於C，而數3、則相當於G。
這個音高，超過了我們剛剛說的，數1 和數2 間的距離。怎麼辦呢？
Pyhtagora 想到的辦法，是讓它降低八度；而降低八度、則是將它的振動頻率乘以1/2，所以：3⋅(1/2) = 3/2。
這個音，在數1、和數2 的距離之內，Pythagoras 將其稱為：V，以C 大調來說的話，就是G。
在構造出V 之後，Pythagoras 又如何構造出其他的音呢？
他覺得，升高五度的這個辦法不錯，所以，就把剛剛的V、再升高五度，也就是，將它的振動頻率乘以3/2，如果以C 大調來說的話，變成D。
但這個音高，又超過了我們剛剛說的，數1 和數2 間的距離。怎麼辦呢？
辦法是，讓它再降低八度，此即，將它的振動頻率、乘以1/2。
將數3/2 升高五度、再降低八度的結果，成為：3/2⋅(3/2)⋅(1/2) = 9/8。
這個音，在數1、和數2 的距離之內，Pythagoras 將其稱為：II，以C 大調來說的話，就是D。
在構造出V、和II 之後，接著，畢達先生興致勃勃地沿用升高五度、降低八度的方法繼續操作：
從剛剛的II 出發，再升高五度，變成：9/8⋅(3/2) = 27/16。
這個音，在數1、和數2 的距離之內，Pythagoras 將其稱為：VI，以C 大調來說的話，就是A。
從VI 出發，再升高五度，但這次、又超過了，所以，要降低八度回來，我們知道：降低八度、就是乘以1/2。
前述的過程、相當於：27/16⋅(3/2)⋅(1/2) = 81/64 — III。
III 這個音，以C 大調來說的話，就是E。
從III 出發，升高五度，變成：81/64⋅(3/2) = 243/128 — VII。
VII 這個音，以C 大調來說的話，就是B。
他希望，按照他發現的巧妙方法、重複操作下去的結果，可以到達數2；但令人失望的是：不論他操作多少次，卻永遠也到不了2。
問題出在哪裏呢？
問題在於：他一開始選用的方法，是十分人為武斷的；為什麼、我們一定要乘以3/2 呢？
我們看到，Pythagoras 的音階，是用乘除、來構造各個音；但如前段指出：音高的變化，所依循的、是「冪方」的法則，而不是「倍數」的法則，所以，應該用開根號的方式、來構造各個音，才符合音階的「自然」規律。
因為，「和諧」純粹是主觀的感受，沒有什麼「絕對」可言；可以說，聽習慣了、就和諧，聽不習慣、就不和諧。
就振動的頻率來說，所謂「中間」，並不是兩個頻率加起來除以二、這樣的「算術」(arithmetic) 關係，而應該把兩個頻率相乘、再開根號求得，這叫做「幾何平均」(geometric mean)。
因此，就振動頻率來說，在數1 和數2 之間、真正意義的「中間」，乃Pythagoras 最喜歡的一個數；據說，他的一位門徒Hippasus of Metapotum 希帕索斯，因向教團外面洩漏了這個數是「無理數」(也就是無法用「整數比」表示的數) 的秘密，而被判以活活淹死於海中的懲罰。
這個數、是：√2。
好，剛才已經構造了七個音，但IV 這個音，又如何產生呢？
Pythagoras 想到的是、把數2 降低五度的辦法，也就是，2 除以3/2，得到：2÷(3/2) = 4/3 — IV。
IV 這個音，以C 大調來說的話，就是F。
這樣，八個音就構造完成了。
但是，問題並沒有結束。
問題在於：這八個音，並不能滿足全數都可以互相轉調的要求，有些調、轉不出來。這意味著：音太少、而不夠用。
所以，還需要在原來的八個音之間，如法炮製、再插入一些音。這也就是現在鋼琴黑鍵的由來。
而現代的「十二平均律」(12-tone equal temperament) 律制，乃是將八度音程、平均分為十二個半音，其使用的、則是前面提到的「幾何平均」之構造方法。
最後，補充一下，Pythagoras 只用3 來劃分數1 和數2 之間的音程 (稱為Pythagorean tuning、或3-limit tuning)，可是，別忘了，在前段提及的自然數列中、還有數5 啊，他為什麼不拿來用呢？
把數5 降低兩個八度，等於5/4，拿來與Pythagorean III (81/64) 相較，二者十分接近，我們只要把Pythagorean III 的分子、去掉1，也就是：80/64 = 5/4，兩者就完全吻合了。
這稱為「纯律」(just Intonation)，是由偉大的天文學家Ptolemy 發明的「天體的音律」，卻仍不免框限於「整數比」的思維模式當中。
【反思】：
數1、相當於第八阿賴耶識，亦即，一。
Pythagoras 將數1 比作「種子」，而第八阿賴耶識又稱為「種子識」，兩者不謀而合。
數2、相當於第七末那識，亦即，二。
第七末那識、又名「染污意」，和數2 的運動、「流動」、「惡」、黑暗的泉源等意義相仿；Rhea 所代表的雌性，象徵「慾望」，隱含了「性」之意涵，也和第七末那識所具有的「執我」意義類似。
數3、相當於第六意識，亦即，三。
Pythagoras 說：由數1 的「運動」、產生了數2；又由數1 之作用於數2、產生了其後的數列。
老子曰：「道生一，一生二，二生三，三生萬物。」
而Pythagoras 的數3，則跳過了「意識」、這層主觀的中介，直接代表宇宙萬物。
在《易經》中，洛書的「載九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，五在其中」，其實就是三階幻方，其中，每一行、每一列、每一對角線的數加總，和皆為15。
洛書的九宮圖，南、東南，東、東北，北、西北，西、西南的數，相差皆為5，與中央的5 相對應；這四個長條，分別代表火、木、水、金等四個元素，而中央、則代表土。
如果再把中央土、分別插入四個長條，則環狀帶、可以構成十二宮，成為十二地支的基礎；紫微斗數、八字等，都可以從這十二宮推演出來。
《易經》的卜筮、紫微斗數、八字等神祕學，由於欠缺科學、數學應該具備的嚴密的定理基石，信者、信其有，信其有、則受影響，受影響、則煞有其事，這些，可以稱為是中國的巫術也不為過。
管子曰：「凡聽徵，如負豬豕，覺而駭；凡聽羽，如鳴馬在野；凡聽宮，如牛鳴窌中；凡聽商，如離羣羊；凡聽角，如雉登木以鳴，音疾以清。
凡將起五音，凡首，先主一而三之，四開、以合九九，以是，生黃鍾小素之首，以成宮；三分，而益之以一，為百有八，為徵；不無有三分，而去其乘，適足以是生商；有三分，而復於其所，以是成羽；有三分，去其乘，適足以是成角。」
大意是：
凡聽徵，就像揹走豬豕、而驚覺嚎叫；凡聽羽，就像荒野的馬嘶；凡聽宮，就像地窖的牛哞；凡聽商，就像離羣的羊咩；凡聽角，就像雉雞上樹鳴叫，聲音既快且清。
凡將奏五音，先確立一弦、而將其三等分，經過四次三等分的推演、以合九九八十一之數，由此，產生黃鍾小素的音調，成為宮；用三除以八十一，而將其一、加在八十一之上，成為一百零八，就是徵；不能不用三去除，而在一百零八上、去掉它的三分之一，由此產生商；再用三、除以七十二，並加在原數上，由此產生羽；再用三去除，並在九十六上、去掉它的三分之一，由此產生角。
孫子曰：「聲不過五，五聲之變、不可勝聽也；色不過五，五色之變、不可勝觀也；味不過五，五味之變、不可勝嘗也。」
為什麼一定要「五」呢？
與我們目前熟悉的十二個半音相比，阿拉伯人則將八度音劃分成為二十四個子音。對此，我們只能說：聽久、就習慣了。
因為，「和諧」純粹是主觀的感受，沒有什麼「絕對」可言；而對於現代的我們來說，數5、也不會是什麼恆久不變的原則。
所以，與其沈浸於「整數」之美，不如進而思考：那無窮逼近的「無理數」所蘊涵之意義，應如何把我們帶離「一」的框限，進而無窮逼近至第八阿賴耶識的「究竟邊際」，終而能夠跳脫此邊際、而獲得終極的自由吧！
古希臘時期，Samos 一直是Miletus 的商業競爭者，因為地處海上交通要道，所以經濟十分繁榮。
Pythagoras’ life 生平
* Pythagoras of Samos 畢達哥拉斯 (派賽哥拉斯) (c. 570 – c. 495 BC)
Pythagoras 生於薩摩斯島，是寶石雕刻匠Mnesarchus 的兒子；從他後來無需工作、而能夠四處遊歷學習、可以看得出來，他的家境應該十分富裕。
他在Polycrates 波呂克拉底統治前後、離開了Samos，當時，他約莫30 歲；離開的原因、應該是不滿Polycrates 的作為，但更多的、則是對於知識的渴望。
Polycrates 約在公元前540、535 年間、成為Samos 的僭主﹐一直統治到公元前522 年、被刺殺身亡為止。
所謂「僭主」(tyrant)，並不一定是暴君，古希臘人認為：凡是不通過世襲、傳統、或民主選舉程序，而憑藉個人力量、獲得權力，來統治城邦的統治者，都稱為僭主。
在Anatolia 西岸遊歷期間，Pythagoras 曾向Bias of Priene、Thales、和Anaximander (Thales 的學生) 等人學習，據說，Thales 建議他、應該像自己年輕的時候一樣、到埃及去遊學；也有人說：彈七弦琴的吟遊詩人Orpheus 教過他，Orpheus 是音樂家、也是一個神祕主義者。
Pherecydes of Syros 對於靈魂和輪迴的看法也影響了Pythagoras：Pherecydes 斐瑞賽德，是神話作家、和宇宙神祕論者，主張靈魂不滅；Syros，是位於Samos 以西、愛琴海上的島嶼。在Pherecydes 年老垂死之際，Pythagoras 還特地回到Syros 島、照顧這位從前的老師。
Pythagoras 遊歷到埃及，在那裡、約有十年之久；在埃及期間，他四處拜訪神廟、僧侶，研究宗教：除了作為大先知Soches 的門徒，他還向埃及祭司Oenuphis of Heliopolis、學習祭祀方面的知識。後來，畢達哥拉斯教派的許多教義，都可以找到它們的埃及淵源。
波斯王Cambyses II 甘比西斯二世、在公元前525 年入侵埃及，滅掉了當時的埃及政權，在浩浩蕩蕩的波斯艦隊中，還包括了Samos 的僭主Polycrates 背棄他的盟友、所派遣的四十艘戰船、加入其中。
Pythagoras 也因此被俘、而被送往Babylon 巴比倫；在那裡，他學習到當地的音樂、數學。從他被俘的這件事情、可以看出：Pythagoras 和埃及的上層階級、關係應該十分密切。
而近代考古發現的幾塊巴比倫泥板、則證實了：早在Pythagoras 的一千年以前，巴比倫人就已經知道現在的「畢氏定理」；所以，我們所稱的「畢氏定理」、應該是他在那裡學習到的知識，不過，他可能是第一個證明它的人。
大約在公元前520 年，Pythagoras 離開巴比倫、並返回薩摩斯島。Polycrates 死於公元前522 年，Cambyses II 則於公元前522 年夏天、意外身亡，這些統治者的死亡、可能是他返回Samos 的原因之一，但並沒有其他資料可以解釋、Pythagoras 是如何獲得自由的。
最後，約在公元前518 年，Pythagoras 到了現代意大利南部的Croton，並在那裡、建立一個致力於神祕主義的宗教團體。
Pythagorean school 畢達哥拉斯教派
Pythagoras 是這個教團的領袖，為一群被稱為mathematikoi 的核心追隨者圍繞。mathematikoi 終其一生生活在教團中，沒有個人的財產，而必須素食；他們由Pythagoras 親自教導。
畢達哥拉斯教派的信念是：
(1) 在最深刻的層面上，現實世界、本質是數學的；
(2) 從事於哲學思考、有益於精神的淨化；
(3) 靈魂、可以和「神」結合；
(4) 某些符號具有神祕的意義；
(5) 教團的所有成員、都應該恪守忠誠、和保密的要求。
教團的加入、不限男女；而教團的外圍圈、稱為akousmatikoi，他們住在自己的家裡，只在白天、來到教團學習，還被允許擁有自己的財產，且無須素食。
正如Aristotle 亞里士多德描述的：畢達哥拉斯教派的成員在數學的研究中生活、成長，他們認為：「事物」、就是「數」，整個宇宙、就是一個刻度、或一個數。
Pythagorean mathematics and science 數學和科學
Pythagorean theory of numbers 數的理論
Pythagoras 說：「數」是萬物的本原。
數1
數1 是「單子」(monad)，它是宇宙萬物、及思想的本原。
在一切數中，數1 是最基本的：它是計量一切數量的「單位」，也是其後、所有數的「開端」。
數1 不是數，而是數的「開端」，所以，第一個偶數是2，第一個奇數是3。
數1 既是奇數又是偶數，因為，把1 加到偶數上、就變成奇數，加到奇數上、就變成偶數，所以，數1 是雌雄同體的。
數1 先於宇宙，如果沒有數，那麼，任何東西都不能存在，而數、即便離開了具體的事物，也能夠被感知察覺，因此，萬物的第一原則、是「數」，而數1、又是「數」的第一原則。
數1 是理性、本體、靈魂，所以，數1 就是「善」。
數1 是創造者：由數1 的「運動」、產生了數2；又由數1 之作用於數2、產生了其後的數列，所以，數1 就是太陽神Απόλλων Apollo 阿波羅，它同時也是Prometheus 普羅米修斯，因為他為人類帶來光明。
「單子」(monad) 可以比喻為一棵樹的「種子」：當它長成樹時，會分岔出許多樹枝 (數)；換句話說，數、之於「單子」，就像是樹枝之於樹的「種子」。
數2
數2 是「雙子」(duad)。
數2 是意見、運動，也是「惡」、和黑暗的泉源。
相對於數1 是智慧，數2 則是無明。
數1、代表雄性、理念、和抽象的形式，數2、代表雌性、物質、和具體的事物。
數1、是眾神之父Zeus 宙斯，數2、是眾神之母Rhea 瑞亞，Rhea、意為「流動」，代表雌性、母性、和生育，也象徵「慾望」，隱含了「性」之意涵。
畢達哥拉斯教派崇尚「單子」而鄙視「雙子」，因為，它是對立、和兩極的象徵：「雙子」以其無明的力量、創造了一個、與天堂截然不同的深淵；深淵映照著天堂，成為虛幻的象徵，下方、不過是上方的倒影，下方、又被稱為瑪雅、幻覺、大海、太虛⋯。
進入「雙子」的「單子」、乃後代的祖先，「雙子」是須彌的子宮，宇宙在其中孵化，此時的宇宙、仍處於胚胎狀態。
數3
數3 是「三子」(triad)。
數3 是「宇宙」，因為，它是由數1、數2 所共同創生出來的萬事萬物 (3 = 1+2)：長、寬、高三維是三，開始、經過、終結也是三，「水、火、土」三元素也是三，「紅、黃、藍」三原色也是三，各種多面體、也都是由三角形所構成的，所以，數3 也代表「全體」。
三位一體、及其象徵 — 三角形 — 之神聖性，亦源於它是由「單子」和「雙子」所組成之事實。
在「聖十」(tetractys) 的三角形圖像中，有三個三位一體，而「單子」則位於三個三位一體的中心。
此外，最小的幻方 (魔方，magic square) 是由三階構造的，其中，每一行、每一列、每一對角線的數加總，和皆為15。
數4
數4 是「四子」(tetrad)。
數4 代表「正義」，它不但是第一個平方數 (4=2²)，也可以被分解為兩個2 的和 (4 = 2+2)。
數4 銜接點、線、面、體，也象徵「水、火、土、氣」四元素，也代表春、夏、秋、冬四季，也構成人的四個部分：理性、意見、慾望、肉身。
「四子」連接所有的存在、元素、數字、和季節。
「聖十」(tetractys)、是由數1 到數4 所排成的三角形。
數5
數5 是「五子」(pentad)。
數5 代表「婚姻」，因為，它是第一個雌性的偶數 (2)、和第一個雄性的奇數 (3) 的結合 (5 = 2+3)；它屬於希臘神話中，掌管愛情、性愛、和生育的Aphrodite 阿芙蘿黛蒂。
數5 還被稱為「平衡」，因為，它將完全數10、分成兩個相等的部分 (10 = 5+5)。
數5 象徵第五元素 — ether 以太 — 它不受四大元素的干擾。
畢達哥拉斯教派說：「水、火、土、氣」等元素都被一種叫做「以太」的物質所滲透 —「以太」是活力和生命的泉源，因此，他們選擇五角星、作為活力、健康、和精神發展的象徵。
「五子」就像是小麥籽粒，從種子的形式開始，經過自然的藴育過程、生長成為麥穗，再結出小麥的種子。
其他數、與自己相乘，尾數都會產生其他數，但只有5、和6 與自己相乘，能夠保留其原始數字、作為其乘積的最後一個數 (例如，5⁴ = 625，6³ = 216)。
數6
數6 是「六子」(hexad)。
數6 代表「完美」，它是它的所有因數 (扣掉自己) 之和 (6 = 1+2+3)，恰巧，它同時也是它的所有因數 (扣掉自己) 之積 (6 = 1⋅2⋅3)。
另外的完美數 (perfect number) 是28、496、和8128⋯。完美數十分稀少：在10 和100 之間只有一個，即28；在100 和1000 之間只有一個，即496；在1000 和10000 之間只有一個，即8128。
數7
數7 是「七子」(heptad)。
人的神祕本質，由三重精神體、和四重物質體構成；數3 (精神、思想、靈魂) 下降到數4 (世界)，總和為7。
數7 代表「機會」，因為，數7 是十個數中，既不產生任何數 (比方，3 產生6、9)，也不被任何數所產生 (比方，10 被5 產生) 的數；猶如Athena 雅典娜，她既是處女，也沒有母親，而是從Zeus 宙斯的頭中蹦出來的。
在古埃及的傳說，有七條通往天堂的道路；Osiris 歐西里斯 (埃及神話的冥王) 也曾經帶領他的父親、穿過冥界的七重宮殿。
畢達哥拉斯教派將「七子」稱為「值得尊敬的」，它是宗教之數，因為，人被七位天神所管轄；掌管行星運行的七個大天使、加上掌管太陽三面向的三個聖靈，構成了10，亦即，神聖的畢達哥拉斯「聖十」。
數8
數8 是「八子」(ogdoad)。
數8 代表「和諧」，因為，音階向上的第八個音符、是極其和諧的八度音。
數8 也是第一個立方數 (2³)。
數8 還是一個吉祥數：任何奇數的平方減一，總是8 的倍數 (例如，3²-1 = 8⋅1，5²-1 = 8⋅3)，這個事實可以用數學證明。
數9
數9 是「九子」(ennead)。
它與失敗、和缺陷相關，因為，它沒能夠到達完善的數10。
數9 代表「邊界、限制」，數9、是10 前面的最後一個數，因而，是10 前面的所有數的「阻礙」，使前面的數、無法順利進入10。
「九子」還被稱為空氣的球體，因為，它包圍著前面的數、把所有的數都聚集在自己之內，就像是空氣包圍著地球一樣。
數10
數10 是「十子」(decad)。
數10 代表「完善」(completeness)，靈長類動物、有十根手指、和十根腳趾；十進制可以追溯到用手指、和腳趾計算的年代，手指、腳趾是最原始的計算工具，至今仍在許多土著中使用。
數10 也是「完美」加「正義」(10 = 1+2+3+4)。
此外，數10 還構成「聖十」(tetractys)，這是由點1、2、3、4 所排成的三角形，這個圖案、可以回溯到古印度，呼應印度的「九蛇環繞梵天」、和埃及的「九神環繞創世之神Atum 阿圖姆」等傳說。
前段提到：在「聖十」(tetractys) 的三角形圖像中，有三個三位一體，而「單子」則位於三個三位一體的中心。
Pythaoras 以10 這個數、來建構星系：
星體有十個，正中央是一團火 (不是太陽)，所以，地球不是星系的中心；
反地球 (counter earth)、地球、月亮、太陽、以及其他行星，共9 個，圍繞著中心火團旋轉；
地球是一個球體；
星系之外、則是無邊無際的空虛 (pneuma 噓氣、黑暗)。
畢達哥拉斯教派主張：數、是事物的「範型」(paradigm)；事物、只是數的「摹仿」(imitation)。
畢達哥拉斯教派的「摹仿說」、影響了後來的Plato。
要想加入畢達哥拉斯教團，必須對「聖十」宣誓效忠，他們的禱詞如下：
「庇佑我們！神聖的數，祢創造了眾神和人類！
哦！神聖的四面體！祢蘊含了永恆流動的創造根源！
神聖的數，從深邃的、純粹的1 開始，一直到達到神聖的4，由此生出萬物之母，包羅萬象！
永不偏離、永不疲倦的聖十，萬物的祕鑰的持有者！」
Pythagorean theorem 畢氏定理
直角三角形，其兩邊的平方之和、等於斜邊的平方。這可以表示為：
a²+b² = c²
Garfield's proof of the Pythagorean theorem 加菲貓 (不是) 的證明
James Abram Garfield 是美國第20 任總統，他在任的期間，自1881 年3 月4 日就職，到他六個月後去世 — 被刺客槍殺的兩個月後 — 為止。
Garfield 在從政之前，本想成為一名數學家，因為他對於數學有著濃厚的興趣，甚至在當選國會議員後、仍孜孜不倦地學習；一天，當眾議院的其他議員正熱烈地討論國家大事，他想出了畢氏定理的一個簡單證明：
做一個大正方形，底長：c = a+b。
從正方形的左下角開始，沿著邊、往右，再向上，再往左⋯，類似逆時鐘旋轉，讓正方形的四個邊，依序，成為：a+b，a+b，a+b，a+b，這樣的切割。
把四個切割點、用直線連起來，會構成一個內嵌的小正方形 (理由不敘，自行思考)。
先計算大正方形的面積，它是：(a+b)² = a²+2ab+b²。
而內嵌小正方形的面積、則是：c²。
在內嵌小正方形的外圍、有四個小直角三角形abc，其中，c 是斜邊，a 是側邊，b是底邊。
每個小直角三角形的面積、是：(1/2)ab；加總起來，等於：2ab。
這樣，大正方形、扣掉四個小直角三角形，會等於內嵌的小正方形，這就證明了：
a²+b² = c²。
Pythagorean theorem proof using similarity 利用相似三角形來證明
我們想要證明：a²+b² = c²，
其中，c 是直角對應的邊，也就是斜邊；a 是側邊，b 是底邊。
首先，由直角、畫一條垂線到c，將c 切割為：x+y。
我們的任務、變成是要證明：a²+b² = c⋅(x+y) = cx+cy。
可以觀察到，前述垂線、將原來的直角三角形、劃分成兩個小直角三角形；而這三個三角形、都彼此相似，只是大小不同。
從斜邊、比側邊，可以知道：a/x = c/a；
從斜邊、比底邊，可以知道：b/y = c/b。
也就是：a² = cx；
另外：b² = cy。
相加二者，我們得到：
a²+b² = cx+cy = c⋅(x+y) = c²。
得證。
Another Pythagorean theorem proof 其他的證明
我們有一個直角三角形abc，c 是直角的對邊，也就是斜邊，a 是側邊，b 是底邊。
讓斜邊c 平貼於底部的地面，而讓側邊a、和底邊b 類似趴著的背、和大腿。
現在，以c 為邊、做一個大正方形，將剛剛的直角三角形、框在大正方形裡面。
接下來，再想像，把剛剛的直角三角形、往上移，移到大正方形的頂部；這個動作相當於：在正方形的「家」上面、蓋一個屋頂。
屋頂的一邊、就是原來直角三角形的側邊a，另一邊、則是原來的底邊b。
再從屋頂的直角、畫一條垂線，往下連結、框在大正方形裡面的直角三角形的直角。
這樣的圖形，看起來會像是一個從上方鳥瞰的、3d 的屋脊圖。
這個從上方鳥瞰的屋脊圖、有兩片屋面：一片、是以a、c 為邊的平行四邊形；另一片、則是以b、c 為邊的平行四邊形。
以a、c 為邊的平行四邊形，它的高是多少呢？
畫輔助線，可以知道：它的高、也是a (理由不敘，自行思考)；
同理，以b、c 為邊的平行四邊形，其高、也是b。
所以，這兩片平行四邊形的面積、加總起來、等於：a²+b²。
好，接下來想像：剛剛，不是把在「家」裡面的直角三角形、搬到正方形的頂部嗎？
現在，再把它剪下來，貼回原來平貼於地面的趴著的直角三角形之處。
這樣，兩片平行四邊形a²+b² 不就變回為一個正方形了嗎？
正方形的面積、為：c²。
這就證明了畢氏定理。
The mathematics behind music 音樂背後的數學
想像拉小提琴，用拉弓、摩擦琴弦、來製造音響；讓我們先從「弦」切入正題。
弦長比、等於其振動的頻率比之倒數，也就是說：弦愈長、振動得愈慢。
反過來，也可以這麼說：弦「短」比、等於其振動的頻率比，弦愈短、振動得愈快，弦短多少倍、振動的頻率就快多少倍。
接下來，讓我們把「弦」的因素擺開，單單看振動的頻率：
440Hz 相當於A 這個音。
我們可以把任意的音高、當成是：I，因為，以不同的音高為基準、不過是轉調的問題而已，所以，使用I、II、III⋯ 來為音命名，要比使用A、B、C⋯，更為普遍和抽象。
因此，我們可以用數1、替換剛才的振動頻率，而命名其音高為：I。
將振動頻率加快二倍、三倍、四倍、五倍⋯，等於自然數列：1、2、3、4、5⋯，但此時，音高、卻不會隨著頻率的倍數等比例變化、而成為：I、II、III、IV、V⋯。
為什麼呢？
這是因為，音高的變化，所依循的、是「冪方」的法則，而不是「倍數」的法則。這應該是Pythagoras 始料未及的事情。
此外，我們的耳朵、對於音程的要求，也比這些數列的間隔、來得更為細密和精緻，所以，如果只是用自然數來構造音階的話，那麼，音程間的間距、聽起來不免過寬。
所以，我們想要的是：在數1 和數2 之間、再細分成幾個階段。
數2，在人類的耳朵聽起來、和數1 十分類似，只是高低不同，這叫做八度 (octave)，而我們賦予它們同音。
將任意的振動頻率 (數) 乘以2、相當於將音高升高八度；反之，乘以1/2、相當於降低八度。
Pythagoras 如何構造在數1 和數2 之間的音呢？
先前提到：將振動頻率加快二倍、三倍、四倍、五倍⋯，等於自然數列：1、2、3、4、5⋯；然而，當Pythagoras 聽到數4 是高八度的同音時，就不再往下繼續聽了。
數3 的音高，以C 大調而言：數1、相當於C，而數3、則相當於G。
這個音高，超過了我們剛剛說的，數1 和數2 間的距離。怎麼辦呢？
Pyhtagora 想到的辦法，是讓它降低八度；而降低八度、則是將它的振動頻率乘以1/2，所以：3⋅(1/2) = 3/2。
這個音，在數1、和數2 的距離之內，Pythagoras 將其稱為：V，以C 大調來說的話，就是G。
在構造出V 之後，Pythagoras 又如何構造出其他的音呢？
他覺得，升高五度的這個辦法不錯，所以，就把剛剛的V、再升高五度，也就是，將它的振動頻率乘以3/2，如果以C 大調來說的話，變成D。
但這個音高，又超過了我們剛剛說的，數1 和數2 間的距離。怎麼辦呢？
辦法是，讓它再降低八度，此即，將它的振動頻率、乘以1/2。
將數3/2 升高五度、再降低八度的結果，成為：3/2⋅(3/2)⋅(1/2) = 9/8。
這個音，在數1、和數2 的距離之內，Pythagoras 將其稱為：II，以C 大調來說的話，就是D。
在構造出V、和II 之後，接著，畢達先生興致勃勃地沿用升高五度、降低八度的方法繼續操作：
從剛剛的II 出發，再升高五度，變成：9/8⋅(3/2) = 27/16。
這個音，在數1、和數2 的距離之內，Pythagoras 將其稱為：VI，以C 大調來說的話，就是A。
從VI 出發，再升高五度，但這次、又超過了，所以，要降低八度回來，我們知道：降低八度、就是乘以1/2。
前述的過程、相當於：27/16⋅(3/2)⋅(1/2) = 81/64 — III。
III 這個音，以C 大調來說的話，就是E。
從III 出發，升高五度，變成：81/64⋅(3/2) = 243/128 — VII。
VII 這個音，以C 大調來說的話，就是B。
他希望，按照他發現的巧妙方法、重複操作下去的結果，可以到達數2；但令人失望的是：不論他操作多少次，卻永遠也到不了2。
問題出在哪裏呢？
問題在於：他一開始選用的方法，是十分人為武斷的；為什麼、我們一定要乘以3/2 呢？
我們看到，Pythagoras 的音階，是用乘除、來構造各個音；但如前段指出：音高的變化，所依循的、是「冪方」的法則，而不是「倍數」的法則，所以，應該用開根號的方式、來構造各個音，才符合音階的「自然」規律。
因為，「和諧」純粹是主觀的感受，沒有什麼「絕對」可言；可以說，聽習慣了、就和諧，聽不習慣、就不和諧。
就振動的頻率來說，所謂「中間」，並不是兩個頻率加起來除以二、這樣的「算術」(arithmetic) 關係，而應該把兩個頻率相乘、再開根號求得，這叫做「幾何平均」(geometric mean)。
因此，就振動頻率來說，在數1 和數2 之間、真正意義的「中間」，乃Pythagoras 最喜歡的一個數；據說，他的一位門徒Hippasus of Metapotum 希帕索斯，因向教團外面洩漏了這個數是「無理數」(也就是無法用「整數比」表示的數) 的秘密，而被判以活活淹死於海中的懲罰。
這個數、是：√2。
好，剛才已經構造了七個音，但IV 這個音，又如何產生呢？
Pythagoras 想到的是、把數2 降低五度的辦法，也就是，2 除以3/2，得到：2÷(3/2) = 4/3 — IV。
IV 這個音，以C 大調來說的話，就是F。
這樣，八個音就構造完成了。
但是，問題並沒有結束。
問題在於：這八個音，並不能滿足全數都可以互相轉調的要求，有些調、轉不出來。這意味著：音太少、而不夠用。
所以，還需要在原來的八個音之間，如法炮製、再插入一些音。這也就是現在鋼琴黑鍵的由來。
而現代的「十二平均律」(12-tone equal temperament) 律制，乃是將八度音程、平均分為十二個半音，其使用的、則是前面提到的「幾何平均」之構造方法。
最後，補充一下，Pythagoras 只用3 來劃分數1 和數2 之間的音程 (稱為Pythagorean tuning、或3-limit tuning)，可是，別忘了，在前段提及的自然數列中、還有數5 啊，他為什麼不拿來用呢？
把數5 降低兩個八度，等於5/4，拿來與Pythagorean III (81/64) 相較，二者十分接近，我們只要把Pythagorean III 的分子、去掉1，也就是：80/64 = 5/4，兩者就完全吻合了。
這稱為「纯律」(just Intonation)，是由偉大的天文學家Ptolemy 發明的「天體的音律」，卻仍不免框限於「整數比」的思維模式當中。
【反思】：
數1、相當於第八阿賴耶識，亦即，一。
Pythagoras 將數1 比作「種子」，而第八阿賴耶識又稱為「種子識」，兩者不謀而合。
數2、相當於第七末那識，亦即，二。
第七末那識、又名「染污意」，和數2 的運動、「流動」、「惡」、黑暗的泉源等意義相仿；Rhea 所代表的雌性，象徵「慾望」，隱含了「性」之意涵，也和第七末那識所具有的「執我」意義類似。
數3、相當於第六意識，亦即，三。
Pythagoras 說：由數1 的「運動」、產生了數2；又由數1 之作用於數2、產生了其後的數列。
老子曰：「道生一，一生二，二生三，三生萬物。」
而Pythagoras 的數3，則跳過了「意識」、這層主觀的中介，直接代表宇宙萬物。
在《易經》中，洛書的「載九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，五在其中」，其實就是三階幻方，其中，每一行、每一列、每一對角線的數加總，和皆為15。
洛書的九宮圖，南、東南，東、東北，北、西北，西、西南的數，相差皆為5，與中央的5 相對應；這四個長條，分別代表火、木、水、金等四個元素，而中央、則代表土。
如果再把中央土、分別插入四個長條，則環狀帶、可以構成十二宮，成為十二地支的基礎；紫微斗數、八字等，都可以從這十二宮推演出來。
《易經》的卜筮、紫微斗數、八字等神祕學，由於欠缺科學、數學應該具備的嚴密的定理基石，信者、信其有，信其有、則受影響，受影響、則煞有其事，這些，可以稱為是中國的巫術也不為過。
管子曰：「凡聽徵，如負豬豕，覺而駭；凡聽羽，如鳴馬在野；凡聽宮，如牛鳴窌中；凡聽商，如離羣羊；凡聽角，如雉登木以鳴，音疾以清。
凡將起五音，凡首，先主一而三之，四開、以合九九，以是，生黃鍾小素之首，以成宮；三分，而益之以一，為百有八，為徵；不無有三分，而去其乘，適足以是生商；有三分，而復於其所，以是成羽；有三分，去其乘，適足以是成角。」
大意是：
凡聽徵，就像揹走豬豕、而驚覺嚎叫；凡聽羽，就像荒野的馬嘶；凡聽宮，就像地窖的牛哞；凡聽商，就像離羣的羊咩；凡聽角，就像雉雞上樹鳴叫，聲音既快且清。
凡將奏五音，先確立一弦、而將其三等分，經過四次三等分的推演、以合九九八十一之數，由此，產生黃鍾小素的音調，成為宮；用三除以八十一，而將其一、加在八十一之上，成為一百零八，就是徵；不能不用三去除，而在一百零八上、去掉它的三分之一，由此產生商；再用三、除以七十二，並加在原數上，由此產生羽；再用三去除，並在九十六上、去掉它的三分之一，由此產生角。
孫子曰：「聲不過五，五聲之變、不可勝聽也；色不過五，五色之變、不可勝觀也；味不過五，五味之變、不可勝嘗也。」
為什麼一定要「五」呢？
與我們目前熟悉的十二個半音相比，阿拉伯人則將八度音劃分成為二十四個子音。對此，我們只能說：聽久、就習慣了。
因為，「和諧」純粹是主觀的感受，沒有什麼「絕對」可言；而對於現代的我們來說，數5、也不會是什麼恆久不變的原則。
所以，與其沈浸於「整數」之美，不如進而思考：那無窮逼近的「無理數」所蘊涵之意義，應如何把我們帶離「一」的框限，進而無窮逼近至第八阿賴耶識的「究竟邊際」，終而能夠跳脫此邊際、而獲得終極的自由吧！
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