【翠海巡航01】七頭牛幾隻腳？──揭開４x７、７x４背後的思考

這是一個在翠（脆，Threads）上面海巡解惑的系列。不敢說是糾正，而是提供更多語言資料，說說語言學家怎麼看待這些問題。

如果你去Google「乘法順序」的新聞，你會發現無聊的記者每年都會至少發一篇新（舊？）聞，引起大眾的討論怎樣才是正確的，然後就有人會說「啊不是都可以？」、「是學數學還是學國文？（身為國文老師的me：乾我屁事？）」

數學課本怎麼教？

目前臺灣乘法啟蒙教育是在小學二年級，數學課本大致都用「加法延伸」的概念來理解乘法。例如：^[註1]

一籠包子有兩個，三籠包子就是2+2+2，2有三個，共6個包子。
→ 2x3=6 （2乘以3等於6）

其中，「2」是計算基準，即「被乘數（單位量）」；「3」用來表示2有幾個，是「乘數（單位數，有幾個單位）」；「6」則是「乘積（總數量）」。

雖然說乘法具有交換律，「2x3=3x2」，但是我們的邏輯是「單位量x單位數=總數量」，所以在這題之下只能寫「2x3=6」，讀做「2乘以3等於6」。

BUT，但是，しかし，難道上面問題真的不能夠用「3x2」來表達嗎？請看以下美國的數學教科書：^[註2]

蜜蜂總共有幾隻，美國的課本也是先以「2+2+2」來表示邏輯關係，不過他們理解為「3組2 （3 groups of 2）」，先看有幾個「單位數」，再看單位量有多少，最後相乘得到總數。

上面的想法轉換成算式就是「單位數（乘數）x單位量（被乘數）=總數量（乘積）」，數字可以表示為「3x2=6」，讀做「3乘2等於6（3 times 2 equal 6）」。

乘法背後的語言學

讀仔細比較，你會發現兩個國家的基本概念都是一樣的，表示基準的「單位量（被乘數，Multiplicand）」都是「2」、表示倍數的「單位數（乘數，Multiplier）」都是「3」。唯一的差別在於到底是「2乘以3」還是「3 times 2」。

有人或許就會問：乘就乘，乘「以」到底是什麼鬼？

根據《教育部國語辭典》，「以」這個字有「用」的意思，例如「以身作則」就是指「用」自身作為他人的榜樣。如此我們可以把「2乘以3」理解為「用3乘2」，有沒有發現順序和美國的數學課本一樣了？

簡單來說，「2乘以3」和「3乘2」真正的差異在被動與主動。用英語來看，就是「2 timed by 3」與「3 times 2」。^[註3]臺灣是用被動句的概念理解乘法，強調先有基本的單位量；美國則是用主動句的概念理解乘法，強調增加幾倍的單位數。

哪個才是正確的？

瞭解這個邏輯關係之後，「誰乘誰」或「誰乘以誰」並沒有對錯之分。不過，「註3」引用的這篇論文則提出一個論點：臺灣的乘法教育應該從「2乘以3」改成「3乘2」。論文所提出的語言學例子滿有趣的，提供給大家參考看看，此外也在最後補充一些個人額外的看法與討論。
_{（此篇論文目前網路上沒有開放，我指是根據其摘要及論文指導教授何萬順老師的演講內容而書寫，如有理解錯誤問題在我，正確內容請以論文全文為主）}

係數詞與位數詞的差異

位數詞指的是「百、千、萬」等數字單位，我們在表達時，都說「五百、五千、五萬」，也就是「5x100、5x1000、5x10000」。不過，按照課本乘法的描述，基本的單位量是「百、千、萬」，單位數是「5」，應該寫為「100x5、1000x5、10000x5」，表達為「百五、千五、萬五」，是不是怪怪的？

數詞與量詞的語序

我們來看三雙筷子、兩手啤酒的例子，實際語序是「3x2=6 支筷子」、「2x6=12 罐啤酒」，我們的邏輯都是先講單位數，再講單位量的，這似乎也與課本上的描述邏輯有所差異。

主動句與被動句

前面提到「2乘以3」和「3乘2」其實是主動句和被動句的差別。實際上臺灣大多數的語言（主要是華語、臺語、客語）都是以主動句為主的語言，那麼我們在乘法的描述上，是不是也要轉換成主動句的「3乘2」比較合理呢？

歷史的觀察

這點則是我額外提出的想法，會不會「乘以」這個概念是從古代漢語流傳下來的呢？我去查了中國現存最早的數學著作《九章算數》（西漢），發現其實古漢語的乘法表達也是類似主動句，請看以下例子中的紅字：

《九章算數．方程》

此外，我也查了古漢語語料庫，目前初步是沒有看到「乘以」的用法，大部分都是「以A乘B」的語序。可見漢語的邏輯應該也是比較接近「乘數 乘 被乘數」的主動句，之後因為某些原因導致我們改用被動的「乘以」概念來描述乘法。

說不定是國文的錯

另外，當我把這個話題和朋友分享時，他也提出，說不定是題目描述的問題。因為臺灣課本都先說單位量有多少（被乘數），再說單位數（乘數），因此我們很自然就會依照題目順序寫出「被乘數乘以乘數」的算式；那如果像美國教科書一樣，先描述單位數，例如「3組2」、「7枝5元的筆」，那會不會我們的思考方式也可以轉換成「乘數成被乘數」呢？當然，這背後的原因其實非常複雜，不僅僅是邏輯思考，還有歷史、文化的因素，因此都還等待更多的調查。

讀到這邊，你是否對網路上大家不停爭吵的內容有了新的認識了呢？其實兩個順序在邏輯上面兩者都沒有錯，其實只要數學老師講得夠清楚，兩個都是通的，重點還是學生要能夠理解背後的邏輯關係。至於面對考試的話，我自己的想法則是：這是數學考試，不是國文考試，都沒差吧？

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註釋與補充：

[註1]：為避免版權問題，課本的教學我僅用文字統整與描述，教材內容引用自113學年度翰林版國小二上數學課本第七單元「乘法（一）」的介紹。

[註2]：楊明憬。「台灣與美國國小二到三年級數學乘法教材之研究」。碩士論文，國立嘉義大學數學教育研究所，2009。https://hdl.handle.net/11296/u6xak2。

[註3]：郭惠婷。「論乘法啟蒙教學中的詞序問題：語言學的觀點」。碩士論文，國立政治大學語言學研究所，2024。https://hdl.handle.net/11296/e2855w。