💻 59／60 隨機模擬（Monte Carlo）的工程用途— 用「隨機試驗」替代「嚴密解析」

📌 導讀：什麼是 Monte Carlo 隨機模擬？

Monte Carlo 是利用大量隨機抽樣來近似：

✔ 積分

✔ 機率

✔ 系統整體行為

當解析解困難或不存在時，是工程上最可靠的方法之一。

🧠 一、Monte Carlo 的基本原理

欲計算：

E[f(X)] = ∫ f(x) · p(x) · dx

以隨機抽樣近似：

1. 產生 N 個樣本：
   x₁, x₂, …, xₙ ∼ p(x)
2. 計算 f(xᵢ)
3. 估計期望：

E[f(X)] ≈ (1 / N) · Σᵢ₌₁→ᴺ f(xᵢ)

🧠 二、為什麼 Monte Carlo 在工程中重要？

📍 1) 高維積分

∫ … ∫ f(x₁,…,xₖ) · p(x₁,…,xₖ) · dx₁…dxₖ

解析與傳統數值法困難 → Monte Carlo 可行

📍 2) 評估隨機條件下的系統行為

✔ 雜訊

✔ 擾動 ✔ 隨機負載 ✔ 時變參數

用大量模擬 → 得到輸出分布

📍 3) 估計事件機率

P(E) = P(f(X) > threshold)

Monte Carlo：

P(E) ≈ (樣本中滿足條件的次數) / N

📍 4) 可靠度、風險與最佳化

✔ 壽命分布

✔ 失效機率

✔ 性能邊界

✔ 敏感度分析

皆可用 Monte Carlo。

🧠 三、工程常見應用

📍 ① 通訊 BER / SER 估計

流程：

1. 產生 N 個 bit
2. 加通道與雜訊
3. 解調
4. 統計錯誤

BER ≈ (錯誤次數) / N

📍 ② 控制系統可靠度

dx/dt = A · x + B · u + w(t)

隨機產生 w(t)、v(t) → 模擬

統計 x(t) 是否超出安全界線

📍 ③ 結構可靠度

X ∼ p(x)（強度）

L ∼ q(l)（載荷）

失效事件：

E = {L > X}

P(E) ≈ (Lᵢ > Xᵢ 的次數) / N

🧠 四、收斂性與精度

📍 標準誤差

Std error ≈ σ_f / √N

σ_f² = Var[f(X)]

→ 誤差約為 1 / √N

📍 高維優勢

Monte Carlo 收斂率與維度無關

只與樣本數 N 有關

📌 一句話記住

Monte Carlo = 用大量隨機樣本逼近真實系統行為。

🧮 整合型實務題

通道模型：

r = s · h + n

s ∈ {+1, −1}

h ∼ Rayleigh(σ_h) n ∼ Normal(0, σₙ²)

🧠 模擬流程

1) 選樣本數 N

N = 10⁴ ~ 10⁶

2) 對 i = 1…N

sᵢ = +1 或 −1

hᵢ ∼ Rayleigh(σ_h) nᵢ ∼ Normal(0, σₙ²)

rᵢ = sᵢ · hᵢ + nᵢ

若 rᵢ ≥ 0 → 判 +1

否則 → 判 −1

若判錯 → error

3) BER 估計

BER ≈ (number of errors) / N

🧠 工程意義

✔ 衰落 + 噪聲混合 → 解析解困難

✔ Monte Carlo 可直接模擬真實物理機制

✔ 結果為統計逼近值

📌 抽樣數與可信度

樣本越大：

Std error ↓

精度 ↑ 計算時間 ↑

📌 工程總結

✔ 適用於複雜隨機系統

✔ 不需解析公式 ✔ 收斂率 ≈ 1 / √N ✔ 不受維度限制

🧠 工程直覺整理

BER / SER 估計 → 通道複雜

控制穩定性 → 含隨機擾動 可靠度 → 失效事件機率 風險分析 → 極端事件 參數敏感度 → 多變量耦合

🧠 最終收斂一句話

Monte Carlo 是工程師在解析無解時，最實用、最可靠的隨機數值武器。