📌 導讀：控制系統為什麼需要機率
在前面單元我們已經多次提到：
✔ 工程世界充滿不確定性
✔ 雜訊、擾動、量測誤差都是隨機的✔ 隨機過程是描述時間變動不確定性的工具
控制系統若忽略隨機性，就像只看靜態沒有動態一樣——不完整而且不可靠。
因此，機率模型在控制系統中的角色是：
1. 描述隨機擾動與雜訊
2. 評估系統性能（穩定性、誤差、濾波效果）
3. 設計最優控制律（例如卡爾曼濾波與最小方差控制）
4. 量化可靠度與風險
控制系統中的「誤差」、「噪聲」、「預測偏差」皆需用機率語言來量化。
🧠 一、控制中的隨機性來源
控制系統實際模型通常不是：
dx/dt = A·x + B·u
而是會包含隨機擾動與量測噪聲：
dx/dt = A·x + B·u + w(t)
y = C·x + v(t)
其中：
✔ w(t) 是過程噪聲（process noise）
✔ v(t) 是量測噪聲（measurement noise）
兩者通常假設：
w(t) ∼ 隨機過程（例如白雜訊）
v(t) ∼ 隨機過程（例如測量誤差）
這種狀況下控制輸出 y(t) 是隨機變數/隨機過程。
🧠 二、穩定性分析結合機率
在隨機系統裡，我們不是只看：
✔ 是否 Re(s) < 0
還要看：
✔ 平均穩定性（E[x(t)] 是否收斂）
✔ 均方穩定性（E[x(t)·x(t)ᵀ] 是否有界）
若系統受到隨機擾動 d(t)（例如白噪聲）：
dx/dt = A·x + B·u + w(t)
則系統狀態的期望：
E[x(t)]
與狀態協方差：
P(t) = E[(x(t) − E[x(t)])·(x(t) − E[x(t)])ᵀ]
會隨時間變動，而且受噪聲特性影響。
因此穩定性分析要同時處理：
✔ 系統動態矩陣 A
✔ 噪聲強度與分布
🧠 三、卡爾曼濾波：控制裡最經典的機率模型成果
卡爾曼濾波（Kalman Filter）是一種最優線性估計器，核心就是：
👉 用機率模型處理系統與量測不確定性
系統模型：
dx/dt = A·x + B·u + w(t)
y = C·x + v(t)
其中：
✔ w(t) 和 v(t) 是高斯白噪聲
✔ E[w(t)] = 0，E[v(t)] = 0
✔ 協方差矩陣 Q和R 已知
卡爾曼濾波器給出了一種迭代算法：
x̂(t|t) = 最佳估計
P(t|t) = 協方差矩陣
其推導基於最小化「估計誤差的期望平方和」：
min E[(x(t) − x̂(t))·(x(t) − x̂(t))ᵀ]
這是一種機率最優控制/估計。
🧠 四、隨機控制性能指標
在隨機控制設計中常用的性能指標包括：
📍 1) 期望值性能
例如目標是：
min E[ ∫(xᵀQx + uᵀRu)·dt ]
這裡的目標函數是期望值形式，用來衡量平均性能。
📍 2) 均方誤差（MSE）
衡量估計偏差：
MSE = E[(x − x̂)²]
常用在狀態估計與濾波設計。
🧠 五、穩定性、可靠度與機率
在隨機系統中：
若系統的協方差 P(t) 隨 t → ∞ 有界：
👉 系統具有統計穩定性
若不然：
👉 隨機擾動可能導致狀態發散
因此控制系統設計必須確保：
✔ E[x] 收斂
✔ Cov(x) 有界
也就是同時在平均意義與方差意義上穩定。
📌 一句話記住
機率模型讓控制工程師能量化隨機擾動的效應，並在不確定性下設計最優與最穩定的控制策略。
🧮 實務數學題（含解析）
題目：
考慮一離散時間線性控制系統：
xₖ₊₁ = A·xₖ + B·uₖ + wₖ
yₖ = C·xₖ + vₖ
其中：
✔ wₖ ∼ Normal(0, Q)
✔ vₖ ∼ Normal(0, R)
✔ E[wₖ] = 0，E[vₖ] = 0
✔ wₖ 與 vₖ 互不相關
假設初始 x₀ 具有已知分布。
(1) 寫出 xₖ 的期望值遞推式
(2) 寫出 xₖ 的協方差遞推式
(3) 若 A 的特徵值模都 < 1，這代表什麼？
(4) 解釋為什麼卡爾曼濾波是最優估計
📌 解析
（1）期望遞推
期望取線性性：
E[xₖ₊₁] = A·E[xₖ] + B·uₖ + E[wₖ]
因為 E[wₖ] = 0：
E[xₖ₊₁] = A·E[xₖ] + B·uₖ
（2）協方差遞推
設 Pₖ = Cov[xₖ]：
Pₖ₊₁ = A·Pₖ·Aᵀ + Q
這是離散時間隨機系統的常見遞推。
（3）若 A 的特徵值模都 < 1
代表：
✔ 在沒有噪聲時系統是穩定的
✔ 伴隨適當的噪聲抑制，系統在統計意義下也是穩定的
也就是：
👉 平均與方差都不會隨時間無限發散
（4）卡爾曼濾波是最優估計
卡爾曼濾波的設計：
✔ 以最小化 E[(x − x̂)²]（均方誤差）為優化目標
✔ 在高斯噪聲與線性系統假設下的估計器是無偏且最小方差的
因此卡爾曼濾波是：
👉 統計意義下的最佳估計
📌 工程總結
在控制系統中：
✔ 隨機性必然存在
✔ 機率模型是分析工具
✔ 均值、協方差、PSD、最小二乘／最小方差是基本概念
✔ 控制器與濾波器的優化必須基於機率模型
🧠 工程直覺整理
1. 描述擾動
→ w(t)、v(t) 都用機率分布描述
2. 量化穩定性
→ 均方穩定（Var(x) 有界）
3. 最優估計
→ 用最小 MSE 作為設計目標
4. 可靠度與性能
→ 用機率模型評估控制策略的成功率
