車子卡在隆起處，如何是好?

當我父親租車把家人從機場載到他在中國的偏遠農村出生地，以及我的母親準備長眠之地，我開始起疑。老舊的破車看上去跟開車的人和我們五個人還有我們所有的行李，並不相稱。當我們沿著只見山羊的顛簸泥濘小路迂迴前行，我對這趟四小時車程越發懷疑了。這是捷徑嗎？真的沒有通往這個村子的水泥柏油路了嗎？

隨後，我們駛過一段特別崎嶇不平的小路，車子的前輪滾過一個隆起，結果車身卡在隆起處，動彈不得。我們的前輪和後輪在鬆軟的泥土裡無助地空轉。我們被困住了。

看起來不太妙。我們與世隔絕，在一條不太可能有車經過的小路上，和任何一個真正的文明世界距離很遙遠。天色很快就暗了，我們沒辦法在傍晚前步行幾十公里。

我們的窘境看起來不像數學問題，沒有數字，沒有符號，沒有公式，但我一直有種感覺，我的數學訓練也許幫得上忙。我回想起以前曾經看過和這個難題類似的題目，在很受歡迎的數學作家馬丁．葛登能（Martin Gardner）的一本書上。題目是這麼說的：有輛卡車卡在高架橋下，由於車流量大，無法後退，但高度又太高，所以無法前進。該怎麼辦？我記得答案是：把輪胎的氣放掉一些。這會讓卡車的高度降低到能夠從高架橋下方通過（參見下圖）。

那道謎題看上去有點像我們面臨的窘境，但又有點不同—我們不是困在高架橋下方，而是卡在一塊隆起之上。也許我們可以替輪胎打氣⋯⋯但很遺憾，我們沒有打氣筒。我們該怎麼辦？

當你開始腦力激盪，思考可能的解題策略，會有必須理解真正的問題是什麼的一刻，這時你必須剝掉不必要的元素，以便歸類這個問題，在它和你過去曾解決的一連串問題之間建立起連結。做這件事的同時，你是在努力思索這個問題的隱含意義。

的確，在你想要理解某件事的意義時，你總會問它與其他事物的關係。若是思索生命的意義，你就是在沉思自己在這個世界裡的位置。或者，假如是思考一件怪事的意義，你就已經選擇不要單獨考慮這件事，而是想想它的成因，或它對其他事件的影響。又如果你在查一個字詞的意思，就會得到一個定義，讓這個字和其他字產生關聯。

阿根廷作家波赫士引用詩人利奧波多．盧貢內斯（Leopoldo Lu-gones）的話，說出「每個字都是死去的隱喻」時，他的意思是每個字的意義都來自某段歷史，產生出這個字的語境。舉例來說，calculus（微積分）這個字的原意是用來做算術的「小石子」，就像你會在算盤上看到的算珠，如今這個字是指一種複雜得多的加法；geometry（幾何學）一字的原意「土地測量」，如今則是指告知幾乎任何東西的量度的數學見解。字詞不是單獨存在的，每一個字都帶著來自古老卻持續存在的對話的隱喻。

同樣的，數學概念也是隱喻。想一想7這個數字，要說出7有什麼有趣的地方，你就必須讓它跟其他事物進行對話。要說出7是質數，就要談7與它的因數之間的關係；7的因數就是能夠整除7的那些數。要說出7的二進位表示法為111，就是讓7和數字2進行對話。要說出7是一個星期裡的天數，就是讓它跟日曆交談。因此，數字7既是抽象的概念，也是幾個具體的隱喻：質數，二進位數，以及一個星期裡的天數。同樣的，畢氏定理是把直角三角形的三個邊聯繫起來的陳述，但就隱喻上來講，它也是你所學到可闡釋為什麼它真確無誤的每一個證明，你所看到可告訴你它為什麼有用的每一個應用。因此，每當你看到新的證法，或看到這個定理有新的用法，這個定理的意義就擴大了。每一個數學概念都帶著決定本身意義的隱喻，沒有哪個概念能夠單獨存活下來—單獨生存的概念會死亡。

這就是為什麼數學像詩歌一般，可以那麼令人滿足。使用的字義越多，字詞的意義就變得越豐富，意義有細膩的差別，會喚起意象，所以同義詞並非真的是同義詞。詩人喜歡用精確的字詞來表達意念，以此為樂。使用得越多，數學概念的意義也會變得更加豐富，每一種理解都會帶來稍微不同的觀點，這麼一來，當你用恰當的方式看待某個概念，就會有頓悟之感。

意義是人的基本渴望。我們渴望優美的詩，因為欣賞詩歌意義的豐富性。我們渴望有意義的工作，如果不渴望有意義的生活的話。我們渴望與人建立有意義的良好關係。尋找意義是充實過生活的自然表現，那為什麼我們要在學習數學的方法上退而求其次呢？

數學家龐加萊（Henri Poincaré）說：

科學是由事實構成的，猶如房子是用石頭砌成的；但就像一堆石頭稱不上是一座房子，事實的積累不再是一門科學。

學習一堆分散的數學事實，就只是一堆石頭，要蓋起房子，你必須知道怎麼把石頭擺在一起。這正是背九九乘法表很無聊的原因：因為它們是一堆石頭。但在乘法表中尋找模式，了解為什麼會出現這些模式，這就是在蓋房子。蓋房子的人在數學方面的表現比較好；數據顯示，數學成就最低的學生，是那些運用熟背策略的學生，而成就最高的學生，是把數學視為一組互有關聯的重要概念的學生。

尋求意義，就會建立起重要的德行。

第一個是建構故事的德行。幾千年來，人類一直在運用故事傳遞歷史或基本的真理。故事會從截然不同的事件創造出一種敘事，把聽故事的人與故事本身和人與人之間聯繫起來。數學沒什麼不同。把概念聯繫起來，對建立起數學上的意義是十分重要的，而做這件事的人，也會成為天生的故事建構者和講故事的人。

在我受的數學教育中，經常是老師給我某個概念，要我用這個概念做習題，但不教它的重要性。我會花很多力氣弄懂這個概念，因為即使它有定義，也沒有意義，沒有和更大的故事產生關聯。然而有好幾次，由簡短有力的一句話描繪出的故事，幫助我看到了全貌。在微積分中，當有人說：「部分積分法是乘法規則的相反」，這兩個概念就都變得更清楚易懂了。在統計學上，我聽過這樣一個故事：「學統計學就是在學習當個優秀的數據偵探。」而在所有的數學領域，都有這一課：「物件本身的重要性不如物件之間的函數關係。」這個準則概括了我所說的數學意義：物件具有的意義都會受本身與其他物件的關係所影響。函數就是關係；函數是在講故事。

建構故事的方法很多。再想一想畢氏定理在說什麼：一個直角三角形（其中一角為直角的三角形）的三邊長a、b、c滿足下列的關係

a2＋b2＝c2

其中的c是斜邊（最長邊）的邊長。在你建構出故事之前，這是個沒有脈絡的事實，很容易忘記。

或許你會設計一個幾何的故事，在直角三角形的每一邊各畫一個正方形，然後發覺這個定理就在說：兩個小正方形的面積加起來一定會等於最大的正方形的面積（參見次頁圖）。

你也可以找個重要性的故事，解釋它為什麼重要：「畢氏定理是所有三角學的基礎，也是幾何學上最重要的定理之一。」歷史的故事會把這個定理放在歷史脈絡中：「畢氏學派給這個定理的證明，發現的時間比歐幾里得給這個定理的證明早了兩三個世紀。」

數學探險家喜歡解釋型的故事，這正是證明的真諦。次頁那張圖在示範何謂「無字證明」（proof without words）—把正方形切開，來說明畢氏定理為真的圖解。對應的切片就是大正方形的面積一定等於兩個小正方形面積和的證明方法。（你仍會想去思索，為什麼這種剖分可適用於任何一個直角三角形。）

或許你壓根也想不到，畢氏定理有個物理的故事。如果你把物體的速度向量寫成運動在水平方向及垂直方向上的分量總和，就會得到一個由向量構成的直角三角形。因為速率是速度向量的長度，動能又跟速率的平方成正比，所以按照畢氏定理，沿著對角線方向推物體所需的能量，就等於先沿水平方向推所需的能量，加上再沿垂直方向推所需的能量。

你可以透過遊戲、探究式學習或建構物理模型，來設計一個經驗的故事。試試木匠用兩根木梁做出直角的技巧：因為 32＋42＝52，所以你可以把兩根梁放在其中一個角落，在一根梁上距這個角落 3 個單位的地方做一個記號，在另一根梁上距同一個角落 4 個單位的地方再做一個記號，然後調整兩根梁的夾角，讓兩個記號恰好相距 5 個單位。接著你就會知道，這個角是直角。

上述的每一個故事，都替你增加了畢氏定理的意義。故事是保留新知識的必要環節，事物在故事裡具有意義時，要記住就容易多了。

在「代數計畫」（Algebra Project）中可以找到運用多種故事建構來強化學習的絕佳範例；「代數計畫」是美國針對經濟機會被剝奪的社區所做的數學素養工作。這項計畫由麥克阿瑟獎得主暨民權運動人士羅伯特．摩西（Robert P. Moses）創辦，旨在提供教師一些課程和訓練，每年觸及將近一萬個學生。它運用了體驗式學習，從體驗到抽象分成五個階段：(1)物理事件，如旅行或觀察；(2)圖像表徵／模型化，要學生畫出這個物理事件的圖示或做出模型；(3)憑直覺的表達／人的話題，要學生講出物理事件的故事；(4)結構化的表達／特徵的話題，學生要找出可用數學去研究的事件特徵；最後是 (5)符號表徵，學生要替他們的構想建立模型。請注意每個階段如何成為一種故事建構形式。

因尋求意義而建立的第二個德行，是抽象思考。大家往往以為抽象就是在剝掉意義，但事實上恰恰相反—抽象會讓意義豐富起來。如果你看到兩件東西有類似的結構或行為，這些相似處就創造出一種關係，一種在你看來以前並不存在的新意義。龐加萊有句名言說道：「數學是賦予不同事物相同名稱的藝術。」（針對這句話，有位詩人打趣說：「詩歌是賦予相同事物不同名稱的藝術。」）倘若你只看過一隻狗，可能就會認為狗一定是德國牧羊犬，一旦看過好幾隻，你就會開始明白狗的意義比你了解的還要豐富。抽象化會幫你收集範例，弄懂比方說「狗性」的必要條件，來充實意義。在你這麼做的時候，就會看出許多不同的事物有什麼相同之處。

抽象思考是學習代數的主要好處之一。我們很容易陷入代數技巧（如處理算式、因式分解等等）的熟練度，可能就不會停下來領會代數的更強大威力：培養可靈活思考，可從關係中看出模式，可用一般方法推理而同時解決許多問題的人。我們運用代數，為複利、燃燒的卡路里或擲硬幣的機率問題發展出一般式，這樣就可以用在許多不同的情境下，而不只有此時此刻面對的問題。從某個角度看，二次公式只是一個可用於解二次方程式的公式，但換個角度看，二次公式會讓許多不同的問題看起來一樣。抽象化會促進靈活的思維，這是絕大部分專業的必要能力。可推導出適用於多種情境的公式的能力，會引發出可編寫能處理任何一個輸入的靈活電腦程式的能力，或可設計適合許多不同人的建築物的能力。

抽象思考的技能不但會在職業生涯中產生益處，在生活的其他領域也能帶來好處。我們不用剝掉問題的無關細節，找出問題的本質嗎？我們不想從多種角度看問題嗎？我們不會因為數學而更有能力做到這一點嗎？因此當我聽到卡車困在高架橋下的謎題，我不會老想著無關的細節，比如它是一輛卡車，或者它有多重。我會去掉所有的細節，嘗試透過從許多不同的角度去思索，看看這個謎題的本質是什麼。我這麼做，也是在讓自己做好準備，能夠在未來遇到問題時，譬如車子卡在隆起處時，辨識出它和這個問題本質上是同樣的問題。

尋求意義的過程會產生鍥而不舍和深思熟慮的額外德行。領悟一個概念的意義，需要持續思考。這是辛苦的解題工作，你必須坐下來好好思索一個數學問題，在你這麼做的時候，腦海中就會形成關聯，建構故事去解釋你看到的模式。威廉．拜爾斯（William Byers）在其著作《數學家如何思考》（How Mathematicians Think）一書中舉了許多例子，說明我們把以前所學的一些概念理所當然地視為「簡單的概念」，但如果認真思考這些概念的意義，它們實際上是非常深奧的。例如在等式 x＋3＝5 中，左式代表一個過程（相加），但右式是個數，一個過程怎麼會跟一個數相等？同樣的，起初嘗試解這個方程式時，變數 x 可以代表任意數，但到頭來只有一個數：x＝2。那麼哪個是對的：任意數或一個數？解決這些歧義，是了解算式意義的關鍵，而這需要深思熟慮。到最後，堅決帶來了喜悅。帶著先前成功追尋意義所積累的喜悅，我們培養出鍥而不舍的精神—樂觀期待進一步的回報。

因此，適當做數學的重點是追尋意義。如果沒有在你的努力中找到意義，你在數學上或生活中就無法圓滿幸福。我喜歡這個對數學的定義：

數學是模式的科學。

但我會替這個定義加一個思考的成分，因為其中的科學二字讓這個定義聽起來好像我們是為了有所發現才去做數學。實際上，數學除了實用性，還有別的東西，而當我們從一個觀點轉移到另一個觀點，思考一個概念的許多意義，就會發現美。所以我更喜歡說：

數學是模式的科學，

也是銜接這些模式的意義的藝術。

我們的車子仍卡在那個隆起處。

其他人聽天由命準備在車上度過漫長一夜，我卻繼續苦思我們遇到的難題，因為我的數學堅持不讓我放棄，而這份堅持是靠著過去跟意義的搏鬥來增強的。

我的數學故事建構，把我們的窘境難題歸在「困在高架橋下的卡車」的謎題類別中。

我對於抽象化的數學偏好，已經把我們的難題精簡到最根本的核心：乍看之下像是關於車輛和隆起處之間關係的問題，但實際上是關於車輛和自身輪胎之間關係的問題。那麼，如果我們想抬高車子，但沒有打氣筒來替輪胎充氣，我該怎麼思考我們的車子和車胎呢？

洞察力就在這個時候出現。走出車外。

卸下五個人和行李（大約318公斤）的重擔之後，車子的駕駛座從隆起處移開，我們就可以把車子往前開。我們脫困了。