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這是微積分科普系列文章的第三篇，本文分成兩個部分。第一部分：由於上文以極限的反思作結，告訴讀者透過實驗與推測，不能確定函數的極限，因此本文將以嚴格的數學定義，說明如何證明函數的極限，回答上文中的反思問題，了解定義後，未來再證明函數極限的加、減、乘、除；第二部分：將以生活對話向你解釋「無限大、無限小」的概念，已預備之後的科普主題，如：包含無限的極限、漸近線定義、微分、積分的觀念。
一、直覺定義「極限」的反思
「極限」就是「靠近、趨近」的觀念，所以上文僅透過實驗將「-1.1, -1.01, -0.9, -0.99」等靠近-1的x值，代入二次函數計算，再透過計算結果推測，當x越靠近-1時，函數值y越靠近0，本文就稱函數的極限為0。這是非常不嚴謹的推論，猜測雖然奠基在可靠的事實：「函數值越來越趨近0」上，但我們沒有證明，函數可以不斷的靠近0。就好像我們觀賞一場比賽，到最後一刻仍可能會翻盤；又好像聆聽樂曲，雖然樂曲已經快要到尾聲，八九不離十，但你仍無法確保最後樂曲的終止式為何，數學確保一切的定理皆能嚴謹的證明，因此本文將引入極限的嚴格定義。
二、日常生活中如何「壓縮」距離
如何證明函數會趨近極限值？先來想想生活中的例子：若在一個房間內，有許多本書和許多筆，怎樣可以讓物品間的距離壓縮？是將物品收納、分類，讓書之間的距離縮小到一個幾公分的書架匡裡，將筆全部收納在筆筒，讓兩隻筆間的距離縮小到一個圓筆筒的直徑以內，還是將書、筆通通散落在桌上、地上呢？答案是顯而易見的，需要書架、筆筒來限制筆與筆、書與書之間的距離，而越小的筆筒，格子排得越整齊、密集的書架，越可將將物品間的距離縮小。
在數學中也是如此，函數極限要證明的便是，x趨近於a時，函數值是否趨近於某個極限值L，趨近就是指兩者距離能夠壓縮至任意小，在數學世界裡，目標不是用收納的書架、筆筒、櫃子，壓縮「物品」與「物品」間的距離，而是壓縮「函數值f(x)」與「極限值L」的距離。三、極限的嚴格定義
你必須先了解本文要克服的兩個問題：第一：現實生活裡，你不需要將物品與物品間的距離，用精確的數學表示，但在數學世界裡，你必須先將數和數之間的距離，用數學符號表示，才能方便後續的壓縮動作；第二：就如書架的框架、筆筒的大小，能將筆、書之間的距離壓縮，我們也可以利用不等式，替兩數的距離加上一個變數代號，我們把這個變數代號當作框架來用，可以限制數與數之間的距離。利用不等式「小於<」的符號規定數之間的距離，不能超過我們的規定範圍，如同收納物品的精神。
本文以上篇文章中的二次函數極限為例：
為了克服第一個問題，本文順勢引進「絕對值」來表示兩數間的距離：
絕對值|a-b|或|b-a|的基本含義即是：兩數a,b在實數線上的距離。由於沒有負的距離，絕對值的結果保證為正數
例如：|3-(-1)|=|4|=4，|(-1)-(3)|＝|-4|=4，以幾何詮釋，|3-(-1)|和|(-1)-3|指的是-1,3在實數數線上距離，而-1,3的距離是：3-(-1)=4，因此兩者結果皆為4
拿上述例子來說，這個極限傳達訊息是：x趨近於-1，x是一個變動的數，可以不斷的往-1靠近，我們用絕對值|x-(-1)|即|x+1|來表示變數x與-1的距離。本文要克服的第二個問題是，在數學世界裡，就如現實生活中，要找到書架、筆筒、櫃子，來限制物品間的距離。因此，順利用絕對值表示出x與-1的距離後，本文再引入代號"δ"（希臘字母，讀作：deilt），並列出不等式：
本文加上了小於的符號，限制了x與-1之間的距離，讓x與-1之間的距離必須要小於δ，δ是一個正數，因為沒有負的距離。
同樣地，當x趨近於-1，f(x)也會趨近於0，即函數的極限值為0。因此依樣畫葫蘆，用絕對值|f(x)-0|表示函數值f(x)與0的距離，並再多加一個代號"ε"（希臘字母，讀作：epsilon），來限制f(x)與0的距離，ε也是一個正數，因為沒有負的距離。
最後，請讀者回顧函數的定義，所有函數f(x)的值是由x決定，產品y=f(x)由原料x產出，回到極限定義，函數極限存在代表當x越靠近a時，函數值f(x)與極限值L也會不斷靠近，也就是可控制x與a（某實數）的距離δ，將f(x)與極限值L的距離ε壓縮得非常小，讓y與極限值不斷靠近。例如當x趨近於-1，上述拋物線的極限是0（註1），由於函數值y是由自變數x決定，函數值y能靠近0，是因為x靠近-1，換句話說若我們發現存在極限的根本原因是，讓x更靠近-1（δ變小），就可以不斷縮短y與0的距離（ε變小），極限存在的根本原因，與本文請讀者所做的實驗不謀而合，但實驗為了方便，沒有將誤差範圍寫成δ、ε、計算誤差為任意數時的情況，只舉了四到五個例子，但數學證明則要使用代號δ、ε，表示任何一個正數，以涵蓋所有的可能情況。
整合以上所有的資訊，可以用以下步驟驗證，函數極限存在：
- 用絕對值表示距離
- 利用符號δ、ε來壓縮、限制距離
- 只要x自變數夠趨近於某實數a，即x, a兩者的距離小於正數δ，就可以讓y函數值與極限值某實數Ｌ的趨近程度，即y, L兩者的距離需小於任意數ε，就稱極限存在
寫下不等式、回顧函數的性質後，我們才發現：原來極限要證明的是，y與極限值0的距離差需小於ε，無論ε設定多小，是否能透過控制x與-1的距離小於δ，就能辦到？由於這牽涉到更複雜的證明，將在日後的科普文章在陸續討論，但經過以上的辯論，你已成功了解，嚴格的數學極限定義。
函數極限定義：有一函數f(x)（註2），當x趨近於a時，函數極限值是Ｌ。定義|x-a|<δ，|f(x)-L|<ε，且ε、δ為任意一個正數，代表距離。無論ε取的正數有多小，都存在一個δ，可以使得|f(x)-L|<ε，換句話說，只要x與a間的距離夠小，就可以使得函數f(x)的值不斷趨近於Ｌ，將以上結果寫成：
我們稱：當x趨近於a時，函數極限值是Ｌ。
四、什麼是「無限大」與「無限小」
再討論無限大的定義之前，相信你曾看過許多幼稚的小孩都有的爭論：「比誰最厲害」，或者比「誰的零用錢多」。許多小孩子會得出這樣的結論：「反正不管你有多厲害，我都比你更強」，這爭論十分幼稚，不過卻能讓你以最輕鬆的方式理解無限大與無限小。
古印度曾以「恆河沙」來比喻很大的數，大約是10的五十二次方；聖經創世紀中，以「天上的星，海邊的沙」來形容亞伯拉罕的後代子孫不計其數，其實無限大的定義就如上述小孩的爭吵一樣，即使某個「數」已經如沙子那樣多，無限大仍然更大；換句話說，無論你找到一個多麽大的正數，無限大總是比它還大。無限小同樣有相似的定義，無論你找到任意一個再小的負數，無限小總是比他更小。
以上就是無限大與無限小的定義。無限大、無限小、與極限（趨近）的概念，讀者都應該以「動態」的視角來解讀：無限大、無限小都像一匹脫韁野馬，不斷的朝更遠的方向移動，只是一匹不斷跑向更大的正數，另外一匹則不斷往更小的負數前進；而說當x趨近於a時，函數的極限是Ｌ，意思不是x=a或函數的值就一定是Ｌ，而是說明函數的值和x也像一位賽跑選手或賽馬，不斷地朝著唯一的目標終點Ｌ、a靠近，後續文章將繼續探討函數的連續與極限的更多性質。
註1：本文舉例拋物線的極限確實存在，但需用到後續的極限計算法則，才能容易證明，所以本文先跳過
註2：這個函數的定義域一定要有一個包含a的開區間，例如：c<a<b，由於趨近的意思不是等於，所以這個函數不一定在x=a時有意義。
文章難度：中
