從生活認識微積分(三):極限與無窮的定義

2018/06/29閱讀時間約 8 分鐘
作者: Pixabay ,來源:https://www.pexels.com/photo/books-in-black-wooden-book-shelf-159711/,授權方式:CC0 License
這是微積分科普系列文章的第三篇,本文分成兩個部分。第一部分:由於上文以極限的反思作結,告訴讀者透過實驗與推測,不能確定函數的極限,因此本文將以嚴格的數學定義,說明如何證明函數的極限,回答上文中的反思問題,了解定義後,未來再證明函數極限的加、減、乘、除;第二部分:將以生活對話向你解釋「無限大、無限小」的概念,已預備之後的科普主題,如:包含無限的極限、漸近線定義、微分、積分的觀念。

一、直覺定義「極限」的反思

  「極限」就是「靠近、趨近」的觀念,所以上文僅透過實驗將「-1.1, -1.01, -0.9, -0.99」等靠近-1的x值,代入二次函數計算,再透過計算結果推測,當x越靠近-1時,函數值y越靠近0,本文就稱函數的極限為0。這是非常不嚴謹的推論,猜測雖然奠基在可靠的事實:「函數值越來越趨近0」上,但我們沒有證明,函數可以不斷的靠近0。就好像我們觀賞一場比賽,到最後一刻仍可能會翻盤;又好像聆聽樂曲,雖然樂曲已經快要到尾聲,八九不離十,但你仍無法確保最後樂曲的終止式為何,數學確保一切的定理皆能嚴謹的證明,因此本文將引入極限的嚴格定義。

二、日常生活中如何「壓縮」距離

  如何證明函數會趨近極限值?先來想想生活中的例子:若在一個房間內,有許多本書和許多筆,怎樣可以讓物品間的距離壓縮?是將物品收納、分類,讓書之間的距離縮小到一個幾公分的書架匡裡,將筆全部收納在筆筒,讓兩隻筆間的距離縮小到一個圓筆筒的直徑以內,還是將書、筆通通散落在桌上、地上呢?答案是顯而易見的,需要書架、筆筒來限制筆與筆、書與書之間的距離,而越小的筆筒,格子排得越整齊、密集的書架,越可將將物品間的距離縮小。
  在數學中也是如此,函數極限要證明的便是,x趨近於a時,函數值是否趨近於某個極限值L,趨近就是指兩者距離能夠壓縮至任意小,在數學世界裡,目標不是用收納的書架、筆筒、櫃子,壓縮「物品」與「物品」間的距離,而是壓縮「函數值f(x)」與「極限值L」的距離

三、極限的嚴格定義

  你必須先了解本文要克服的兩個問題:第一:現實生活裡,你不需要將物品與物品間的距離,用精確的數學表示,但在數學世界裡,你必須先將數和數之間的距離,用數學符號表示,才能方便後續的壓縮動作;第二:就如書架的框架、筆筒的大小,能將筆、書之間的距離壓縮,我們也可以利用不等式,替兩數的距離加上一個變數代號,我們把這個變數代號當作框架來用,可以限制數與數之間的距離。利用不等式「小於<」的符號規定數之間的距離,不能超過我們的規定範圍,如同收納物品的精神。
  本文以上篇文章中的二次函數極限為例:
  為了克服第一個問題,本文順勢引進「絕對值」來表示兩數間的距離:
絕對值|a-b|或|b-a|的基本含義即是:兩數a,b在實數線上的距離。由於沒有負的距離,絕對值的結果保證為正數
例如:|3-(-1)|=|4|=4,|(-1)-(3)|=|-4|=4,以幾何詮釋,|3-(-1)|和|(-1)-3|指的是-1,3在實數數線上距離,而-1,3的距離是:3-(-1)=4,因此兩者結果皆為4
  拿上述例子來說,這個極限傳達訊息是:x趨近於-1,x是一個變動的數,可以不斷的往-1靠近,我們用絕對值|x-(-1)|即|x+1|來表示變數x與-1的距離。本文要克服的第二個問題是,在數學世界裡,就如現實生活中,要找到書架、筆筒、櫃子,來限制物品間的距離。因此,順利用絕對值表示出x與-1的距離後,本文再引入代號"δ"(希臘字母,讀作:deilt),並列出不等式:
  本文加上了小於的符號,限制了x與-1之間的距離,讓x與-1之間的距離必須要小於δδ是一個正數,因為沒有負的距離。
  同樣地,當x趨近於-1,f(x)也會趨近於0,即函數的極限值為0。因此依樣畫葫蘆,用絕對值|f(x)-0|表示函數值f(x)與0的距離,並再多加一個代號"ε"(希臘字母,讀作:epsilon),來限制f(x)與0的距離,ε也是一個正數,因為沒有負的距離
  最後,請讀者回顧函數的定義,所有函數f(x)的值是由x決定,產品y=f(x)由原料x產出,回到極限定義,函數極限存在代表當x越靠近a時,函數值f(x)與極限值L也會不斷靠近,也就是可控制x與a(某實數)的距離δ,將f(x)與極限值L的距離ε壓縮得非常小,讓y與極限值不斷靠近。例如當x趨近於-1,上述拋物線的極限是0(註1),由於函數值y是由自變數x決定,函數值y能靠近0,是因為x靠近-1,換句話說若我們發現存在極限的根本原因是,讓x更靠近-1(δ變小),就可以不斷縮短y與0的距離(ε變小),極限存在的根本原因,與本文請讀者所做的實驗不謀而合,但實驗為了方便,沒有將誤差範圍寫成δ、ε、計算誤差為任意數時的情況,只舉了四到五個例子,但數學證明則要使用代號δ、ε,表示任何一個正數,以涵蓋所有的可能情況。
  整合以上所有的資訊,可以用以下步驟驗證,函數極限存在:
  1. 用絕對值表示距離
  2. 利用符號δ、ε來壓縮、限制距離
  3. 只要x自變數夠趨近於某實數a,即x, a兩者的距離小於正數δ,就可以讓y函數值與極限值某實數L的趨近程度,即y, L兩者的距離需小於任意數ε,就稱極限存在
  寫下不等式、回顧函數的性質後,我們才發現:原來極限要證明的是,y與極限值0的距離差需小於ε,無論ε設定多小,是否能透過控制x與-1的距離小於δ,就能辦到?由於這牽涉到更複雜的證明,將在日後的科普文章在陸續討論,但經過以上的辯論,你已成功了解,嚴格的數學極限定義。
函數極限定義:有一函數f(x)(註2),當x趨近於a時,函數極限值是L。定義|x-a|<δ,|f(x)-L|<ε,且ε、δ為任意一個正數,代表距離。無論ε取的正數有多小,都存在一個δ,可以使得|f(x)-L|<ε,換句話說,只要x與a間的距離夠小,就可以使得函數f(x)的值不斷趨近於L,將以上結果寫成:
我們稱:當x趨近於a時,函數極限值是L。

四、什麼是「無限大」與「無限小」

  再討論無限大的定義之前,相信你曾看過許多幼稚的小孩都有的爭論:「比誰最厲害」,或者比「誰的零用錢多」。許多小孩子會得出這樣的結論:「反正不管你有多厲害,我都比你更強」,這爭論十分幼稚,不過卻能讓你以最輕鬆的方式理解無限大與無限小。
  古印度曾以「恆河沙」來比喻很大的數,大約是10的五十二次方;聖經創世紀中,以「天上的星,海邊的沙」來形容亞伯拉罕的後代子孫不計其數,其實無限大的定義就如上述小孩的爭吵一樣,即使某個「數」已經如沙子那樣多,無限大仍然更大;換句話說,無論你找到一個多麽大的正數,無限大總是比它還大。無限小同樣有相似的定義,無論你找到任意一個再小的負數,無限小總是比他更小。
  以上就是無限大與無限小的定義。無限大、無限小、與極限(趨近)的概念,讀者都應該以「動態」的視角來解讀:無限大、無限小都像一匹脫韁野馬,不斷的朝更遠的方向移動,只是一匹不斷跑向更大的正數,另外一匹則不斷往更小的負數前進;而說當x趨近於a時,函數的極限是L,意思不是x=a或函數的值就一定是L,而是說明函數的值和x也像一位賽跑選手或賽馬,不斷地朝著唯一的目標終點L、a靠近,後續文章將繼續探討函數的連續與極限的更多性質。


註1:本文舉例拋物線的極限確實存在,但需用到後續的極限計算法則,才能容易證明,所以本文先跳過
註2:這個函數的定義域一定要有一個包含a的開區間,例如:c<a<b,由於趨近的意思不是等於,所以這個函數不一定在x=a時有意義。
文章難度:中
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Caspar
大學時專攻生命科學與數學,對於科學教育富有熱誠,時常感嘆台灣的科學教育抹滅學生的興趣,期望藉由文章讓讀者了解科學的學習方法與精神。我也熱衷於研究親子教育、心理學、哲學、語文等,希望能在文章中提供讀者教育孩童的方法,並定期分享語言的學習文章,期望讓讀者們的生活更加充實。
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