一本「訓練思考能力的數學書」導讀

書名：訓練思考能力的數學書

作者：剛部恆治 著 王秋陽、中川翔詠 譯

出版社：究竟出版社

出版日期：92年9月

頁數：244

定價：220元

數學究竟是一門什麼學科？可以讓多數的人都敗倒在它之下，但卻又不得不硬著頭皮去跟它接觸。我們常說數學是一門訓練思考的學科，思考跟數學又有什麼關聯？為什麼有學生的數學成績在小學還嚇嚇叫，上了國中後就一落千丈？在這麼多為什麼的問題之後，有沒有一個共同的解答呢？在閱讀完本書後，我們就可以初步找到一個答案，就像本書封面上的一段話：「數學並不是要讓事物變得更困難，而是一種化繁為簡的學問。」學生常常把數學想得太難了，最後數學就如學生所想的那麼難，因此在筆者的教學過程中，常會灌輸學生一個想法就是數學「有那麼難嗎？」先建立起學生的自信心來迎接數學的挑戰。

本書一開始告訴我們有關狹義與廣義數學之定義，前者只是一些數學的公式、定理等；後者則包含各種自然與社會現象，而學生之所以會對數學有嚴重的排斥感，就是因為我們太著重於狹義的數學，讓學生有「學數學有什麼用？」的疑問。接著作者在每一章節中以幾個生活化和趣味化的問題作為引題，闡述所要論述的理念，讓讀者在看書的過程中，能夠清楚的了解到書中所要透露的訊息，例如在書中「所謂數學是的動腦方式」一章中，提到一個例子，這個例子是要算一捲圓筒型衛生紙的長度（將厚度0.02公分的衛生紙，在直徑10公分的圓筒上，捲成直徑20公分的大小，如圖1所示），作者分別舉出四種方法，下面簡單敘述、解說：

第二種方法是利用圓形周長公式來計算整捲的長度，我們可以知道由側面來看，最外圈的衛生紙為半徑10公分的圓形，依序半徑會減少0.04公分（上下各減少一個衛生紙的寬度），最後一圈的半徑為10.04公分，所以整捲衛生紙的長度就可以利用圓形周長公式「輕易」算出來，總共「只要」計算250次周長公式即可，總長度為📷，這樣很簡單吧。只要學過圓形周長公式的小學學生一定都會算。

第三種方法是將第二種方法作一點點變形，將全部的項，由後面往前依序再寫一次，可以得到下面的式子：

這樣的寫法其實應用到等差級數的觀念，一般學生可能要到國中才會學到這些觀念（除非你是數學天才「高斯」，才能在國小的年紀就想出這種解法）。

第四種解法其實也是很直觀的一種解法，只是因為題目是要解長度，所以學生通常只會想到有關長度方面的公式，而這裡要介紹的這種解法是利用面積來計算，現在我們來想像一下，在第一種方法把衛生紙全部拉出來成一直線時，從側面來看會有什麼的結果，如下圖2所示（寬度的部分為衛生紙的厚度，長度的部分為整捲衛生紙的長）：

現在再想像一下把衛生紙捲回去會是什麼情況，剛剛圖2的面積會不會等於捲完後圓筒型的衛生紙側面的圓環面積呢？如圖3所示：

答案當然是會的，所以我們就可以列出下列等式：

圖2的長方形面積 ＝ 圖3衛生紙側面的圓環面積

這樣的解題方式，突破前面幾種直接算長度的方式，利用面積來間接算長度，這利用到的概念雖然有點「積分」的味道，但是一般國小的學生應當就可以理解。

由上述這個例題，我們可以清楚了解到數學其實是一種累積，由一開始直接的測出整個長度，接著歸納出一個周長公式，利用公式來計算，後來發現在整個式子中可以利用不同的寫法衍生出更簡單的算法，最後利用面積的角度來看此長度的問題，發現解法更為簡單，只是需要動到較多的數學思考。就好像在書中的一個分析表

如果學生在學的過程中，只被教導如何應用現有的公式來解題，那我們可以想像數學將是一門多麼乏味的科目，因此如何在學生具備一些簡單的數學工具（例如上題中圓形與長方形面積公式等）之後，開始讓學生利用這些工具作一些思考性的解題來訓練學生的數學能力變成是現在數學教育最重要的一個部分。

身為一位國中的數學老師，我發覺孩子在長大的過程中，想像力與創造力一點一滴的被大人所抹滅，而想像力與創造力是思考的重要利器，沒有這兩項武器難怪學生的數學能力會節節下降。另一方面是直覺，有時老師太過於強調公式、定理或者特殊、快速解法，讓學生在面對一個問題時，不知該利用哪一個公式或定理，更嚴重的是學生會去思考是否有特殊或快速解法，而完全忽略掉應該如何應用直覺來解題，所謂利用直覺解題是不侷限於某一種特殊的方法來解題，而是讓學生在自然的情境中利用他自己的方式來解題，例如91年第一次國中基本學力測驗數學科題本中第14題，題目如下：

小健全班在週末至墾丁與鵝鸞鼻郊遊，38人共租了16輛協力車。同學協議每輛只能兩人共騎或三人共騎。請問在這16輛協力車中，由兩人共騎的有幾輛？

（A）6 （B）8 （C）10 （D）12

本題有很多種不同的解法，一般學生看完題目後會很直覺的假設變數來解此題因此常見以下兩種利用變數的解題方式

方法一：二元一次聯立方程式

假設兩人共騎的協力車租了x輛

三人共騎的協力車租了y輛

則可按題意列出二元一次聯立方程式

以上兩種方法分別是國中學生在學完二元一次聯立方程式和一元一次方程式後，所使用的解法。但是這樣的題目如果出現在國小的試卷中，國小的老師會告訴我們另一種不需要變數的方法，這個解法可以說是真正利用到思考來解題，也非常的直觀，但學生在學完方程式後通常就忘記這個方法，以下是此方法的敘述：

如果這16輛協力車都是三人共騎的，則可讓48人共用，但人數只有38人，表示多了10個車位，我們知道若用一輛兩人共騎的協力車取代一輛三人共騎的協力車，就可少一個車位，而總共多了10個車位，因此就需要用10輛兩人共騎的協力車取代10輛三人共騎的協力車，因此最後需租6輛三人共騎的協力車（將原本欲租的16輛減去換成兩人共騎的10輛，16-6=10）和10輛兩人共騎的協力車。

看完以上三種解法不知是否喚起大家對於數學問題多面向的看法，記得九年一貫課程之前在國小曾推動建構式教學，最後這項教學法被迫「撤離」，原因無它，就是學校老師獨尊「建構」，凡事都要建構一下，搞到最後學生無法真正建構出一套自己的學習方式，反而程度每況愈下。

在國中的數學教學過程中，有時老師也會落入這樣的框架，教某個單元時，就一直強調此單元的重要性，且過度強調公式、定理，而把具思考性的問題都簡化成公式來解題，並且忽略學生曾學習過的知識，未能加以連結，使得學生無法將所學的知識可以融會貫通，也因此在解題上呈現呆板、不靈活，更嚴重的情況是學生一遇到沒有寫過的題目就不知該如何解起。

延伸閱讀

1.Anna Cerasol著，王愛雅譯；愛上數學－悠游數學世界的20個趣味故事；台北市：如何出版社。

2.ShermanK. Stein著，葉偉文譯；數學是啥玩意？Ⅰ；台北市：天下文化出版社。

3.ShermanK. Stein著，葉偉文譯；數學是啥玩意？Ⅱ；台北市：天下文化出版社。

4.ShermanK. Stein著，葉偉文譯；數學是啥玩意？Ⅲ；台北市：天下文化出版社。

5.李國賢著，趣味數學邏輯推理篇；台北市：明日世紀出版社。