🚀 AI時代系列 (4) -《機器人學 🤖 —— AI 的身體與行動》
12/100 📌 第 2 周：運動學與機械結構
12. 正向運動學 (Forward Kinematics) 📐 從關節角度算出手臂位置！
________________________________________
一、什麼是正向運動學？
正向運動學（Forward Kinematics, FK）就是：
➔ 已知每個關節的角度與連桿長度，計算出機器人末端執行器（End-Effector）的位置與姿態。
✅ FK 是運動控制中最基本、最穩定、最容易計算的一環。
✅ 它將內部的機械參數，轉換成空間中的幾何描述。
________________________________________
二、正向運動學的核心流程
1️⃣ 確定各關節參數：
• 關節角度 (θ)
• 連桿長度 (L)
• 連桿偏移 (d)
• 連桿扭轉角 (α)
2️⃣ 建立坐標系
• 每個關節定義一個局部坐標系
• 利用轉換矩陣 (Transformation Matrix) 表示坐標變換
3️⃣ 串接轉換矩陣
透過連乘每個關節間的轉換矩陣：
T=T1⋅T2⋅T3⋅⋯⋅TnT
最終得到整體的末端位置與姿態。
________________________________________
三、常用轉換工具：DH 參數法
Denavit-Hartenberg 參數 (DH 參數) 是一個系統化描述每個關節與連桿之間關係的方法：
在機器人運動學中，**DH 參數（Denavit–Hartenberg Parameters）**提供一套標準化方式，用於定義相鄰兩關節之間的相對位置與姿態。每組關節透過四個參數描述：**θ（theta）**為關節的旋轉角、d為關節的軸向位移、a為連桿長度、**α（alpha）**為連桿之間的扭轉角。這四個參數共同決定了從一個座標系到下一個的空間轉換，並可組成一個對應的 4×4 齊次轉換矩陣，整合了位置與姿態資訊，成為構建整體機械臂運動鏈的基礎。
________________________________________
四、簡單範例：二連桿平面手臂
假設兩個轉動關節：
• 連桿長度：L₁、L₂
• 角度：θ₁、θ₂
(x, y) ← 末端執行器位置
*
/
L₂ /
/
*───────* ← 第一段連桿 L₁
/
θ₂/
/
θ₁/
*
(0, 0) ← 基座 (Base)
🔹 已知條件：
第一段連桿長度：L₁
第二段連桿長度：L₂
第一關節角度：θ₁
第二關節相對角度：θ₂
🔹 末端執行器位置 (x, y)：
x = L1 * cos(θ1) + L2 * cos(θ1 + θ2)
y = L1 * sin(θ1) + L2 * sin(θ1 + θ2)
這是二自由度平面機械臂最基本的正向運動學模型，可用於規劃手臂位置與繪製路徑。
👉 這就是最簡單的正向運動學公式。
________________________________________
五、正向運動學的應用場景
✅ 工業機械手臂控制
✅ 3D 列印機頭路徑計算
✅ VR/AR 虛擬角色動畫驅動
✅ 機械臂模擬器
✅ 無人機與機器人姿態預測
________________________________________
六、正向運動學的特點
特點 說明
✅ 簡單 只需串接轉換矩陣
✅ 穩定 結果一定存在
❌ 單向 無法直接求反向解
👉 所以才需要逆向運動學 (IK) 來解決目標位置反推關節角度的問題。
________________________________________
🌱 延伸思考任務
反思題：
如果你的機器人有 7 個以上自由度（超過人類手臂的自由度），你認為正向運動學會變得困難嗎？當自由度增加時，對控制與規劃會帶來哪些新挑戰？
👉
當機器人擁有 7 個以上自由度時，正向運動學本身仍可透過矩陣連乘順利計算，不會變得困難；然而，自由度增加會使控制與規劃變得更具挑戰性，因為冗餘自由度導致同一末端位置可能對應無數組關節解，這會讓逆向運動學變得不穩定，並增加尋找最佳解（如避障、能耗最小、動作平滑等）所需的計算負擔，此外還需設計有效的冗餘解決策略與優化規則，才能實現高效且安全的運動規劃。
