從生活認識微積分（四）：變化與斜率

　　你一定經歷過許多生活中的改變。先從長時間的變化說起：隨著時間流逝，人會不斷成長，只要還在發育，身高、體重，與面貌都會不斷改變；而都市街景、環境也隨著時間改變，歷經數十年，可能已由較矮的平房，變成高聳的大樓，城市中的綠地、農田面積，也隨著時間逐漸減少，被人類開發完畢；植物幼苗歷經四、五十年，可以長成大樹。生活中也有許多短時間變化，最常見的就是通勤時的位置變化，從家裡出發，一小時後抵達公司，或是坐上高鐵，經過不久後，你就已抵達另一個縣市；在冬天時，一碗熱騰騰的湯麵上桌不久後，就會因熱量散失逐漸散失；除了時間帶來的改變，還有許多貼近的生活的例子，一樣產品如果定價變得越貴，願意購買的消費者越少，這是價格影響購買量的變化；距離音響的距離越遠，聽到的音量越小聲，這是距離帶來的變化。

　　只形容一種單位的改變不是變化率，只能稱之為變化。用文章上述坐列車的例子來說明，如果只寫：「列車的移動了10公里」，這只描述位移，沒有表達時間的流逝，因此，只能稱10公里為「位置變化」而非「變化率」。要算變化率，就要寫出另一單位的改變才能計算，例如：加上「經過一個半小時」，位置移動了10公里，就能計算平均變化率。有兩個單位，要選擇一個作為基準，若要利用「小時」作為基準單位，「公里」為對應變化單位，表達「位置對單位時間的變化率」，就須將時間變化放置在分母，位置變化放在分子，在數學中可以分數方式表示以上觀念：

　　同樣地，如果觀察的不是列車位置的移動，而是植物的成長，亦要區別變化與變化率。假設有一份植物觀察日記，寫下植物發芽後長高了15公分，只形容了高度變化，因此不能稱15公分為變化率，但若加上另一時間單位：天數，紀錄寫成「五天過後，植物成長了15公分」，目前的資訊，若以天數作為基準單位，就能求出高度對時間的變化率了，只需將高度變化15cm除以5天，其寫成分數形式為：

　　表示的意義是：「平均來看，植物每過1天，成長3公分」

　　經過上述討論，讀者已經了解變化與變化率區別，變化率必須要有兩種單位的變化，才能利用分數（註1），將一種單位除以另一種單位算出答案。實際例子是：位置對時間的變化率，即以時間作為基準，要用位置變化除以時間：位置變化/時間變化；而植物高度對時間的變化率，亦以時間作為基準，要用高度變化除以時間：高度變化/時間變化。一晚熱湯麵的溫度會逐漸降低，湯麵的溫度對時間的變化率，即以時間作為基準，用溫度變化除以時間：溫度變化/時間變化，就可算出湯麵冷卻的平均速度。

　　數學中的斜率就是一種變化率，但數學家追求一般化問題，換句話說，數學家希望能用一個抽象的關係，來顯示眾多例子上的共同點，讓你在各種形形色色的事件當中，都能發現同樣的數學觀念，並能用同樣的方式求出解答。因此數學定義斜率，不能以具體的生活例子定義，必須將變化率的定義抽象化，觀察上述舉的例子：距離對時間的變化率為速度，植物高度對時間的變化率為成長速度，變化率皆由兩個單位組成，變化率需要是一個單位對基準單位的變化，表示的意義是：當觀察者發現基準單位變化時，另一個單位隨之變化。例如：植物高度對時間的平均變化率（成長速度）是，即以天數為基準單位，公分為伴隨變化，前為計算結果為「3 公分/天」，表示的意義是：平均來看，每過一天植物長了3公分。

　　數學家將基準單位取代號為x，另一個隨之變化的單位為y，數學、物理通常將變化用大寫的希臘字母Δ表示，x的變化寫作Δx，y的變化寫作Δy。數學定義斜率就是y對x的變化率，即y除以x，寫作：

　　變化量即最終結果減初始狀態，變化一定有觀察的起點與始點，如果是1號開始觀察植物，那麼五天後就是6號，如果一開始是5公分，結果就是20公分，所以若將初始的（x, y）標為（x1, y1），結果的（x, y）標為（x2, y2），斜率又可以改寫成：

　　以上就是斜率的定義，後續文章將介紹斜率的幾何意義、教讀者分辨瞬時變化率與平均變化率，最後引入函數、直角座標平面，說明瞬時變化率、平均變化率在函數圖形上的幾何意義，並將瞬時變化的觀念連結回微分的定義。

註1：分數就隱含除法的觀念，除以6就是把6放在分母，即將6倒數成1/6。
文章難度：易