從直覺到人工智慧：看懂機率如何描繪不確定世界

我們每天都在問：「這件事發生的機會有多大？」這個問題的答案，就是「機率」。它是一個介於0（絕不可能）與1（必然發生）之間的數字，是我們在未知中評估風險、做出決策的導航儀。然而，這個看似簡單的數字，背後卻有著豐富的哲學內涵與嚴謹的數學基礎。讓我們從它的思想源頭開始，逐步理解它的現代面貌。

一、思想的起源——三大哲學性質的機率理論

在機率成為一門嚴謹科學之前，人們是從三種不同的角度來理解「可能性」的。

1. 古典機率：理想世界的對稱之美
2. • 核心精神：源自於賭博與公平遊戲的思考。它假設所有可能結果是「有限的」且「發生機會完全均等」。機率是純粹的數學計算，不需任何實驗。
   • 生活映照：當你心想「擲一枚公正硬幣，正面朝上的機會是一半」，或者「從一副牌中抽中黑桃A的機率是1/52」，你使用的就是古典機率的思維。它是一種在完美對稱假設下的「想當然耳」。
2. 相對頻率機率：現實世界的長期規律
3. • 核心精神：認為機率隱藏在重複試驗的數據中。當一個實驗在相同條件下被重複無數次，某事件發生的「相對頻率」會趨近於一個穩定值，那就是它的機率。
   • 生活映照：保險公司根據數百萬人的歷史數據計算死亡率來訂定保費；品管員透過抽檢大量產品來估算不良率。這是一種「用歷史數據說話」的務實觀點，回答了「從長遠來看，這會發生多少次？」的問題。
3. 主觀機率：決策者的個人信念
4. • 核心精神：機率是個人對某事件發生可能性的「信念程度」。它因人而異，取決於個人的經驗、知識與所掌握的資訊。它特別適用於無法重複的獨特事件。
   • 生活映照：一位企業家評估「新產品在一年內市佔率突破10%」的機率；一位醫生判斷「這位病人手術成功」的機率。這些都是綜合了所有資訊後，一個量化了的「直覺」或「專業判斷」。

二、數學的脊樑——公設化機率論的誕生

他不管機率背後的哲學是什麼，只規定任何稱為「機率」的函數，都必須遵守以下三條規則：

1. 非負性：任何事件的機率永遠大於或等於0。
2. 正規性：整個樣本空間（所有可能結果的集合）的機率為1。
3. 可加性：一組兩兩互斥的事件，其聯集的機率等於各事件機率之和。

這套公設化機率論為所有機率學者提供了共同的語言和嚴格的推導框架，成為現代機率論與數理統計學的基石。

三、動態社會的思維進化——兩大現代統計框架與方法

公設化理論奠定了靜態的規則，但現實社會是不斷變化、資訊是持續湧入的。為了處理這種動態的不確定性，兩個強大的工具變得日益重要。

1. 條件機率：資訊更新的基礎工具
2. • 核心精神：回答「在已知某事件B發生的前提下，事件A發生的機率是多少？」這個問題。公式為 P(A∣B)=P(A∩B)/P(B)。它是所有動態分析的起點。
   • 時代價值：在資訊爆炸的時代，我們永遠在根據新獲得的資訊，重新評估局勢。條件機率正是這種「如果…那麼…」思考模式的數學核心。
2. 貝氏機率：動態更新信念的強大框架
3. • 核心精神：它提供了一個系統化的流程（貝氏定理），將「先驗」的主觀信念與新的「客觀證據」相結合，計算出「後驗」的更新機率。其公式完美體現了這個思想：後驗機率 ∝ 先驗機率 × 證據的似然性。
   • 時代價值：從機器學習、垃圾郵件過濾到醫療診斷，貝氏框架無所不在。它讓我們能夠「持續學習」，不固執於初始看法，而是隨著新證據的出現，理性地調整我們的信念，是處理動態複雜問題的關鍵方法。

實例整合：用「週末要不要去野餐」決策全覽機率演進

現在，讓我們用一個完整的「週末野餐」決策故事，來展示這五個概念如何協同工作：

• 【古典機率】：週一開始規劃時，你毫無頭緒，心想：「這週末有兩天，隨便選一天是晴天的『理論』機率是1/2。」這是基於完美假設的起點。
• 【相對頻率機率】：你覺得不靠譜，於是查詢氣象歷史資料，發現過去類似天氣型態下，晴天的比例約是70%。你便將晴天的估計更新為這個更有數據支持的 70%。
• 【主觀機率】：然而，你個人的經驗告訴你，這個季節的天氣多變，你對70%的樂觀數據存疑，於是你憑直覺將機率下修至 50%。這是你個人的「先驗信念」。
• 【觸發條件機率】：到了週五，你看到天空開始積雲（事件B已發生）。你自然而然地開始思考：「在『週五積雲』的前提下，週六晴天（事件A）的機率還剩多少？」這個思考本身，就是條件機率的應用。
• 【貝氏機率更新】：緊接著，你看到氣象局發布了大雨特報（強烈新證據）。此時，你啟動了貝氏更新：將你之前50%的「先驗」主觀機率，結合「大雨特報在雨天通常非常準確」這個證據的強度，進行計算。最終，你得出一個全新的、高達 90% 的降雨「後驗」機率。
• 【最終決策】：基於這個經過動態更新、融合了客觀證據與主觀調整後的最終機率，你做出了理性決定：取消野餐。

從古樸的對稱思想，到嚴謹的數學公設，再到應對動態現實的現代框架，機率論的發展本身就是一部人類理性認識不確定性的進化史。