心統 | 變異數分析(Analysis of variance, ANOVA) | 單因子ANOVA

為什麼要有ANOVA？

學到現在，我們知道在處理名義變項上，我們使用卡方檢定；而在等距及比率變項上，我們使用z檢定與t檢定。卡方可以處理三個變項，那z檢定與t檢定呢？答案是可以，但不推薦。

ANOVA也可以使用在2個變項，這時F=t²。

為什麼3組變項時，不推薦z檢定與t檢定？

這兩個檢定方法都是要兩兩比較的，因此如果今天有5組的話，我們總共要做10次的檢驗（C5取2）！這是一件很麻煩的事情。但也許你特別熱愛這兩個統計方法，要做100次你也願意，這樣還不行嗎？

為什麼要改顯著水準？

還記得TYPE I ERROR嗎？當我們推翻H₀，我們還是有0.05的機率判斷失誤。每做一次檢定，我們做正確判斷的機率就會越來越小。例：做一次檢定，有95%的機率正確；做兩次檢定，有90%的機率正確；...；做十次檢定，有60%的機率正確。當我們檢驗越多次，α判斷失誤的機率會越來越高，這個現象我們稱之為Family-wise error rate(FWER)。

因此，我們一開始的α不能設定0.05，需要透過下面的方式改善。

等距、比率變項遇到三組以上的話怎麼辦？

我們就推薦使用ANOVA！使用ANOVA我們可以知道是否有組別特別顯著，只透過一次的統計方式，就可以看出整體的差異。如果顯著發現有不一樣的時候，我們可以再使用事後比較找出顯著有差異的組別。

補充：t檢定與ANOVA的差異
例如，我們想要知道XX國一的資優班是不是特別優異。這時我們用A、B、C、D、放牛班這五個班級來做比較。

如果用t檢定，我們用資優班跟放牛班來比沒有什麼太大的意義。差距是很大沒錯，但是無法看出「特別優異」的結論，需要跟其他4個班級都比過之後，才有可能得出。但在重複檢驗的情況下，會導致失誤的機率很高。

因此，我們會利用ANOVA僅做一次，了解是否在整體上有顯著差異，若有再做事後比較。

ANOVA 基本概念

使用前提：變異數同質性(等分散性)、常態性

若實驗成功，組間變異數 > 組內變異數，要大到什麼程度取決於F分配。若沒有顯著，代表組間的效果可能是抽樣的誤差造成的，並沒有特別的不一樣。

左圖組間效果不明顯，右圖明顯

SS、MS、df：畫出一張ANOVA表

ANOVA 表

F分配：取決於兩個自由度

d1=df_B、d2=df_W

從樣本誤差變異數推估母群誤差變異數

前提：σ₁²=σ₂²=σ₃²=σ₄²=σ₅²=σ_e²

t test pooled variance = ANOVA MSw

效果量

d family：Cohen's d

r family：Eta-Squared、Partial Eta-Squared、Omega-Squared

事前比較

t檢定比較會導致FWER，因此使用 Bonferroni inequality公式得到新的α'。

α'=α/c，c是要檢定的組數

Bonferreni t

事後比較

嚴謹度：LSD procedure < Tukey's Test < Scheffe Test

LSD procedure

直接用t檢定，沒有控制FWER

Tukey's Test

使用較嚴格的 Studentized range statistic (q)，找到HSD再快速比較

Scheffe Test

不只兩組比較，是一個複雜比較