從生活認識微積分（二）：什麼是「極限」？

更新於 2022/11/10發佈於 2018/06/25閱讀時間約 7 分鐘

圖片來源：https://www.publicdomainpictures.net/en/view-image.php?image=51405&picture=vintage-train，作者：Tim Emerich ，授權方式：CC0 Public Domain

這是微積分科普系列文章的第二篇，本文將以生活情境向你解釋「靠近」的概念，了解趨近的含義後，再說明如何用數學語言表示極限，並讓讀者透過直覺的函數圖形和計算，了解函數極限的意義，最後引導讀者思考、提出質疑，更加嚴格的函數極限定義，應符合哪些要求。

一、日常語言中的「靠近」與「接近」

　　「靠近」是生活中常見的用詞，數學中的「極限」的本質，是一種討論「靠近、接近、趨近」的課題。我們常形容一個人「很靠近某人」，來形容人際關係裡，兩人十分親密；我們常用「接近目標」、「離目標只差一點了」等來鼓勵人，告訴他與最終要達成的目標的距離，已經十足的接近，不要輕易放棄；你還會在列車將要靠站時聽到：「列車即將抵達某個地點」，這代表列車目前的位置與目的地已經相差不遠；又或者當人們注意到日曆上的日期「接近」假期時會特別開心，以上列舉的所有例子都隱含極限的概念。

　　在日常生活中，「靠近」用來形容人與人之間、列車與目的地間的「距離很近」，數學中的「靠近」或稱「趨近」也是指「距離很近」，只不過在數學世界裡是形容「數」與「數」之間的距離很近，但到底「多近」才能稱「趨近」呢？生活中的靠近是一個很不精確的說法，例如本文只說：「變數x很靠近1」，但有人認為0.9跟1已經很靠近，因為兩者距離只差了0.1；有人認為0.99跟1很靠近，因為兩者距離差了0.01；有人認為1.00001與1才算是靠近，兩者距離只差0.00001。為了解決以上爭議，數學裡的趨近，指的是「要多近就能多近」，若說x趨近於a，就是說x和a兩者的距離可以壓縮至「任意的小」，但卻永遠不會相等（註1）。

　　你可以想像在現實生活裡，就算在靠近一個人，你也不會變成他。你在跑步的終點以前，即使只差一步，永遠不等於已抵達終點；就算只差最後一筆，藝術家就能完成畫作，那幅畫永遠仍未完成。

　　數學中有數列、函數的極限，本文暫以函數的極限為例。函數的極限，將用到上一文章中的「函數」與本文「趨近」的概念。為了避免太過抽象，本文以二次函數（拋物線）為例。

　　二次函數：即形如f(x)=y=ax^2+bx+c的函數，a,b,c是任意常數。

　　我們可以觀察到幾件事實。第一，自變數x的最高次方為2，第二，x與y之間並非一對多的關係，每計算一次x，只會得到一個y，例如：帶入x=0得f(0)=c，不會得到多個y值。

二、「極限的定義」與「極限」的數學表示法

　　下文將先帶領讀者作實驗提出猜測，再歸納如何求函數的極限與極限的定義。

　　已知現在有一個二次函數：

　　本文先請讀者透過「代數字」的方法作一項實驗：「找四個趨近於-1的x，帶入上述的二次函數，求出函數值」，並做出一樣猜想：「如果x越來越趨近-1，y值應該趨近於哪個數字」，未來文章會提供讀者更快的計算方法，目前讀者可以將一些靠近-1的值，例如「-1.1, -1.01, -0.9, -0.99」，帶入函數用計算機試算，並作出猜想：

　　計算結果是：

f(-1.1)= -1.1＊-1.1＋2＊-1.1+1=1.21-2.2+1=0.01
f(-1.01)= -1.01＊-1.01＋2＊-1.01+1=1.0201-2.02+1=0.0001
f(-0.9)= -0.9＊-0.9＋2＊-0.9+1=0.81-1.8+1=0.01
f(-0.99)=-0.99*-0.99+2＊-0.99+1=0.9801-1.98+1=0.0001

　　再作近一步觀察，你是否注意到以下x與y的對應關係：x越靠近-1，函數值也會越接近0，因此猜想結果已經確定了：

當x越來越趨近-1，y值應該愈趨近於0

　　雖然我們無法計算所有接近-1的x，我們可以用猜想結果作合理推測：數學中x趨近-1的定義是「x可以無限的靠近-1」，即「x與-1距離可以任意的小」，所以當x比試算更接近-1時，這個函數所產出的應變數y，一定會越來越接近0。若要用數學語言表示上述的猜想結果，可以簡單地，將「趨近」改成「箭頭」寫為：

　　中文讀作：「當x趨近於-1時，函數值會趨近0。」，其實本文請讀者做出的猜測和實驗，就是在求x趨近於-1時的函數極限，所以上述猜想也可寫為：

　　中文讀作：「當x趨近於-1時，函數的極限值是0」

　　當x趨近於某數a時，靠近a的x帶入函數，函數y值也隨之趨近某數L，我們通常不用兩次趨近表達以上情況，而是改說：「當x趨近於a時，函數的極限值是Ｌ」，所以上述兩種標示法擇其一，通常選擇下者。可以充分表達當x趨近a時，即x可以與a任意接近，函數會趨近於某定值L，即函數的極限是L。

　　以下，本文正式提出求函數極限的定義與求法：

極限的定義與求法（非正式）：將靠近a的x帶入函數，發現當x愈趨近於a時，函數f(x)越來越靠近某個數Ｌ，我們就稱：當x趨近於a時，函數極限值是Ｌ

　　如果讀者想要幾何與代數的雙重應證，我們不妨將這個二次函數畫出來。讀者可以採用國中數學中的描點法，或用電腦軟體畫出精準圖形。

　　參考畫法與複習觀念：在直角坐標平面上的一個點，需要用一x坐標與y座標來描述，即寫成(x, y)。回到函數定義：函數利用法則將x對應到一個y，且這種關係是唯一的。換句話說，絕對不會出現x=0時，y等於3或4。因此先找出幾個點，當x座標等於-1, -2,-3, 0, 1...時，分別帶入函數，得到數個唯一的y值（y座標），將點描繪於直角坐標上，再用平滑的曲線連接起來。因為二次函數是曲線而非直線。

　　從函數圖形中不難看出，當我們把視線集中到x軸（橫軸）上的座標-1時，y軸（縱軸）的座標確實越來越靠近0了。

　　上文透過代數和觀察圖形來猜測極限十分有理，但仍不夠嚴謹，我們將-1的接近值帶入函數，所得結果離極限值0，仍差了0.01、0.0001，因此本文仍無法保證函數的極限值等於0，前文強調過：數學說當x趨近a，f(x)趨近於L，即函數的極限值是L，是指x與a、f(x)與L都能「任意的靠近」，換句話說，唯有驗證：當x與a的距離任意小、f(x)與Ｌ的距離確實也可以小於任意一個正數，才有資格確認真正的「函數極限值」，不能只拿幾個附近數來表示趨近的極限，而是將f(x)與L之間的距離壓縮至0.01、0.001，(10^-500)，至任意正數。

　　由於嚴格定義極限牽涉到更複雜的數學證明，將在未來的科普專題中繼續連載。

註1：若只有單一句話x趨近於a，確實x永遠不會等於a。求函數極限值，有可能當x趨近於a時，f(x)的極限值=L，即有可能在x靠近於a的時候，函數值f(x)和趨近數Ｌ兩者相等，這是因為即使x不等於a，也可能產生f(x)=f(a)=L的情況，最簡單的例子是常數函數f(x)=L，x趨近於a，便可以讓函數值f(x)=L=f(a)，但為了不要讓初學者還要多區分x和函數趨近的特性，本文不強調此觀念。

文章難度：易

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