從生活認識微積分（十二）函數微分的幾何意義(1)

　　至今為止，本文都使用代數的方式來討論微分，並以生活、科學中的瞬間變化率，如：速度等，對微分的定義做出詮釋。這一系列主題文章「函數微分的幾何意義」將分多集探討，用幾何角度來了解函數微分。本文章第一集將先引入代數和幾何的觀念；在概略介紹函數的圖形定義。

　　微分的定義具有豐富的幾何意義，這可以從「代數」和「幾何」的緊密關係開始談起。代數與幾何，雖然有時對問題敘述不同，實際上本質相同，可以互相轉換。例如：許多現代數學家研究古希臘的三大幾何難題，如：三等分角問題時，就將幾何轉換成了代數問題。這個例子可能離讀者有些距離，實際上從國中數學引入直角坐標系來描述實數平面開始，就可以看到代數和幾何問題的緊密結合。 　　例如「ax+by+c=0」（a, b, c, x, y都是實數），是一個二元一次方程式。二元一次的意思是有兩個未知數，且未知數的最高次方為一次。二元一次方程如果撇開圖形來看，我們不難觀察到，有無限多個數對(x, y)都可以滿足ax+by+c=0，無限多個數對(x, y)在直角坐標上變成無限多個點，而這無限多個點連起來會形成一條直線。而形如x^2+y^2=r^2(r0)（x, y, r是實數）的方程式，畫在座標平面上，則會形成半徑為r的圓形。代數方程式，對應到平面圖形的例子數不勝數，讀者可見文章附上國高中內容中，常見的二次曲線、直線圖形的方程式與圖形實例

　　代數和幾何問題像是透過兩個角度來觀察同一樣物體或人，雖然會因爲角度不同，而看到不同的面貌，形狀不盡相同。因為背後的本質都是數學，所以時常切換兩個角度，對能對數學有更深了解，這就如同蘇東坡詩中所寫的「橫看成嶺側成峰， 遠近高低各不同。」 雖然都是同一座山，但從不同角度卻會看到不同的景象。

實例1：二元一次方程式的圖形 方程式：

圖形：直線

實例2：二元二次方程式的圓形 方程式：

圖形：圓形

實例3：二元二次方程式的圖形 方程式：

圖形：橢圓

實例4：二元二次方程式的圖形 方程式：

圖形：雙曲線

　　要將任一個函數f(x)轉換成平面圖形並不困難。從數學定義上來看，直角座標平面上有x, y軸即原點o，軸可以無限延伸。而(x, y)就是直角座標上的一點，要將函數圖形畫出來，可將函數圖形拆成一個個點相接結合而成，就如日常生活中繪圖一樣。

　　當x為屬於f函數的定義域Ｄ，可帶入函數f，得到一個值f(x)，通常數學家將f(x)當作y值，故寫作y=f(x)。若將定義域中的數，和其分別對應的f(x)，都找出來，會形成數對（x, y）的集合，可表示如下：

　　想像將這集合中的數對一一描點對應到座標平面上，此時就形成了函數圖形。實務上，電腦和手繪當然不可能找出全部函數的點，逐一點到紙上，在手繪時會先了解該函數的特性和特徵，找出重要的點在用平滑曲線連接即可，而畫的範圍也是有限的，可能只畫接近原點幾個單位處的圖形，電腦同樣也會用估算的方式繪圖，只是因為運算速度快，所畫出的圖形可以十分精準。