難題｜求２６！（解答篇）

回顧題目：２６！＝Ａ０３２９１４６Ｂ１２６６０５６ＣＤ５８４００００００，

試求Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ之值各為何？

這題真的很複雜，需要把因倍數觀念運用到極致，並且分門別類來討論不同情況。

解析：

１００１的倍數

因為１００１＝７×１１×１３，而１００１的倍數必具備以下性質：

一個大數字中，每三位數為「一小節」，奇數節總和與偶數節總和相差若為１００１的倍數，則此數為１００１的倍數。
例如Ｘ＝「９８７９８７」（９８７－９８７＝０），則Ｘ為１００１的倍數
例如Ｙ＝「８７８１２３２４６」（８７８＋２４６－１２３＝１００１），則Ｙ亦為１００１的倍數

而２６！必定同時含有７、１１、１３的因數，故２６！必為１００１的倍數。

計算過程

• 奇數節：Ａ０３＋４６Ｂ＋６０５＋５８４＝１００Ａ＋３＋４６０＋Ｂ＋１１８９
  ＝１００Ａ＋Ｂ＋１６５２
• 偶數節：２９１＋１２６＋６ＣＤ＝４１７＋６００＋１０Ｃ＋Ｄ
  ＝１０Ｃ＋Ｄ＋１０１７
• 奇數節－偶數節＝上述兩式相減＝１００Ａ＋Ｂ－１０Ｃ－Ｄ＋６３５

相減過後的值必須被１００１整除，且Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ均為正１位數或０。

→１００Ａ＋Ｂ－１０Ｃ－Ｄ＋６３５＝１００１（２００２以上就太大了）

→１００Ａ＋Ｂ－１０Ｃ－Ｄ＝３６６，由此可知，Ａ必為４。

→４００＋Ｂ－１０Ｃ－Ｄ＝３６６

→Ｂ－１０Ｃ－Ｄ＝－３４

→１０Ｃ＋Ｄ－Ｂ＝３４。得兩種可能：

• Ｃ＝４，Ｄ－Ｂ＝－６...(1)
• Ｃ＝３，Ｄ－Ｂ＝４...(2)

很明顯，條件還不足以解出Ｂ、Ｃ、Ｄ，我們還需要其他條件🧠

１１的倍數

這個在國一上２－１《質因數分解》有教過。

一個數字中，奇數位總和與偶數位總和相差若為１１的倍數，則此數為１１的倍數。

至於這些判斷方式怎麼來的呢...以後有緣再說吧​

一樣，２６！必然是１１的倍數。

• 奇數位：Ａ＋３＋９＋４＋Ｂ＋２＋６＋５＋Ｃ＋５＋４＝Ｂ＋Ｃ＋４２(已知Ａ＝４)
• 偶數位：０＋２＋１＋６＋１＋６＋０＋６＋Ｄ＋８＝Ｄ＋３０
• 奇數位－偶數位＝Ｂ＋Ｃ－Ｄ＋１２

相減過後的值必須被１１整除，且Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ均為正１位數或０。

→Ｂ＋Ｃ－Ｄ＋１２必為１１或２２，至此再得到兩種可能

• Ｂ＋Ｃ－Ｄ＋１２＝１１→Ｂ＋Ｃ－Ｄ＝－１...(3)
• Ｂ＋Ｃ－Ｄ＋１２＝２２→Ｂ＋Ｃ－Ｄ＝１０...(4)

好像，有一個念頭，只要把前四種可能排列組合一下，答案就會出來了吧？

實際上，是不行的🥲

如果用解聯立方程式（國一下Ｃｈ１）來求解的話，我們會算出
(1)(3)無解、(2)(4)無解

但(1)(4)無限多解、(2)(3)也是無限多解

因此我們只能暫時將(1)和(4)結合在一起；同時(2)和(3)也可以結合在一起

然後，繼續找其他線索😁

９的倍數

同樣是國一上２－１《質因數分解》有教過，但和前面的稍有不同。

一個數字的所有位數總和若為９的倍數，則此數為９的倍數。
（３的倍數也有同樣的性質）

• 所有位數總和＝Ａ＋３＋２＋...(總之每一位都加起來)＝Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＋７２

加總過後的值必須被９整除，恰好７２也是９的倍數，所以有以下三種可能：

• Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＝９...(5)
• Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＝１８...(6)
• Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＝２７...(X)（打X的原因是此時Ｂ＝Ｃ＝Ｄ＝９，代回前式均不合）

整理條件與思緒

再一次把條件都列舉清楚

• Ｃ＝４，Ｄ－Ｂ＝－６...(1) ＆ Ｂ＋Ｃ－Ｄ＝１０...(4)
• Ｃ＝３，Ｄ－Ｂ＝４...(2) ＆ Ｂ＋Ｃ－Ｄ＝－１...(3)
• Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＝９...(5) & Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＝１８...(6)

接下來就是代數字，把(1)和(2)的條件依序代到(5)和(6)檢查

其中會有唯一一組符合的式子，就是(2)代入(5)

會得到Ｂ＝１，Ｄ＝５（其他代入，要嘛出現小數點，不然就是有未知數變成二位數）

總結：Ａ＝４，Ｂ＝１，Ｃ＝３，Ｄ＝５

所以26!＝403291461126605635584000000

附上ChatGPT的驗算結果：

總結跟一些心裡話

感謝您看到這邊，或是直接跳過上述過程也無所謂，這題真的很難，當初本咚苦思許久，加上多次驗算最終才確認結果，發布前也有重新檢查，假如還是有不對的地方懇請提醒指正。

再來，一定會有人說，算這個幹嘛，或是學這個幹嘛。

一直以來，數學無端承受這些莫須有的壓力🥺

不是啊，每一科或每件事還不都一樣，學了不用的話，當然不能幹嘛😰

但本咚想說的是，學習的最深刻意義就是學習本身，要練習「運用所學來解決當前問題」，每個科目或每個學問都一樣，先給學生一些基本知識和一點點框架，接下來透過一連串延伸擴張變化，把知識點和觀念蔓延到框架外，讓學生嘗試跟上老師、題目的思維邏輯。

重點不是「能拿來幹嘛」，而是你能不能夠善用題目條件，活用自身知識，進而求出正確答案。

當然，也不是強迫大家要學數學，有些數學真的很難，而且經常卡在「時間不夠教的又多」。

但這和「學這個幹嘛」的消極心態相去甚遠。

純粹有感而發：）
還是很感謝願意看到最底下這段文字的朋友們❤️