普通人學數學：從「用不到」到「不可或缺」

目錄

1. 打破迷思：普通人真的用不到數學嗎？
2. 數學的三個層次：生存、思考、創造
3. 普通人可以做出的貢獻
4. 需要學到什麼程度？
5. 實用建議：如何有效學習數學

一、打破最大的迷思 💭

迷思：「我又不當數學家，學那些有什麼用？」

這個想法有個致命盲點：把「做數學研究」和「用數學思維」混為一談了。

真相是這樣的：

重點：你不需要發明新定理，但你需要數學思維。

二、普通人「每天」都在用數學（但你沒意識到）📱

場景 1：你在網購比價

• 比較價格（大小關係）
• 計算折扣（百分比）
• 評估 CP 值（比例、效益分析）
• 看評價分數（統計學、加權平均）

數學思維的人 vs 不用數學思維的人：

❌ 不用數學思維： 「哇！8折！好便宜！」（原價 500 打 8 折 = 400）

✅ 用數學思維： 「原價 500 打 8 折 = 400，但另一家原價 420 打 9 折 = 378，還免運費。算上時間成本，如果運費差 30 元，但省 1 小時路程，以我時薪計算...」

一年下來可能差幾萬塊。

場景 2：投資理財

數學能力差異造成的結果：

❌ 不懂複利的人：

• 看到「保證年報酬 10%」就投資
• 不知道通膨 3% 要扣掉
• 不理解風險和報酬的關係
• 20 年後：可能被騙光積蓄

✅ 懂基礎數學的人：

• 理解複利公式：A = P(1+r)^n
• 知道 72 法則（72÷報酬率 = 本金翻倍年數）
• 會計算實質報酬率
• 理解標準差（風險）
• 20 年後：可能財富自由

案例：

• 30 歲開始每月存 1 萬
• 年報酬 7%（合理的指數型基金報酬）
• 30 年後（60 歲）= 1,220 萬
• 如果不懂複利，只存銀行 0.5% = 380 萬

差距：840 萬！

場景 3：健康管理

數學思維的威力：

❌ 不用數學： 「我每天跑步 30 分鐘，為什麼還是瘦不下來？」

✅ 用數學：

• 計算基礎代謝率（BMR）
• 跑步 30 分消耗約 300 大卡
• 一杯珍奶 700 大卡
• 要減 1 公斤脂肪 = 需要消耗 7700 大卡
• 結論：光靠跑步不控制飲食，要 26 天才能瘦 1 公斤

理解數字後，你會做出更好的決策。

場景 4：時間管理

機會成本的數學思維：

假設你時薪值 300 元（月薪 5 萬，工作 160 小時）

決策 1：要不要自己修電腦？

• 自己修：花 3 小時，省 1000 元
• 實際成本：3 小時 × 300 = 900 元（你的時間）
• 淨收益：1000 - 900 = 100 元
• 結論：可以考慮，但如果你能用這 3 小時賺超過 1000 元，就不該自己修

決策 2：要不要搭高鐵還是客運？

• 高鐵：1400 元，1.5 小時
• 客運：500 元，4 小時
• 時間價值：2.5 小時 × 300 = 750 元
• 真實差價：(1400 - 500) - 750 = 150 元
• 結論：高鐵實際上只貴 150 元

懂數學的人，每個決策都更精準。

場景 5：識別詐騙和假新聞

統計學直覺的重要性：

❌ 容易被騙的思維： 「這個投資計劃月報酬 10%，一年就是 120%！」

✅ 數學思維立刻發現問題： 「等等，月報酬 10% 是複利還是單利？」

• 如果是複利：(1.1)^12 = 3.14倍，年報酬 214%
• 這根本不可能！龐氏騙局！

另一個案例： 新聞：「研究顯示吃 X 會增加 50% 罹癌率！」

❌ 恐慌的人：「天啊太可怕了！」

✅ 懂統計的人：

• 原本罹患率是多少？如果是 0.01%，增加 50% = 0.015%
• 樣本數多少？100 人還是 10 萬人？
• 相對風險 vs 絕對風險？
• 結論：可能是媒體誇大

場景 6：談判和溝通

數學思維幫助你更有說服力：

不好的談判： 「老闆，我覺得我應該加薪，因為我很努力。」

好的談判（用數據）： 「老闆，根據我的績效數據：

• 我去年完成的專案數是部門平均的 1.5 倍
• 我帶來的營收增長了 20%（具體數字：從 500 萬到 600 萬）
• 同業相同職位的薪資水平是 X（附上薪資調查報告）
• 考慮通膨 3% 和我的貢獻，建議調薪 15%」

哪個更有機會成功？

三、普通人可以做出的「數學貢獻」🌟

你不需要發明新定理，但你可以：

1. 在你的領域應用數學工具

案例：餐廳老闆學會數據分析

• 用 Excel 分析每日銷售數據
• 發現週二晚上客人最少
• 推出「週二半價」活動
• 營收增加 30%

這不是數學研究，但這是數學的力量。

2. 培養下一代的數學興趣

你不需要成為數學家，但你可以：

• 不要對孩子說「數學沒用」
• 用生活例子解釋數學
• 帶孩子玩數學遊戲
• 支持數學教育

可能你的孩子就是下一個圖靈。

3. 在工作中優化流程

案例：物流司機用數學優化路線

• 學會簡單的圖論概念
• 用 Google Maps API 規劃路線
• 每天節省 1 小時
• 一年節省 365 小時 = 15 天

這就是對社會的貢獻。

4. 做出更好的公民決策

投票時的數學思維：

• 理解統計數據和民調
• 識別政客的數字謊言
• 評估政策的成本效益
• 理解預算分配

懂數學的選民群體 = 更好的民主。

5. 教育和科普

你可以：

• 寫部落格分享數學如何幫助你
• 製作 YouTube 影片
• 在 Reddit/PTT 回答數學問題
• 翻譯優質數學內容

3Blue1Brown 創辦人不是數學教授，但他的影片啟發了百萬人。

6. 開源貢獻和工具開發

程式設計師的數學貢獻：

• 開發數學視覺化工具
• 貢獻 NumPy、SciPy 等開源專案
• 製作線上計算器
• 建立數學學習網站

Khan Academy 創辦人 Salman Khan 原本是避險基金分析師。

7. 跨領域創新

數學 × 其他領域 = 創新

真實案例：

• 醫生 + 統計學 = 循證醫學革命
• 廚師 + 化學 = 分子料理
• 藝術家 + 幾何學 = 艾雪的畫作
• 音樂家 + 數學 = 演算法作曲

你不需要是數學家，你需要的是數學思維。

四、需要學到什麼程度才能「有用」？🎯

不同程度的數學，不同的價值

Level 1：基礎算術和百分比（小學數學）

能解決的問題：

• ✅ 日常購物、比價
• ✅ 基本理財規劃
• ✅ 看懂新聞數據
• ✅ 計算折扣、稅金

對應職業價值： 所有職業都需要，這是基本生活技能

**學習時間：**如果從零開始，認真學 1-2 個月

推薦：每個人都必須達到這個程度

Level 2：代數和基礎函數（國中數學）

能解決的問題：

• ✅ 理解變數和關係
• ✅ 解決「如果...那麼...」的問題
• ✅ 理解比例關係
• ✅ 基本的邏輯推理

對應職業價值：

• 工程師、技術人員
• 數據分析入門
• 程式設計基礎

**學習時間：**3-6 個月

推薦：所有想從事技術工作的人

Level 3：統計學和機率（高中數學）

能解決的問題：

• ✅ 理解風險和不確定性
• ✅ 評估投資報酬
• ✅ 分析數據趨勢
• ✅ 識別統計謊言

對應職業價值：

• 商業分析師
• 行銷人員
• 金融從業者
• 資料科學入門

**學習時間：**6-12 個月（含實作）

推薦：任何需要做決策的職業

Level 4：微積分和線性代數（大學數學）

能解決的問題：

• ✅ 優化問題（最大/最小）
• ✅ 理解變化率
• ✅ 機器學習的數學基礎
• ✅ 物理和工程計算

對應職業價值：

• 軟體工程師（AI/ML 方向）
• 資料科學家
• 量化交易員
• 工程師

**學習時間：**1-2 年（大學課程）

推薦：STEM 領域從業者

Level 5：進階數學（研究所數學）

能解決的問題：

• ✅ 深度學習研究
• ✅ 密碼學
• ✅ 金融工程
• ✅ 理論研究

對應職業價值：

• 研究科學家
• AI 研究員
• 量化研究員
• 大學教授

**學習時間：**4-7 年（含博士）

推薦：想做研究的人

Level 6：創造新數學（數學家）

能解決的問題：

• ✅ 解決未解決的數學問題
• ✅ 創造新的數學工具
• ✅ 推進人類知識邊界

對應職業價值：

• 數學家
• 理論物理學家

**學習時間：**10+ 年

推薦：對數學有極大熱情的人

五、現實建議：如何有效學習數學？📚

1. 找到「Why」比「How」更重要

錯誤的學習動機： ❌ 「因為要考試」 ❌ 「大家都說要學」 ❌ 「怕以後用到」

正確的學習動機： ✅ 「我想學 AI，需要線性代數」 ✅ 「我想做更好的投資決策，需要統計學」 ✅ 「我想理解這個世界如何運作」

有明確目標，學習效率會提高 5 倍。

2. 從應用開始，而非理論

傳統方式（容易放棄）：

1. 學一堆定義和定理
2. 做練習題
3. 不知道有什麼用
4. 放棄

建議方式（容易堅持）：

1. 先看一個實際問題（例如：如何預測股價？）
2. 發現需要某個數學工具（例如：迴歸分析）
3. 學習那個工具
4. 立刻應用
5. 獲得成就感，繼續學習

案例：想學機器學習

1. 別從「線性代數教科書」開始
2. 從 Kaggle 競賽開始
3. 遇到不懂的數學再去查
4. 這樣學習動機會強 10 倍

3. 使用視覺化工具

好用的資源：

• 3Blue1Brown（YouTube）- 最棒的數學視覺化
• Khan Academy - 互動式學習
• GeoGebra - 幾何和函數視覺化
• Desmos - 線上繪圖計算機
• Brilliant.org - 互動式數學課程

為什麼視覺化重要？ 人腦處理圖像的速度比文字快 60,000 倍。

4. 刻意練習，不是盲目刷題

無效的練習： ❌ 做 100 題類似的題目 ❌ 只做會的題目 ❌ 不理解就硬背

有效的練習： ✅ 做各種不同類型的題目 ✅ 專注在「剛好超出能力範圍」的題目 ✅ 每次都要理解「為什麼」 ✅ 定期回顧

刻意練習的關鍵：不舒服才是在成長。

5. 教別人是最好的學習

費曼學習法：

1. 選一個概念
2. 試著用自己的話解釋給別人（或假想對象）
3. 卡住的地方就是你不懂的地方
4. 回去重新學習
5. 重複直到能簡單解釋

實作方式：

• 開一個學習部落格
• 跟朋友或家人解釋
• 在論壇回答問題
• 教孩子/學弟妹

你會發現：教學相長是真的。

6. 建立學習社群

孤軍奮戰很難堅持，找到同伴：

• 加入線上學習群組
• 參加 Meetup 活動
• 找學習夥伴
• 在 Discord/Slack 加入數學頻道

推薦社群：

• Reddit: r/learnmath
• Stack Exchange: Mathematics
• Discord: Math Help 伺服器

有人一起學習，堅持機率提高 3 倍。

7. 接受「暫時的混亂」

學習數學的必經階段：

理解程度
    ↑
100%|         ___________  ← 突破！
    |        /
 50%|   ____/
    |  /    ← 混亂期（覺得更不懂了）
  0%|_/____________________→ 時間
      剛開始

混亂期的特徵：

• 「我怎麼越學越不懂？」
• 「這也太複雜了吧？」
• 「我是不是不適合學數學？」

真相：這是正常的！ 你不是變笨，你是開始看到更大的圖景。

建議：

• 承認混亂是進步的標誌
• 不要在混亂期放棄
• 繼續推進，突破點會到來

8. 定期應用到實際生活

學習循環：

1. 學一個概念
2. 在生活中找應用場景
3. 實際使用
4. 發現新問題
5. 學新概念

例子：學了統計學之後

• 分析自己的支出習慣
• 評估新聞可信度
• 優化工作流程
• 分析健身數據

不應用 = 忘記得快。

9. 不要妄自菲薄

常見的自我設限： ❌ 「我數學不好」 ❌ 「我沒有數學天份」 ❌ 「我腦袋不適合邏輯思考」

真相：

• 數學能力不是天生的，是可以訓練的
• 大腦的可塑性很強，任何年紀都能學
• 「天才」只佔很小比例，多數數學家是努力的結果

史丹佛教授 Jo Boaler 的研究：

• 相信「數學能力可以成長」的學生，成績平均高 30%
• Mindset 比 IQ 更重要

你的思維決定你的上限。

10. 善用 AI 工具輔助學習

2024-2025 年的優勢：

AI 可以幫你：

• ChatGPT / Claude：解釋概念、檢查答案
• Wolfram Alpha：解複雜方程、繪圖
• Photomath：拍照解題並顯示步驟

正確使用 AI 的方式： ✅ 先自己嘗試解題 ✅ 卡住時問 AI「這個概念怎麼理解」 ✅ 要求 AI 用不同方式解釋 ✅ 讓 AI 出題給你練習

錯誤使用方式： ❌ 直接問 AI 答案，不思考 ❌ 照抄 AI 的解答 ❌ 不驗證 AI 的答案（AI 會出錯）

AI 是助手，不是替代品。

六、給不同年齡層的建議 👥

學生（國高中/大學）

你的優勢：

• 時間充裕
• 大腦可塑性強
• 有系統性課程

建議：

1. 不要只為考試學習
2. • 每學一個概念，問「這能用在哪裡」
2. 多做專案
3. • 用數學做個人專案（分析遊戲數據、預測電影票房）
3. 參加競賽
4. • AMC、AIME（美國數學競賽）
   • Kaggle（資料科學競賽）
   • 不是為了得獎，是為了學習
4. 探索不同領域
5. • 現在是試錯的最好時機

上班族（25-40 歲）

你的挑戰：

• 時間有限
• 可能已經離開學校多年

你的優勢：

• 有明確的應用場景
• 學習動機強

建議：

1. 功利主義學習
2. • 學對工作有直接幫助的數學
   • 例如：行銷人員學統計學、工程師學微積分
2. 利用零碎時間
3. • 通勤時聽 Podcast（Numberphile）
   • 午休看 3Blue1Brown 影片
3. 立即應用
4. • 每學一個工具，當週就用在工作上
   • 跟老闆提「數據驅動決策」
4. 投資線上課程
5. • Coursera、Udemy、Hahow
   • 花錢會讓你更認真學（沉沒成本效應）

中年轉職者（40-55 歲）

你的挑戰：

• 學習速度可能變慢
• 跟年輕人競爭

你的優勢：

• 豐富的人生經驗
• 知道什麼是真正重要的
• 更強的自律和毅力

建議：

1. 結合既有經驗
2. • 不要從零開始，把數學當作「升級工具」
   • 例如：資深業務學數據分析
2. 找到利基市場
3. • 「數學 + 你的專業」可能是稀缺組合
   • 例如：醫療 + 數據分析
3. 不要跟年輕人比速度，比深度
4. • 你的理解會更深刻
   • 你知道如何應用
4. 導師制
5. • 找比你年輕但數學好的導師
   • 你用經驗換他們的知識

退休人士（55+ 歲）

你的優勢：

• 時間自由
• 沒有升遷壓力
• 純粹為興趣學習

建議：

1. 學習的是樂趣，不是壓力
2. • 挑喜歡的主題（數學謎題、邏輯遊戲）
2. 預防認知退化
3. • 研究顯示：學習數學能延緩大腦老化
3. 社交學習
4. • 參加老年大學
   • 組讀書會
4. 傳承
5. • 教孫子女數學
   • 當志工導師

七、最常見的問題 Q&A ❓

Q1: 我數學一直不好，現在學還來得及嗎？

A: 來得及！

研究證據：

• 大腦可塑性持續終生
• 努力比天賦重要
• 25 歲開始學線性代數的程式設計師，30 歲可以成為 AI 工程師

真實案例：

• 吳恩達（Andrew Ng）大學主修經濟學，後來才轉 AI
• 很多成功的資料科學家都是轉職的

關鍵：方法對，並且堅持。

Q2: 我需要很聰明才能學好數學嗎？

A: 不需要。

數學能力 = 努力 × 方法 × 時間

智商只影響「學習速度」，不影響「學習上限」。

比喻：

• 天才像是開車上山，速度快
• 普通人像是走路上山，速度慢
• 但最終都能到達山頂

而且：

• 慢學習通常理解更深刻
• 教學能力可能反而更好（因為你知道哪裡會卡住）

Q3: 學數學一定要刷題嗎？

A: 要練習，但不是「盲目刷題」。

有效的練習：

• 各種類型都做
• 專注在不會的
• 每題都要理解

無效的練習：

• 同樣的題目做 50 遍
• 只做簡單的
• 背答案

Q4: 我工作根本用不到數學，還需要學嗎？

A: 你用到的比你想的多。

直接用到數學公式的工作： 工程師、資料分析師、金融業...

用到數學思維的工作： 幾乎所有工作！

• 企劃：評估成本效益
• 業務：分析客戶數據
• 主管：資源分配優化
• 創業：商業模式計算

數學思維 ≠ 算數學題

Q5: AI 時代還需要學數學嗎？AI 都會算了。

A: 更需要！

原因 1：你需要知道問 AI 什麼

• 不懂數學，你不知道能問什麼問題
• AI 是工具，不是魔法

原因 2：你需要驗證 AI 的答案

• AI 會出錯
• 你需要有能力判斷對錯

原因 3：數學思維是不可取代的

• AI 擅長計算，不擅長判斷
• 「要不要做這個分析」需要人類判斷

比喻：

• 計算機出現後，基礎算術還是要學
• AI 出現後，數學思維還是要學

Q6: 我要學到什麼程度才夠？

A: 取決於你的目標。

快速自我評估：

如果你想...

• 日常生活不被騙 → 國中數學 + 基礎統計
• 轉職資料分析 → 統計學 + Python
• 做 AI 工程師 → 線性代數 + 微積分 + 機率論
• 當數學家 → 研究所數學

現實建議： 不要一開始就想學完所有數學，根據需求逐步學習。

Q7: 線上課程 vs 實體課程，哪個好？

A: 各有優缺點。

線上課程： ✅ 便宜/免費 ✅ 時間彈性 ✅ 可以重複看 ❌ 缺乏互動 ❌ 需要自律

實體課程： ✅ 有老師即時解答 ✅ 有同學互動 ✅ 強制進度 ❌ 貴 ❌ 時間地點固定

建議：

• 初學者：實體課程（需要引導）
• 有基礎者：線上課程（更有效率）
• 最理想：線上課程 + 實體讀書會

Q8: 我已經 40 歲了，學數學會不會太晚？

A: 一點都不晚。

事實：

• 大腦在任何年紀都能學習
• 40 歲的優勢：更清楚自己要什麼

真實案例：

• 很多人 35-45 歲轉職資料科學
• 有人 50 歲學程式設計，55 歲成為工程師

關鍵不是年齡，是動機和方法。

Q9: 我需要天天學嗎？會不會太累？

A: 不需要天天學，但要「規律」學。

研究顯示：

• 每週 3 次，每次 1 小時 > 週末一次 6 小時
• 大腦需要時間鞏固記憶

建議時間安排：

• 初學者：每週 3-4 次，每次 30-60 分鐘
• 進階者：每週 2-3 次，每次 1-2 小時
• 重點：規律 > 密集

Q10: 我學了就忘，怎麼辦？

A: 這是正常的！艾賓豪斯遺忘曲線。

解決方法：

1. 間隔重複
2. • 第 1 天學
   • 第 3 天複習
   • 第 7 天複習
   • 第 30 天複習
2. 立即應用
3. • 學完馬上用
   • 不用就會忘
3. 教別人
4. • 教學是最好的複習
4. 做筆記
5. • 用自己的話整理
   • 不是抄書

工具推薦：

• Anki（間隔重複記憶卡）
• Notion（整理筆記）

八、結論：數學是一輩子的技能投資 💎

核心觀點總結：

1. 普通人不需要發明數學，但需要用數學
2. • 數學思維是可訓練的超能力
   • 它影響你的每個決策
2. 數學的價值是複利的
3. • 今天學的，十年後還在用
   • 投資數學能力，回報率極高
3. 永遠不嫌晚
4. • 任何年紀都能學
   • 關鍵是方法和堅持
4. 不要追求完美
5. • 學 50% 的數學，能解決 80% 的問題
   • 根據需求學習，不要貪多
5. 應用 > 理論
6. • 先解決實際問題
   • 再補理論知識
6. 找到學習社群
7. • 有同伴更容易堅持
   • 教學相長
7. 善用 AI 工具
8. • AI 是助手，不是替代品
   • 加速學習，不是取代思考

給你的行動建議 🎯

今天就開始的三件事：

1. 找一個實際問題
2. • 你工作上的挑戰
   • 你生活中的困惑
   • 你好奇的現象
2. 找一門適合的課程
3. • Khan Academy（免費，適合打基礎）
   • Coursera（系統化課程）
   • YouTube（3Blue1Brown）
3. 找一個學習夥伴
4. • 朋友、同事
   • 線上社群
   • 或只是跟 AI 討論

最後的鼓勵 💪

你不需要成為歐拉或高斯。

但你可以：

• 做出更好的決策
• 不被數字欺騙
• 在工作中更有競爭力
• 理解這個世界的運作
• 培養下一代的數學興趣

這些，都是對世界的貢獻。

這些，都讓世界變得更好一點點。

數學不是少數天才的專利， 數學是每個人都能掌握的工具。

現在，開始你的數學之旅吧！ 🚀

推薦資源清單 📚

免費學習平台

• Khan Academy - https://www.khanacademy.org/
• 3Blue1Brown - https://www.youtube.com/c/3blue1brown
• MIT OpenCourseWare - https://ocw.mit.edu/
• Coursera（部分課程免費旁聽）

付費但值得

• Brilliant.org - 互動式學習
• Udemy（常有特價）
• Hahow（中文課程）

書籍推薦

• 《統計，讓數字說話》- 入門統計學
• 《如何說謊與統計數字》- 批判性思考
• 《數學女孩》系列 - 有趣的數學小說

工具

• Desmos - 線上繪圖計算機
• Wolfram Alpha - 數學計算引擎
• GeoGebra - 幾何工具
• Anki - 記憶卡片

社群

• Reddit: r/learnmath
• Stack Exchange: Mathematics
• 台灣數學社群（Facebook、Discord）

最後更新：2025年10月22日

祝你學習愉快！記住：數學是工具，不是障礙。 🎉