2023-11-08|閱讀時間 ‧ 約 13 分鐘

尋犀記 (1)

    一、畢氏定理

    近代考古發現的幾塊巴比倫泥板證實了:早在Pythagoras 的一千多年以前,巴比倫人就已經知道現在的「畢氏定理」;所以,我們所稱的「畢氏定理」、應該是Pythagoras 在那裡學習到的知識,不過,他可能是第一個證明它的人。

    Plimpton 322 是一塊以楔形文字書寫的巴比倫泥板,根據考古研究,約寫成於公元前1800 年左右。

    1922 年,紐約出版商George Arthur Plimpton 從考古探險家、兼販售商Edgar J. Banks 的手中購得了這塊泥板,並於1936 年,將它和其他的收藏品、作為遺贈、一併捐贈給哥倫比亞大學。據Banks 稱,該塊泥板得自於Senkereh,該處、位於伊拉克南部,是Larsa 古城的舊址。

    泥板中、列出了十五列的數字,以當時的六十進位來表示,最右一欄寫的是每個列的序號,而倒數第三、二欄,則標註了「寬邊」、和「斜邊」。

    這麼大量的數字是無法用試算拼湊出來的,學者指出:倒數第三、二欄的用意,應該在列出 a² + b² = c² 的整數解;其中,a 代表「寬邊」、c 代表「斜邊」的長度。

    IM 67118 則是另一塊以楔形文字書寫的巴比倫泥板,約寫成於公元前1770 年左右。

    1962 年,伊拉克考古學家Taha Baqir 所率領的團隊公佈了在Baghdad 近郊、也就是巴比倫古城Tell edh-Dhiba'i 的舊址處、出土的IM 67118。

    泥板中、提出了一個問題:矩形的面積:A = 0.75,對角線:c = 1.25,問,長方形的邊長 a 和 b 分別是多少?

    裡面的解答表明,作者運用了 c² - 2A = c² − 2ab = (b − a)² 的性質。

    這個性質,並不是單憑二項式平方的算數運算、經由拆解重組、隨機拼湊出來的結果,而應代表,作者已經知道了類似《周髀算經》中勾股定理的輔助線,此即:將大正方形裡面斜嵌的中正方形,畫四條垂直的輔助線,而由四條輔助線構成的、最中間的小正方形、稱為「中黃實」、則等於 (b − a)²。

    趙爽在《周髀算經註》中言:「按弦圖,又可以勾股相乘為朱實二,倍之,為朱實四,以勾股之差自相乘為中黃實,加差實,亦成弦實。」亦同此意。

    儘管如此,但巴比倫人終究沒有運用到「純」幾何的方法,也就是完全沒有算數的方法,來證明「畢氏定理」。

    Pythagoras 是否真的以「純」幾何的方法證明了它,已經不可考,根據記載,Pythagoras 曾經因為這個定理舉行了「百牛大祭」,所以,有理由相信,「畢氏定理」的「純」幾何證明、是為Pythagoras 證出,不然,這麼隆重的祭祀,又是所為為何呢?

    所謂「百牛大祭」(ἑκατόμβη;hekatómbē),指的是向希臘諸神獻祭一百頭牛 (hekaton,一百;bous,公牛) 的儀式。雖然說、數目是一百,但在實際的操作上,可以以殺死十二隻牛來象徵其數。

    Pythagoras (c. 570 ~ c. 495 BC) 約在公元前540~535 年間,也就是Polycrates 成為Samos 僭主的統治前後,離開Samos。

    後來,Pythagoras 遊歷到埃及、約有十年之久。

    波斯王Cambyses II 在公元前525 年入侵埃及,滅掉了當時的埃及政權,在浩浩蕩蕩的波斯艦隊中,還包括了Samos 的僭主Polycrates 背棄他的盟友、所派遣的四十艘戰船、加入其中。

    Pythagoras 也因此被俘、而被送往Babylon;在那裡,他學習到當地的音樂、數學等知識。

    約在公元前520 年,Pythagoras 得以離開Babylon、並返回Samos 島。

    Polycrates 於公元前522 年被刺殺身亡,Cambyses II 則於公元前522 年夏天、意外死亡,這些統治者的過世、可能是他返回Samos 的原因之一,但並沒有其他資料可以解釋、Pythagoras 如何獲得自由。

    最後,約在公元前518 年,Pythagoras 到了現代意大利南部的Croton,並在那裡、建立一個致力於神祕主義的宗教團體。「畢氏定理」的證明、和「百牛大祭」,應該發生在此時。

    The proof of Pythagorean theorem 畢氏定理的證明

    「直角三角形,其兩邊的平方之和、等於斜邊的平方。」

    這就是著名的「畢氏定理」,可以表示為:

    a² + b² = c²

    以下介紹畢氏定理的幾種證明,有幾何附帶算數的,也有「純」幾何的:

    Garfield's proof of the Pythagorean theorem 加菲的證明

    James Abram Garfield 是美國第20 任總統,他的在任期間,乃自1881 年3 月4 日就職,到他六個月後去世 — 被刺客槍殺的兩個月後 — 為止,據說,殺死他的並不是子彈,而是醫生未經充分消毒的雙手和設備。

    因為對數學有著濃厚的興趣,Garfield 在從政之前,本想成為一名數學家,以至於在當選國會議員後、仍孜孜不倦地學習;一天,在眾議院中、正值其他議員熱烈地討論國家大事的當兒,他想出了畢氏定理的一個簡單證明:

    做一個水平貼於地面的底,由長短兩段 a + b 結接而成。底的長段 a 在左、短段 b 在右。

    在長段 a 的左端、做一個直立的高,短段 b 的右端、做一個直立的高,再把兩個高的頂端、畫一條直線連接起來,這會像是一個斜切紙箱的橫剖面般的直角梯形。

    他想要用這個、由兩個相同的直角三角形、和半個正方形所組成的直角梯形、來證明:長短兩段的平方和 a² + b²、會等於它們所構成的直角三角形的斜邊平方 c²。

    令,在長底 a 的左端立著的高 (或稱梯形的上底),長度為 b;在短底 b 的右端立著的高 (或稱梯形的下底),長度為 a。

    這樣,梯形的面積、就成為: (1/2) * (a + b) * (a + b)。

    梯形的面積、減掉兩個直角三角形的面積和 ab,會等於直角三角形的斜邊平方 c² 的一半,此即:

    (1/2) * (a + b) * (a + b) - ab = (1/2) * c²

    這就證明了畢氏定理。

    而現今流傳廣泛的另一個證法,和上述Garfield 的證明是等義的,所以,也將它放在此段、一起介紹:

    做一個大正方形,底長為:c = a + b。

    從正方形的左下角開始,沿著邊、往右,再向上,再往左⋯,類似逆時鐘旋轉,讓正方形的四個邊,依序、成為:a + b、a + b、a + b、a + b,這樣的切割。

    把四個切割點、用直線連接起來,這樣,會在原來的大正方形中、構成一個斜嵌的內接正方形。

    先計算大正方形的面積,它是:(a + b)²。

    而斜嵌的內接正方形的面積、則是:c²。

    在斜嵌的內接正方形的周圍、有四個直角三角形abc,其中,c 是斜邊,a 是較長的側邊,b 是較短的底邊。

    每個直角三角形的面積、都是:(1/2) ab;四個加總起來,等於:2ab。

    這樣,大正方形的面積、扣掉四個直角三角形的面積和,會等於斜嵌的內接正方形的面積,此即:

    (a + b)² - 2ab = c²

    這就證明了:

    a² + b² = c²

    得證。

    上段Garfield 的證明、和此處的證明,差別僅在等號兩邊多出來的 1/2。

    Pythagorean theorem proof using similarity 利用相似三角形來證明

    我們想要證明:a² + b² = c²,

    其中,c 是直角對應的斜邊;a 是較長的側邊,b 是較短的底邊。

    讓斜邊 c 水平貼地,較長的側邊 a 位於左上,較短的底邊 b 位於右上。這樣比較好想像。

    首先,由上方的直角、往下、畫一條垂直線到斜邊 c,並將 c 切割為:x + y 的兩段。長段 x 位在較長側邊 a 的下方,短段 y 位在較短底邊 b 的下方。

    可以觀察到,前述的垂直線、將原來的直角三角形、劃分成兩個小直角三角形;而這三個三角形、都彼此相似,只是大小不同。

    從較長側邊 a 比長段 x,會等於斜邊 c 比較長側邊 a,可以得到:a/x = c/a;

    也就是:a² = cx。

    從較短底邊 b 比短段 y,會等於斜邊 c 比較短底邊 b,可以得到:b/y = c/b。

    也就是:b² = cy。

    相加二者,我們得到:

    a² + b² = cx + cy = c * (x + y) = c²。

    得證。

    以上是幾何附帶算數的證明,以下,介紹「純」幾何的證明:

    Another Pythagorean theorem proof 另外的證明

    我們有一個直角三角形abc,c 是直角的對邊,也就是斜邊,a 是較長的側邊,b 是較短的底邊。

    一樣,讓斜邊 c 水平貼地,較長的側邊 a 位於左上,較短的底邊 b 位於右上。這樣比較好想像。

    想像較長的側邊 a、和較短的底邊 b,類似趴著的背、和跪著的大腿。

    現在,以水平貼地的斜邊 c 為邊長、做一個大正方形,將剛剛的直角三角形、框在大正方形裡面。

    接下來,再想像,把剛剛的直角三角形、往上移,移到大正方形的頂部;這個動作相當於:在正方形的「家」上面、蓋一個屋頂。

    屋頂的左上邊、就是原來直角三角形的較長側邊 a,右上邊、則是原來直角三角形的較短底邊 b。

    再從屋頂上方的直角、畫一條垂直線,往下、連接到、被框在大正方形裡面的直角三角形的直角頂端。

    這樣的圖形,看起來、會像是一個從空中鳥瞰的、3d 的屋脊圖。

    這個從空中鳥瞰的屋脊圖、有兩片屋面:左邊的一片、是以直角三角形的較長側邊 a,和大正方形的左側邊、其長、等於直角三角形的斜邊 c,所構成的平行四邊形;右邊的一片、則是以直角三角形的較短底邊 b,和大正方形的右側邊、其長、等於直角三角形的斜邊 c,所構成的平行四邊形。

    以 a、c 為邊構成的平行四邊形,它的高是多少呢?

    畫輔助線,可以知道:它的高、也是 a (理由不敘,請自行思考,此和剛才內嵌斜正方形外的大正方形圖是相通的,所以,要畫一個更大的正方形,把本段的大正方形和直角三角形都框起來);

    同理,以 b、c 為邊構成的平行四邊形,其高、也是 b。

    所以,這兩片平行四邊形的面積、加總起來、會等於:a² + b²。

    接下來想像:剛剛,不是把在「家」裡面的直角三角形、搬到大正方形的頂部嗎?

    現在,再把它剪下來,貼回原來水平貼於地面的趴著的直角三角形之處。

    這樣,兩片平行四邊形 a² + b² 不就變回為一個大正方形了嗎?

    大正方形的面積、為:c²。

    這就證明了畢氏定理。

    Pythagorean theorem proof of this article 本文的證明

    本文延續上述最後一個「純」幾何證明的精神,試證畢氏定理如下:

    在大正方形的頂部,蓋一個、斜邊 c 水平地貼於大正方形頂部、而較長的側邊 a 位於左上、較短的底邊 b 位於右上的直角三角形。

    現在,讓直角三角形的兩端、沿著正方形的兩個側邊往下移動,也就是,讓直角三角形垂直下滑,直至斜邊 c 水平落於地面,也就是正方形的底部,為止。

    如此,較長的側邊 a 移動的軌跡,就是 a²;較短的底邊 b 移動的軌跡,就是 b²。

    這兩片平行四邊形的面積和,會等於大正方形的面積。

    此即:

    a² + b² = c²

    得證。

    是不是十分生動、簡潔?

    Pythagoras 的「純」幾何證明已經失傳,而後來Euclid 在《幾何原本》I.47 中給出的證明,又被稱為是「驢橋」(pons asinorum),代表:第一、它很醜,看起來像是一隻驢在過橋,第二、它很難,學習它的人、就像是一隻驢在過橋般地艱難,是數學能力的一道門檻,故也被稱為「笨蛋的難關」。

    同樣是從屋頂上方的直角、畫一條垂直線,往下、連接到、被框在大正方形裡面的直角三角形的直角頂端 (或斜邊 c 水平貼地處),但前段本文提出的證明,是想像、大正方形頂部的直角三角形垂直下滑,隨即能夠直觀地看到,較長的側邊 a 移動的軌跡、加上較短的底邊 b 移動的軌跡,就是大正方形的面積,而Euclid 則在左上方的較長側邊 a、和右上方的較短底邊 b 處,多了兩個、如老驢馱負行囊般的正方形重物,那麼,當然就需要如重重繩縛般的輔助線,才得以完成艱難的證明了。

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