機率思維中的張力：三門問題與「運氣守恆的直覺」

〈機率思維中的張力：三門問題與「運氣守恆的直覺」〉2023-09-04

　　為了應對環境，人有追尋因果連結並對未來做出預測的傾向。然而，一方面我們不可能掌握一切判斷所需要的資訊，另一方面，我們經常需要提前做出行動決策。為了調節這樣的處境，人類發展出了機率思維，透過機率思維，我們將「比較有可能」的感覺與推理數值化，使機率學成為一種可以教學、累積、應用在不同情境的好用工具。

　　但另一方面，機率卻也是數學裡一種特別容易與我們的直覺發生衝突的領域。不僅僅是一般人與賭徒會對機率有不切實際的想法，一些時候，即使是數學專家都可能徹底地犯錯。

　　談及「違反直覺的機率問題」，我們幾乎沒辦法避開經典的「三門問題」。1975年，統計學家塞爾文（Steve Selvin）將一個啟發自電視節目的機率問題寄到統計學刊物《美國統計學家》。

　　問題的大意是：遊戲節目主持人蒙提霍爾（Monty Hall）要求你（玩家）在三扇門中選擇一扇，其中一扇後面有汽車大獎，另外兩扇則是會一臉嘲諷地對你咩咩叫的山羊。當你選擇其中一扇門後，主持人會在另外兩扇門中，選一道有山羊的門開啟，並給你一次換門的機會。在這樣的條件下，你能透過換門來獲得優勢嗎？

　　蒙提霍爾本人似乎隱約知道答案，否則他不會那麼快地寄信給塞爾文，告訴他在他的節目上，他可不會給玩家交換的機會。不過這一問題還是困擾了許多數學家。一些數學家相信換不換都不會改變三分之一的中獎機率、另一些數學家則認為，在公布答案前有一個錯誤答案被消除了，所以換門可以將你的獲勝機率從1/3提升到1/2。

　　而現在被普遍接受的正解，則出自於一名曾經被金氏世界紀錄認證的「世界上智商最高的人」（在此，我暫時不糾結各類智力測驗長期以來的偏差與不具代表性，而僅將其作為一個歷史裡面存在著的稱號來看待）－－瑪麗蓮．沃斯．莎凡特（Marilyn vos Savant）。

　　在雜誌專欄〈問問瑪麗蓮〉(Ask Marilyn)中，讀者可以向瑪麗蓮詢問各式各樣的人生疑難，其中也不乏有讀者問過她一些難解的數學問題，「三門問題」就是其中特別著名的一題。

　　在最初的回答中，瑪麗蓮給出了一個相當聰明的思考角度：她讓讀者思考，如果面前有一百萬扇門，你選了其中一扇，而知道答案的主持人打開了九十九萬九千九百九十八扇門，只留下你選的門和另外一扇。「你會毫不猶豫換到另一扇門，對吧？」

　　這樣的回答並沒有得到多數人的認同，許多人寫信批評她是數學文盲，甚至嘲諷地說「我看你就是那隻山羊！」。然而，當一些因為對她嗤之以鼻而打算親自擔任「流言終結者」的數學老師帶著學生去做統計實驗後，他們驚訝地發現－－瑪麗蓮的答案是對的。

　　就像瑪麗蓮給出的那個一百萬扇門的案例一樣，玩家最初沒選的那些門中的中獎機率，隨著錯誤之門一扇扇開啟，壓縮到了唯一沒被打開的另一扇門之中，那裡包含著(1-1/n)的中獎機率。

　　當n是一百萬時，我們沒有勇氣相信我們第一次選的剛好就是大獎，但當n等於3時，因為我們一開始就有三分之一的中獎機率，人們反而更想要頑固地相信最初的選擇，即便長期下來，交換的期望值就是更高。

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　　然而，當我們帶著三門問題的收穫回頭看以前討論過的「馬丁格爾法」時，我們的直覺卻又重新變得一團混亂。當我們投擲一枚「公正的硬幣」（當這枚硬幣擔任國民法官時，它不會基於個人喜好就決定它的判決）時，我們投到正面與反面的機率都是二分之一。因此，如果你每一次都猜正面，連續錯五次的機率只有3%左右，連續錯10次的機率則只有0.01%。

　　在這個基礎上，馬丁格爾法讓賭徒每一次下注上一次的兩倍。這麼一來，只要你一開始準備的資金是你起使賭注的1024倍以上，你就可以在0.01%機率之外的情況裡穩賺不賠。當然，實際的情況會是：只要進行賭博的次數夠多，馬丁格爾法可以讓大部分的賭徒更快地達到他們傾家蕩產的人生目標。並在那一次劇烈的失敗裡，埋怨著自己的運氣怎麼可能這麼差。

　　這種「運氣守恆」的直覺，也體現在研究彩券開獎號碼與百家樂看路法的賭徒心得中。從一個不參與這些賭博的旁觀者的角度看來，這些研究無疑都是毫無根據的「玄學」，每一次的彩券號碼與每一局牌的勝負都是獨立事件，前面開得怎麼樣不可能會影響後面。

　　但即便是清晰地明白這些「數學真理」的人，當面對到連續擲硬幣九次都是反面時，腦中還是容易冒出「下一次總該要是正面了吧」的想法。而這種「運氣守恆」的直覺，唯一符合的時候，恰恰是上述的三門問題。也就是說，當硬幣連續出現反面時，我們就會自然而然地將情況理解為一個「數扇門之中有一個大獎」的情境，並且將每一次的反面當成是那些被主持人打開的錯誤的門，於是，接下來的每一個「這次」，都會被我們理解為壓縮地包含了前面成功機率的"1-1/n"。

　　在這樣的思路裡面，由於我們在每一次擲硬幣時都意識著擲硬幣的次數，雖然「第三次是反面」的機率是1/2，但「第三次還是反面」因為前兩次的結果已經落實為1，接收了「三次都是反面」的一切機率，成為了1/8。

　　在充分的數學教育之下，我們能意識到「運氣守恆」的想法是有問題的。然而，恰恰是因為我們會在實際情況與理論情況有落差時感受到不適，而非快速地接受「就是有可能」，實況主丁特才能夠意識到遊戲橘子在天堂M道具製作機率上動的手腳。

　　當然，世界不會像遊戲橘子那樣為了自身利益去「調整機率」，但從人類對機率的直覺時常與數學的結果不合的這件事去思考，很可能人類長期以來對「機率」的素樸形上學都是有所偏差的，也或者，機率思維所包含的視角主義與期望值式的行動指引，恰恰是我們要通往下一個科學典範轉移時，不可不考慮的重要取徑。

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