從生活認識微積分（八）「瞬時」與「平均」變化率

　　變化率絕非一成不變，以最常見的變化率：「速度」為例。所有動物、人、交通工具的速度，都在運動中不斷改變，利用先前變化率的公式，所算出來的平均變化率，如五分鐘的平均速度、七天的平均植物成長速度等，不能看出過程中的細微變化，本文將從生活中時間間隔談起，說明物理、化學中「瞬時速度」、「瞬時加速度」，與「瞬時反應速率」的意義。

　　在生活中誰能了解一個小孩最細微的變化、成長速度？是無時無刻與他相處的父母、同學能夠了解；還是幾年才看到到小孩的遠房親戚了解呢？答案是顯而意見的，因為在小孩身邊的人，能無時無刻緊密的觀察他，在醒著時，他們每一次觀察小孩的間隔幾乎為零，所以能察覺到小孩最細微的變化。而那些很少與小孩相處的人，因為每一次見面、相處間隔很久，他們所能掌握的變化，只能說是長時間的「平均」變化，他們能知道這次與上次和小孩見面的差異，卻說不清小孩成長歷程。

　　在生活裡我們也時常需集中注意力，來擷取最重要的訊息，在認真與人溝通時，眼神經常接觸，彼此交流的時間間隔極小，為要隨時確認對方的反應。人類能看到生活周遭的動態畫面，也正因為眼睛短時間內，視神經不斷接收周遭更新的影像、光訊，一張一張的靜態畫面經映入眼底，再由大腦彙整處理，才能形成動畫。

　　在生活中尚且如此，回到較為抽象的例子，不論是物理學家、化學家、數學家，不只關心平均變化率，也關心瞬時變化率。

　　在物理中，一樣物體位置對時間的變化率稱為速度，而速度對時間的變化率則稱加速度。若隔了五分鐘才觀察物體的位置變化，此時將位置除以時間變化，得到的速度稱為這五分鐘的平均速度；若每隔一分鐘就觀察物體的位置變化，所得到的速度稱為這一分鐘的平均速度。

　　但物體的速度並非都均勻不變，舉個例子：在五分鐘內，有個人總共慢走了300公尺，由於速度就是位置對時間的變化率，其結果應為：

　　但人的力氣、快慢不斷改變，不能保證自己的速度統一一致，若用以上算法，用總位置變化除以時間變化，只是將所有的變化量平均分到5分鐘的時間間隔裡。這個計算假設每一分、每一秒、無時無刻速度都是不變的。但實際情況卻是，一開始散步可能速度較快，超過每分60公尺，中途慢下來低於此平均速度，最後再加速，整體來說平均速度為60(m/min)。

　　就像前文所述生活中觀察人的變化一樣，若觀察隔了太久，你就察覺不到，在長時間裡很多細微的變化過程，例如一位小孩不會突然長高，但你若隔了太久才看到他，便會覺得他的升高突然改變；若眼睛截取新影像的時間太長，就會覺得物體瞬間移動，看不到物體的移動軌跡。當觀察物體的時間間隔不斷縮短，方能了解每個瞬間的細微變化，想像每次觀察的時間間隔，先從每五分鐘一次、縮到每分鐘一次，再縮短到每隔一秒一次，最終間隔逐漸靠近零，但卻永遠不為零。相信許多讀者，此時已發現這是數學中，極限趨近的概念。這也是物理學家對「瞬時」速度的定義，利用先前極限的寫法，我們可以寫下：

　　在物理學中，加速度也有重要意義，加速度是速度對時間的變化率，本文利用不斷縮短時間間隔，定義出瞬時速度，可再仿照上文定義瞬時加速度：

　　「瞬時速度」可以決定物體的「動量」，進一步使用總動量守恆，則可以計算兩物體碰撞前、後之速度；瞬時加速度（速度的瞬時變化）則決定了該物體的「總和力」，可用來近一步分析物體的靜力平衡、與功等，在工程學中十分有用；由於接近地表的物體的加速度為定值，我們還能預測物體的拋射軌跡。了解瞬時變化率，能精準描述物體的運動狀態，並作延伸計算。在馬路旁的超速照相機，也是透過壓縮時間間隔，來偵測車的瞬時速度是否有超速，所以只要某個時刻超速，就算超速。並不因後來減速，而拉低整體速度的平均。在日後文章，還會說明透過微分、積分方式，轉換這三種物理量。

　　物理學家關心運動學，化學家則關心反應速率，化學反應的速率各不相同。有長達數百萬年才能完成的石油，需各種原料在地底長期遭受高溫高壓，引發長時間變質的化學反應；但也有快速就能完成的化學變化，例如製作氣泡水，是將二氧化碳打到水裡，使水與二氧化碳結合，形成碳酸水。觀察化學變化的化學家，可透過產物的濃度變化、氣體體積變化，除以經過時間，就能計算出平均反應速率。

　　與物理現象相同，在整個反應過程裡，化學反應可能是慢慢加速，接近尾聲時減速，而不會在一段時間內等速進行，縮短觀察時間的間隔，使間格趨近於零，才能觀察到化學反應的瞬時速率，並能看出過程裡每個時刻的速率變化，而不是一個粗略的平均數字。以上觀念，可以用數學式記載如下：

　　先前文章計算的變化率都是「平均變化率」，平均變化率無法看出完整的過程變化，五分鐘的平均速度，無法看出中途物體是否加速減速，也無法看出化學反應速率在過程中的改變。就像若讀者和某位朋友見面的間隔太久，拿現在朋友的容貌，比較你上一次見面的記憶，只能看出長時間內，他總共有了哪些變化，你卻不得而知這段時間間隔中，他是如何改變的。回到較抽象的幾何觀念，斜率是將高度變化除以水平變化，得出陡峭程度的平均值，實際上斜坡可能凹凸不平，時陡時緩。因此本文初步引進物理學家、化學家關心的「瞬時」觀念，下文則回到數學觀念，說明瞬時變化率即是微分的觀念。