從生活認識微積分（一）：什麼是「函數」？

　　許多人常因耳聞「微積分」是一門困難的學科，所以在學習前就對「微積分」產生恐懼，最後因心生恐懼而遭到許多挫折，無法順利學習微積分。「微積分」確實是一門深奧的學問，但是微積分的基本精神卻可以從生活中體會到，因此不難理解。若我們願意逐步打好「微積分」的根基，再不斷學習更高階的微積分應用、定理，學好微積分並非是無法達成的任務。本系列文章將列舉數個跟生活相關的例子，讓讀者從情境當中思考微積分的基本精神、與微積分相關的數學概念，避免讀者在學習正式課題前，已經先失去學習熱誠，並用輕鬆的方式讓你了解許多數學的基本概念。本系列的所有文章，都會在文末附上文章難度，提供不同程度的讀者參考。

　　在建立微積分的概念前，我們得先了解函數的定義。因為操作微積分的對象是「函數」。函數就是一種「一對一的對應法則」（註1），本文將在以下舉三個生活例子，讓讀者認識什麼是函數。

　　當你看到一個熟人的長相時，腦中會先想起平常對他的稱呼，再進一步向他打招呼。這當中就有函數的觀念，因為「長相」與「稱呼」有唯一的對應關係。你看到某一個朋友的長相，不會想到兩種截然不同的稱呼，而是一個唯一的名字，若每個人的長相在腦海中都只對應到唯一的稱呼，我們便可以說「稱呼」是「長相」的函數。

　　再另舉一個例子：在工廠中，每種調好的麵糊配方只能生產出一樣餅乾，我們便可以稱餅乾是麵糊的函數，因為將巧克力麵糊放入機器，只能產出巧克力餅乾；將奶油麵糊放入機器，只能產出奶油餅乾，我們都知道放入巧克力麵糊，不可能同時產出兩種不同口味的餅乾，因此餅乾成品確實是麵糊原料的函數。

　　最後一個例子是「商品與價錢」，當你走近一家超市，你不會看到一罐鮮奶、一瓶罐頭上標示了兩種價錢，你只會看到一種，換句話說，每種商品具有唯一的價格，因此這又是一個函數的概念，產品定價是商品類型的函數，每一種商品只會對應到一種價格。

　　回到數學問題，如果對應關係，不是你對人的「稱呼」也不是工廠中的「產物」與「配方原料」，而是「數字」與「數字」呢？數學家將機器改稱為函數，可以放入函數的原料，稱為「自變數」，函數產出的產物，改稱為「應變數」。就像前文舉的例子一樣，看到一種長相，腦海中只會聯想到你對他的唯一稱呼；放入機器一種麵糊，只能生產出一種口味的餅乾；在數學世界裡，輸入函數一個數字，也只能產出一個數字。為了將以上過程表示得更簡潔，我們將「自變數」取代號x，「應變數」取代號y。並將「應變數」y是某個「自變數」x對應的唯一產物，即「y是x的函數」寫成：

　　在數學世界裡，也可以找一個很實際的例子。比如某個函數是將丟進來的數字加五，並輸出到螢幕上。那麼這函數可以寫成：

或

　　此時已經明確描述，自變數與應變數的對應法則：「自變數x加5等於應變數y」。我們只要用y或f(x)擇一表示函數結果即可，f(x)指的是這是一個x的函數，由數學家歐拉發明，寫作y則強調變數x可以產生另一種新的變數，仍是指y是x的函數。所有的產品y（或寫作f(x)），其實都是原料數字x加五而來，而且每一個數字x放進來只會產出一種產品，就是x+5。若將1放入這台函數（機器），就會得到唯一的答案：6；若將0放入這台函數（機器），就會得到唯一的答案5。

　　若需將函數：給一個x對應到唯一的y之法則表示為圖形，通常使用「箭頭圖」：

　　了解函數的基本定義後我們就可以更深入探討，函數的定義域與值域。定義域就是所有可以放入函數的自變數集合。拿上述例子來說，上述函數顯然什麼數字都可以放入，不論是自然數、負整數，有理數、無理數都可以產生唯一結果，所以我們說這個函數的定義域是「全體實數」；而這個函數產出的數是全體實數，所以它的值域也是全體實數，若用數學符號可以寫作x, y∈ℝ。

　　以下另舉一個函數y=1/x：

　　是將輸入的數字放在分母，即1除以自變數x。這種函數顯然就不能輸入零，因為數學一般不討論分母為零的情況，所以這個函數的定義域是全體實數，但不包含0，而他的值域也不包含零，因為我們不可能找到一個x，使得函數1/x＝0。若用數學符號也可以將定義域和值域分別寫作：{x|x≠0,x∈ℝ}和{y|y≠0,y∈ℝ}。

　　關於函數的更深入議題，會在日後的科普文章繼續探討。後續文章將利用生活例子，說明極限與無窮的定義。

註1：本文向初學者強調的是一個計算情境：「每當將一個自變數x帶到函數裡，只會算出一個應變數y」，所以說函數再輸入自變數時，是一對一的關係。但我們若以經知道這個函數的最後結果，包括定義域和值域與對應關係，可能會發現有許多自變數對應到同一個應變數，比如f(1)=0且f(2)=0，但是你在將x=1帶入函數時，仍然只會得到到0，帶入x=2時，也只對應到0，本文要表達的不是「一對一函數（單射函數）」（one to one function），而是說你在每次輸入單一個x值時，只會對應到一個y值，不會代入一個x，得到兩個或更多y值。 文章難度：易