中學以下的素養教育與經驗談：國二上數學篇──因式分解與一元二次方程式（上）

1. 個人因素
2. 社經背景
3. 對應教材與年齡

因式分解：認知還是要靠練習

沒記住基本概念？動手累積練習

首先，因式倍式單純講解是問題不大的，例如：

(x-1)(x-2)=x^2-3x+2

x-1 與 x-2 都是 x^2-3x+2 的因式，而x^2-3x+2則是x-1與x-2的倍式。這通常不會有人弄錯，比較常見的是忽略掉基本概念，也就是「A式可以把B式整除，所以A式為B的因式」，x-1 能夠整除 x^2-3x+2，所以為其因式。

這個整除的概念很重要，筆者經驗上會搞不懂的學生，都是因為「用看的」，尤其在公因式的部分，想「看出」兩邊有一樣的式子，忘了能整除就是因式倍數的觀念。

基本概念很重要，有些老師會因為教太熟反而忘了，學生在這裡卡住的第一點是都用看的，家長或是老師若發現不對，他怎樣都不會，十之八九就是

「沒有動手算。」

請讓他把A式去除B式，列直式除法要求算到餘式，當餘式為零才能說是有因倍式關係。因為真的很多學生，只看多項式的外觀，覺得很像就認為有因式關係！

提不出公因式？動手累積練習

接著，最常見的問題，就是提不出公因式，筆者舉一個例子，師長們可能就秒懂問題所在。

(x-1)(x-2)+(-x+1)(2x-1)

這會有同學不知道怎麼提公因式，畢竟因式指的是要有一樣的多項式，上式左右兩邊哪裡一樣？

呃，變個號不就得了？如下：

這真的是個難關，多數卡住的就是轉不過來，因為他們習慣先看，看到很像的才去提出。筆者的建議是先提再說，以這些例子而言，問題出在不習慣動筆計算，若你強迫他先提出 (x-1)，反正另外括號內的鐵定不行，先試試看把後面 (-x-1)(2x-1) 拿去除以 (x-1)。

不管他是直接除還是乘開後再除，他最後都會發現差一個負號的事實，也就是筆者的意思，不是矇著眼睛先練再說，是要透過動手計算，抓到這種稍微改變後的公因式題目。

多數還不差的同學，其實是透過多年累積的練習量，自然感覺到這些微小差異，所以立刻看得出差一個負號、差兩倍、差二分之一等等。如下題，這真的要透過累積計算量才會看出來：

x^3(x+1)-x(x^2-2x)

這是比較簡單的類型，簡稱還沒有整理過的題目，正常的作法是先把後面的式子，先提出 x 變成 x^2(x-2)，再把兩邊的 x^2 提出。通常學生遇到需要整理過再提供因式的題目，就倒一大半。

原因很簡單，不去動手，用眼睛看，已經養成習慣。

十字交乘法：輔助驗證係數

最後，因式分解的終極難關，十字交乘法，這是一個教方法很簡單，練心法很困難的項目，如下面的基礎題型，正常老師要教的很細，應該都是這樣教的：

2x^2+3x+1

「因為 2x^2 只可能拆成 x乘以2x，所以這個2次式必定是由兩個(x+…)去乘以(2x+…)而來，然後常數項都是1，所以只可能是兩個1互乘……」

也就是透過拆解步驟，讓學生抓住十字交乘法的概念，而不是去記憶拆解的方法。但真的要教速解，筆者倒是覺得有一些技巧可以教，例如下式：

通常學生馬上就可以懂，拆出的兩個式子，2次項是 x 跟 3x，但在12上就會想很久，畢竟12要拆，又有正負號，可是有 1、12；2、6；3、4 好幾種拆法，好煩喔。

其實不會，因為一次項是5x，比12來得小，所以絕對不會是1、12這組，2、6跟二次項的 x 跟 3x 湊不出來，必定是3、4這組。簡單說就是在挑選數字的時候，採用只去記 x 跟誰配，先不要管比較大的 3x。以下解說一下思維，方便師長解釋給學生聽。

因為，x去乘以12分離的因數：

• 1、12這組的數字只會得到x跟12x
• 2、6這組去搭配，會得到2x跟6x
• 3、4這組可以得到3x跟4x

各位可以發現，數字跟乘出的數字較小，記憶也較快，通常去記得需要乘開的數字，再去想不乘開的，會比反過來麻煩。

像學生如果看到第一組x、12x，他再去看到3x怎麼配，就會想到不管怎麼乘，數字正負都湊不出5x，換2、6這組數字也一樣。只要學生四則運算沒有太慢，透過這種先抓小再看大的練習，不需要太多題目，他就可以很快抓到，這題要挑3、4這組再去配正負號。

又例如：

正確的解法是 (x-1)(5x+6)，也就是拆 1、6，不要挑 2、3。因為中間才1，如果先挑了2跟3，會發現另一個5x乘進去後絕對不會得到1x這個數字。

數感必須練習

上面講的有點複雜，因為跟數感有點關係，這是一種訓練怎樣抓到數字大小匹配的概念，還是老話一句，必須透過練習，很難天生擁有。而筆者建議先固定小的係數，是基於人對默記數字的習慣，小的總是比大的簡單，擴大比縮小找目標快。

真的要說十字交乘法怎麼練習？筆者也只能老實說，到了這個階段，已經是四則運算加上因數倍數跟前面多項式各種綜合，缺了一個都會導致越來越慢。除了努力，請不要輕信特效藥，真的有補習班年輕老師，會想出一些很特別的招式，讓你感覺很快就找到解題法。

這個嘛，沒有內功的招式，是很虛的。