中學以下的素養教育與經驗談：國二上數學篇──因式分解與一元二次方程式（上）
閱讀時間約 6 分鐘
每篇都要再次說明，所有的教學方法與手段，完全要看：
- 個人因素
- 社經背景
- 對應教材與年齡
沒有百分百適用，也不會有一招行天下的密技，最大差異在於針對個人或是多人數上課。而且不管多好的教材，只要學生本身完全沒有學習的意願，都是沒有用的，這時候就得要換其他方式，不能只看教材與方式。
數學在二上後半，遇到了一個連貫的主題，因式分解再接一元二次方程式。對一年級有基礎的人來說，問題往往不大，但就是這個基礎兩字，通常國一爆掉的，就筆者個人經驗，學生都是放棄，父母怎樣逼都沒用，送補習班也只是聊勝於無。
所以怎麼辦？建議，找安親化的補習班或家教，不要再管進度了，因為他就是已經跟不上，逼著做沒意義，基本作業完成就好，不會的就慢慢追上來。畢竟放到會考來說，A跟B的落差很難追，而不要落到C卻很簡單，想要到B+以上，可以多點優勢，都可以努力來達成。
那麼，讓我們開始進入，因式分解的常見問題。
因式分解：認知還是要靠練習
如果國一，對因數分解、因數倍數很熟悉的同學，因式倍式以及因式分解，會比較得心應手，只不過是「數字改成方程式」。但有些人跨不過去，扣掉基礎不熟的人，跨不過去的大多出在對「數字」與「多項式」轉換認知的困難。
有沒特效藥？老話一句，沒有。拜託多練一些基礎題，抓到那個感覺，而不要練進階題。
沒記住基本概念？動手累積練習
首先，因式倍式單純講解是問題不大的，例如：
(x-1)(x-2)=x^2-3x+2
x-1 與 x-2 都是 x^2-3x+2 的因式，而x^2-3x+2則是x-1與x-2的倍式。這通常不會有人弄錯，比較常見的是忽略掉基本概念，也就是「A式可以把B式整除，所以A式為B的因式」，x-1 能夠整除 x^2-3x+2，所以為其因式。
這個整除的概念很重要，筆者經驗上會搞不懂的學生，都是因為「用看的」，尤其在公因式的部分，想「看出」兩邊有一樣的式子，忘了能整除就是因式倍數的觀念。
基本概念很重要，有些老師會因為教太熟反而忘了，學生在這裡卡住的第一點是都用看的，家長或是老師若發現不對，他怎樣都不會，十之八九就是
「沒有動手算。」
請讓他把A式去除B式，列直式除法要求算到餘式，當餘式為零才能說是有因倍式關係。因為真的很多學生，只看多項式的外觀，覺得很像就認為有因式關係！
提不出公因式？動手累積練習
接著，最常見的問題，就是提不出公因式，筆者舉一個例子，師長們可能就秒懂問題所在。
(x-1)(x-2)+(-x+1)(2x-1)
這會有同學不知道怎麼提公因式，畢竟因式指的是要有一樣的多項式，上式左右兩邊哪裡一樣？
呃，變個號不就得了？如下：
這真的是個難關，多數卡住的就是轉不過來，因為他們習慣先看，看到很像的才去提出。筆者的建議是先提再說，以這些例子而言，問題出在不習慣動筆計算，若你強迫他先提出 (x-1)，反正另外括號內的鐵定不行，先試試看把後面 (-x-1)(2x-1) 拿去除以 (x-1)。
不管他是直接除還是乘開後再除，他最後都會發現差一個負號的事實，也就是筆者的意思，不是矇著眼睛先練再說，是要透過動手計算，抓到這種稍微改變後的公因式題目。
多數還不差的同學，其實是透過多年累積的練習量，自然感覺到這些微小差異，所以立刻看得出差一個負號、差兩倍、差二分之一等等。如下題，這真的要透過累積計算量才會看出來：
x^3(x+1)-x(x^2-2x)
這是比較簡單的類型，簡稱還沒有整理過的題目，正常的作法是先把後面的式子，先提出 x 變成 x^2(x-2)，再把兩邊的 x^2 提出。通常學生遇到需要整理過再提供因式的題目，就倒一大半。
原因很簡單，不去動手，用眼睛看，已經養成習慣。
十字交乘法：輔助驗證係數
最後，因式分解的終極難關，十字交乘法，這是一個教方法很簡單，練心法很困難的項目，如下面的基礎題型，正常老師要教的很細，應該都是這樣教的：
2x^2+3x+1
「因為 2x^2 只可能拆成 x乘以2x，所以這個2次式必定是由兩個(x+…)去乘以(2x+…)而來，然後常數項都是1，所以只可能是兩個1互乘……」
也就是透過拆解步驟，讓學生抓住十字交乘法的概念，而不是去記憶拆解的方法。但真的要教速解，筆者倒是覺得有一些技巧可以教，例如下式：
通常學生馬上就可以懂，拆出的兩個式子，2次項是 x 跟 3x，但在12上就會想很久，畢竟12要拆，又有正負號，可是有 1、12；2、6；3、4 好幾種拆法，好煩喔。
其實不會，因為一次項是5x，比12來得小，所以絕對不會是1、12這組，2、6跟二次項的 x 跟 3x 湊不出來，必定是3、4這組。簡單說就是在挑選數字的時候，採用只去記 x 跟誰配，先不要管比較大的 3x。以下解說一下思維，方便師長解釋給學生聽。
因為，x去乘以12分離的因數：
- 1、12這組的數字只會得到x跟12x
- 2、6這組去搭配，會得到2x跟6x
- 3、4這組可以得到3x跟4x
各位可以發現，數字跟乘出的數字較小，記憶也較快，通常去記得需要乘開的數字，再去想不乘開的，會比反過來麻煩。
像學生如果看到第一組x、12x，他再去看到3x怎麼配，就會想到不管怎麼乘，數字正負都湊不出5x，換2、6這組數字也一樣。只要學生四則運算沒有太慢，透過這種先抓小再看大的練習，不需要太多題目，他就可以很快抓到，這題要挑3、4這組再去配正負號。
又例如：
正確的解法是 (x-1)(5x+6)，也就是拆 1、6，不要挑 2、3。因為中間才1，如果先挑了2跟3，會發現另一個5x乘進去後絕對不會得到1x這個數字。
數感必須練習
上面講的有點複雜，因為跟數感有點關係，這是一種訓練怎樣抓到數字大小匹配的概念，還是老話一句，必須透過練習，很難天生擁有。而筆者建議先固定小的係數，是基於人對默記數字的習慣，小的總是比大的簡單，擴大比縮小找目標快。
真的要說十字交乘法怎麼練習？筆者也只能老實說，到了這個階段，已經是四則運算加上因數倍數跟前面多項式各種綜合，缺了一個都會導致越來越慢。除了努力，請不要輕信特效藥，真的有補習班年輕老師，會想出一些很特別的招式，讓你感覺很快就找到解題法。
這個嘛，沒有內功的招式，是很虛的。
為什麼會看到廣告
留言0
查看全部
你可能也想看
Google News 追蹤
徵的就是你 🫵 超ㄅㄧㄤˋ 獎品搭配超瞎趴的四大主題，等你踹共啦！還有機會獲得經典的「偉士牌樂高」喔！馬上來參加本次的活動吧！
隨著理財資訊的普及，越來越多台灣人不再將資產侷限於台股，而是將視野拓展到國際市場。特別是美國市場，其豐富的理財選擇，讓不少人開始思考將資金配置於海外市場的可能性。
然而，要參與美國市場並不只是盲目跟隨標的這麼簡單，而是需要策略和方式，尤其對新手而言，除了選股以外還會遇到語言、開戶流程、Ap
1.本文提供的三種解法,似乎後兩種在計算上比較輕鬆,但其實計算的難易可能因題目給的數字或條件不同,而有差異,不能一概而論。譬如,當一元二次方程式的兩根是整數,那用解法1最簡單,何須大費周章?
2.題(2)求立方和,解法3要利用計算平方和的結果,而解法2則不必,所以題目如果不要學生算平方和,
有，就像我每次用短除法把外圍全部都乘✖️起來，以為答案最小公因數 。當我把我數學🧮家教的作業📚交給老師🧑🏻🏫，老師🧑🏻🏫糾正我說把外圍的乘✖️起來，是算最小公倍數喔，這下我就懂了😉。
我覺得不知道🤷🏻♀️應該要問❓，自己哪裡錯了才會🙂。
小學二年級，要進入到「乘法」的單元。有些老師開始讓學生背《九九乘法表》。
記憶，確實是一切學習的基礎，但我並不贊成讓孩子「死背」。
在背《九九乘法表》之前，先「思考」幾件事：
第一，我們為什麼要學「乘法」？
第二，為什麼沒有0跟1的乘法表？
第三，跟「加法」有什麼樣的關係？
有好友問我對「建構式數學」有何看法？
其實，我對傳統式和建構式的教法，沒什麼意見。各有利弊。
我比較在意的是：一定要孩子用「建構式」的做法，否則就拿不到分數。
不是要孩子、家長，別太在意分數、成績這事嗎？
這做法，最多用到小學三年級，還不是得另外學直式、橫式？
面對數學的困難，許多學生總是會質疑為何要學這門學科。
本文以個人教學經驗，分享了數學在日常生活和未來規劃中的重要性，
並透過真實故事強調數學訓練思考邏輯的價值。
「為甚麼要學數學？以後又用不到。」
這篇文章是一個數學老師的回答。
也就是說，這個題目最主要要考的東西其實遠遠不是兩個三位數相加那麼簡單。它要測驗的核心其實是「學生是否有辦法把應用題轉譯為算式，並計算出正確答案」。當我們帶著這份思考去重新看那道題目時，我們會發現這個我們成年人沒有看懂的要求，不僅僅是要學生寫出計算過程，更核心的是在確認「解題過程」。
數感是一個非常籠統的詞語，我個人的解讀是對數字的敏感度。計算能力對於數學上得高分是最重要且容易被忽視的；珠心算對於算好數學有幫助，練習計算能力不難，從基本的四則運算開始，慢慢進階到分數、括號或較複雜的題型。記憶力和判斷力在數學學習中也扮演重要的角色。
DSE M1 M2 (延伸數學) 學生大部分都係本身數理能力比較強嘅同學，所以呢兩個數學延伸單元競爭唔細。除此之外，好多學校都用課餘時間，甚至係用其他同學上 DSE Maths (核心單元)嘅時間嚟教 M1 M2。課時不足令部份同學跟唔上學校嘅教學進度，所以需要補習。同其他 DSE 科目一樣，同學補
《底層邏輯》在【超閱讀觀點83】有介紹過，西恩之所以要把《底層邏輯2》再隔兩本介紹，主要原因在於，這本書是以許多人聞之色變的「數學」出發，把我們會遇到的「現象」用數學解釋，所以基本上，相較於《底層邏輯》的高易讀性，《底層邏輯2》顯然沒辦法讀那麼快，且更需要思考，不過能得到的收穫也更多。
《底層邏輯
數學中的除法常常讓人困惑，特別是為什麼不能除以0，本文以生動的例子與情境來解釋除法的概念，讓讀者更容易理解。
徵的就是你 🫵 超ㄅㄧㄤˋ 獎品搭配超瞎趴的四大主題，等你踹共啦！還有機會獲得經典的「偉士牌樂高」喔！馬上來參加本次的活動吧！
隨著理財資訊的普及，越來越多台灣人不再將資產侷限於台股，而是將視野拓展到國際市場。特別是美國市場，其豐富的理財選擇，讓不少人開始思考將資金配置於海外市場的可能性。
然而，要參與美國市場並不只是盲目跟隨標的這麼簡單，而是需要策略和方式，尤其對新手而言，除了選股以外還會遇到語言、開戶流程、Ap
1.本文提供的三種解法,似乎後兩種在計算上比較輕鬆,但其實計算的難易可能因題目給的數字或條件不同,而有差異,不能一概而論。譬如,當一元二次方程式的兩根是整數,那用解法1最簡單,何須大費周章?
2.題(2)求立方和,解法3要利用計算平方和的結果,而解法2則不必,所以題目如果不要學生算平方和,
有，就像我每次用短除法把外圍全部都乘✖️起來，以為答案最小公因數 。當我把我數學🧮家教的作業📚交給老師🧑🏻🏫，老師🧑🏻🏫糾正我說把外圍的乘✖️起來，是算最小公倍數喔，這下我就懂了😉。
我覺得不知道🤷🏻♀️應該要問❓，自己哪裡錯了才會🙂。
小學二年級，要進入到「乘法」的單元。有些老師開始讓學生背《九九乘法表》。
記憶，確實是一切學習的基礎，但我並不贊成讓孩子「死背」。
在背《九九乘法表》之前，先「思考」幾件事：
第一，我們為什麼要學「乘法」？
第二，為什麼沒有0跟1的乘法表？
第三，跟「加法」有什麼樣的關係？
有好友問我對「建構式數學」有何看法？
其實，我對傳統式和建構式的教法，沒什麼意見。各有利弊。
我比較在意的是：一定要孩子用「建構式」的做法，否則就拿不到分數。
不是要孩子、家長，別太在意分數、成績這事嗎？
這做法，最多用到小學三年級，還不是得另外學直式、橫式？
面對數學的困難，許多學生總是會質疑為何要學這門學科。
本文以個人教學經驗，分享了數學在日常生活和未來規劃中的重要性，
並透過真實故事強調數學訓練思考邏輯的價值。
「為甚麼要學數學？以後又用不到。」
這篇文章是一個數學老師的回答。
也就是說，這個題目最主要要考的東西其實遠遠不是兩個三位數相加那麼簡單。它要測驗的核心其實是「學生是否有辦法把應用題轉譯為算式，並計算出正確答案」。當我們帶著這份思考去重新看那道題目時，我們會發現這個我們成年人沒有看懂的要求，不僅僅是要學生寫出計算過程，更核心的是在確認「解題過程」。
數感是一個非常籠統的詞語，我個人的解讀是對數字的敏感度。計算能力對於數學上得高分是最重要且容易被忽視的；珠心算對於算好數學有幫助，練習計算能力不難，從基本的四則運算開始，慢慢進階到分數、括號或較複雜的題型。記憶力和判斷力在數學學習中也扮演重要的角色。
DSE M1 M2 (延伸數學) 學生大部分都係本身數理能力比較強嘅同學，所以呢兩個數學延伸單元競爭唔細。除此之外，好多學校都用課餘時間，甚至係用其他同學上 DSE Maths (核心單元)嘅時間嚟教 M1 M2。課時不足令部份同學跟唔上學校嘅教學進度，所以需要補習。同其他 DSE 科目一樣，同學補
《底層邏輯》在【超閱讀觀點83】有介紹過，西恩之所以要把《底層邏輯2》再隔兩本介紹，主要原因在於，這本書是以許多人聞之色變的「數學」出發，把我們會遇到的「現象」用數學解釋，所以基本上，相較於《底層邏輯》的高易讀性，《底層邏輯2》顯然沒辦法讀那麼快，且更需要思考，不過能得到的收穫也更多。
《底層邏輯
數學中的除法常常讓人困惑，特別是為什麼不能除以0，本文以生動的例子與情境來解釋除法的概念，讓讀者更容易理解。