數與人系列：白努利的丟銅板賭戲

要用數字理性評估該不該信仰宗教性的上帝並不容易，因為這牽涉到「死後的世界觀」，帕斯卡（Pascal，1623-1662）在評估該不該信仰上帝時，將死後會往「天堂」和「地獄」去的旅程也考慮了進去，所以認為上帝對人的心靈報酬或懲罰將很大也很久。

許多信仰伊斯蘭教的阿拉伯學者似乎也是這樣想的。所以，儘管阿拉伯世界基本上是個商業世界，但阿拉伯學者似乎總是將事情發生的源頭歸因於天，所以雖然他們在數學上的成就非凡，也對分配問題很有興趣，卻從未想到要控制風險與損失，就這樣在風險管理學上缺席了。（相關文章：代入未知，掌握變動）

在中國，雖有朱世傑(1249-1314)發展出了四元術求解的方法，卻也可能因為後來明朝的政治文化環境並不注重相關議題，所以，朱世傑在數學史上的成就雖高，中國數學卻也沒有在風險管理上有進一步發展。

帕斯卡決定維持信仰上帝後，幫助了波爾羅亞修道院出版了一本書叫「邏輯 ——思考的藝術」，在歐洲的數學圈引起了一定的注意與迴響。其中，一個爭論點在於波爾羅亞的邏輯作者認為決策時，只考慮「後果」，是一種「病態的恐懼」，而且往往會因為這種恐懼造成更大的傷害。 （有時候，你越害怕一件事會出錯，那件事出錯的機率就越高，而且造成的傷害就越大。大約就是現代管理學所說的「莫非定理」。）

日常生活有些現象似乎可以印證上面這種說法，但是有一位叫丹尼爾白努利（Daniel Bernoulli）的先生發表了一篇數理論文，用了許多實例說明了自己的不同意見。

不過，在我們討論丹尼爾白努利 Daniel Bernoulli 的論點之前，不妨認識一下白努利家族的重要成員和歷史。（基本上，這是個和數學淵源頗深的商人家族）。

就機率學而言，丹尼爾有一位了不起的大伯叫雅可布（Jacob）寫下了許多關於機率的數學表達，到現在都是機率和統計學學生必需搞清楚的重要定理。

其中，所謂的 白努利試驗 （Bernoulli Trials） ，更是理解機率學的關鍵觀念。

讓我們以丟銅板來說明。如果我們認為每一次丟銅板就是一個事件，而上一次丟擲的結果不會影響下次，那麼兩者事件的關係就是「獨立」，反之，則是「相依」事件。

按分析機率的一般想法，所謂「公平」的「賭博」就是每次出手的結果彼此都應該是「獨立」的。所以，一般受過機率學訓練的人都會假設每期彩票開出的號碼都是彼此獨立的，但如果有賭徒認為上一期開出的號碼下一期就不會再開出了，那就會被稱作「賭徒繆誤」（Gambler’s Fallacy）。

至於，某項彩票每期開出的號碼是不是真的如機率人所假設，是「彼此獨立」的，那就很難說了。如果有，應該也是「數學偵探」可以秀出真本事來試圖了解的地方。

另一方面，雖然大伯雅可布白努利對機率學影響甚大，很有爭論精神的丹尼爾白努利卻認為在決策時只考慮「機率」或「價格」，都不足以反映一般人認定的「價值」。

就風險而言，每個人對風險的價值評定都不同，所以他們在做風險評估時，也各有計算。對丹尼爾白努利而言，如何評估不同背景的人的價值觀，才是決策者應該要試圖解決的問題。

比如說，下面這個被稱為「聖彼得堡悖論」（Petersburg Paradox）的題目(這題目最早是由他的堂兄所提出)

假設甲乙兩人比賽擲硬幣，由甲負責擲硬幣。若第一次就擲出正面，乙就賺1元。若甲第一次擲出反面，那就要再擲一次，若第二次擲的是正面，乙就賺2元。若第二次擲出反面，那就要擲第三次，若第三次擲的是正面，乙便賺2*2元……如此類推。

也就是說，遊戲可能值一次便結束，也可能反覆擲個沒完沒了。（當然，越晚拿到報酬，乙就拿到越多。）

問題是，如果乙保證會賺錢，你最多肯付多少錢取代乙參加這個遊戲？

這個問題至今仍吸引許多數學、經濟、哲學的傑出學者試圖評估乙的期望。所以，問題變成是，如果你是乙，你願意以多少價格賣出這個自己保證會贏的賭局？

還是，你覺得這個遊戲規則的設計在根本上就有問題呢？

總之，丹尼爾白努利代表的是很典型的歐洲人文主義的精神，他們很積極地思考各種狀況與規則，並積極地謀求解決問題的方法。（相關文章：從柏拉圖的洞穴出發，了解義大利人文主義的分流。）