統計急救箱─獨立樣本t檢定

　　在介紹t檢定的原理以及上一篇討論如何應用t分數檢驗相關係數時，預設的群體都是一群。也就是說，只會有一個平均數，而我們要做的事情是檢驗那個平均數是否等於某個特定數值（這也是類似z檢定在做的事情）。

　　不過在實務上，t檢定最常被拿來使用的時機是檢驗兩個群體的（母體）平均數是不是相同。

　　這篇文章就是要解釋t檢定應用在兩群數值上的原理。基於現在統計軟體已經相當方便，就不會提到技術上的細節了。

使用情境範例

　　小R在一間電商公司的行銷團隊擔任客戶營運專員，某日團隊主管找大家開會。

主管：「小R，業務部最近談到一個新的商品要上架，品牌目標客群是20~39歲的輕熟齡族群，要我們這邊簡單出幾個可能的行銷方案給他們去提案。你幫我調一下會員數據，看一下這個年齡區間的月平均消費金額是多少，還有不同年齡層的消費力有沒有差。」

　　於是小R把前一個月的數據從資料庫當中撈了出來，稍微計算以後發現20~29歲的月平均消費是4300元，而30~39歲的月平均消費是5000元，主管看了看以後問他：

「看起來30~39歲的月平均消費金額比20~29歲多一些，所以他們的消費力是比較高的對吧？」

　　小R該怎麼回答這個問題呢？

兩群樣本─兩個母群

　　乍聽之下會覺得這個問題有點奇怪，30~39歲的人月平均消費比20~29歲的人多700，那當然他們消費力是比較高的。但在統計的角度來說恐怕不見得是如此。

　　由於並不是所有會員都會在上個月進行消費，換句話說也可以認為小R取得的數據是從總體會員（母群）當中進行抽樣的結果。因此最後主管的問題，問的其實是「在全體會員中，30~39歲的人均消費力是否大於20~29歲的人？」

　　這顯然是個推論統計的問題。

　　既然這篇以t檢定為標題，那當然就表示這是t檢定的守備範圍之內了。只不過為什麼t檢定可以拿來處理這問題呢？

　　在統計急救箱─單樣本t檢定當中有提到t檢定的基礎邏輯，是「假設平均數為某個數，那我們現在觀察到的平均數出現的機率是多少？」如果出現的機率小於5%，我們就會認為有可能一開始假設的平均數並不正確，此時稱為機率達到顯著值，所以拒絕了一開始所假設的平均數。

　　那在兩個群體的狀況裡，其實也可以使用類似的邏輯，不過我們要稍微做點變化。我們把t檢定的基礎邏輯拆解一下會得到下方兩個步驟：

1. 先假設平均數為某個值
2. 然後計算現在觀察到的值（也就是我們實際看到的數據）出現的可能性是多大？

以圖解來說就如下圖一樣

　　那像現在我們要算兩群人的平均數有沒有差異的話要怎麼辦呢？既然有兩群樣本，那他們各自就會形成自己的抽樣分布。這個時候，虛無假設 (H0) 會是兩群母體的平均數相等，對立假設 (H1) 則是不相等。如果不記得虛無假設和對立假設是什麼的話，可以回頭參考統計急救箱─常態分布與假設檢定（下）喔。

這樣有兩個分布曲線耶，要怎麼計算顯著性呢？其實只比單一樣本t test多出一個步驟而已：

1. 先把兩群分數的數值相減，成為一個差異分數 (就叫它D score吧！)
2. 假設D score的平均值為0
3. 然後計算現在觀察到的值（也就是我們實際看到的數據）出現的可能性有多大？

　　原理滿單純的。既然虛無假設是兩個母體平均數相等，那其實也就是說──兩群母體的平均數相減會等於0。如果我們把這個相減的平均數視為某一種分數（可以叫它差異分數D score），這個D score的抽樣分布也會是個常態。現在問題就變成了：D score的母體平均數是否為0？哇哈哈，這不就變成單一樣本t test的問題了嗎～

　　那麼原本單一樣本t test的圖形就會改成下面這樣：

　　以上就是兩群獨立樣本t test的原理了，其實也不難對吧？至於計算的部分，就交給統計軟體吧。t test是很單純的統計方法，只要google一下無論是Excel、SPSS、R、JASP的教學應該都有，照做就行了。

效果量 (Cohen's d)

　　雖然在檢定上可以把獨立樣本t test化約為單一樣本t test，不過獨立樣本t test還是多了一個重要的數值需要寫在報告裡，就是所謂的效果量 (effect size)。

　　效果量是什麼呢？簡單來說，效果量就是指這兩個群體的平均數大概是差了多少。以上面的範例來說，假如t test結果是年齡 (20~29歲 vs. 30~39歲) 不同，月平均消費額也不同，那麼效果量就是指「由年齡所造成的消費金額差異效果有多大？」如果這樣說有點抽象的話，下面的圖也許可以幫助我們了解效果量的概念。不過實際上的效果量的計算並不是直接拿平均數相減就好了喔！

　　之所以會需要計算效果量，是因為t test只能告訴我們「兩群數值的母體平均數是否相等」。假如顯著的不同，t test也沒辦法告訴我們這個不相等到底是差了多少？所以這時候就會仰賴效果量來告訴我們差了多少囉～[*1]

　　獨立樣本t test的效果量通常來說使用的是一種叫做Cohen's d的分數。由於常用的統計軟體如SPSS不一定會幫使用者計算這個分數 (最近比較新版的SPSS可以了，但舊版的SPSS還是不會算)，所以最好的方法就是去找google大神啦！方法超簡單，只要在google搜尋裡面輸入關鍵字：cohen's d calculator，搜尋出來的結果隨便點一個進去都可以算。有些計算機還會很佛心地告訴你原理是什麼，甚至寫出Cohen's d的計算公式。只要知道公式，其實用紙筆都算得出來 [*2]。

　　只不過算出來是一回事，Cohen's d要怎麼解讀呢？這裡給大家一個參考 (Kirk, 2014)：

• d在0.2以下是很弱的效果
• d超過0.2到0.5是中等偏弱的效果
• d超過0.5到0.8是中等偏強的效果
• d超過0.8是很強的效果

以上就是獨立樣本t test的原理以及該計算的內容囉。

終於回來更新這裡了。最近比較少碰傳統統計，看到這些東西總有種奇妙的隔閡感......

其實獨立樣本t test的內容還沒完，不過內容已經有點長了。下回再補充獨立樣本t test的使用時機、前提假設以及相依樣本設計。

不知道有沒有機會在2024年結束t test的段落呢......

備註

[*1]: 很多初學者會有一個直覺以為p值的大小可以視為是效果量，但這是錯誤的喔！p = 0.001和p = 0.02都是顯著，可是千萬不要在報告中寫「因為p = 0.001所以非常顯著，表示效果很強。」這種句子。p值就只是機率，是一種根據當前觀察的資料所推估出來的數值，p值很小其實並不見得什麼特別的意義，就只是達到顯著水準而已，不要過度的解讀。

[*2]: 如果有買了《傻瓜也會跑統計》這本書的學生們，請記得這本書貼心的作者已經在裡面的電子附件放入Cohen's d計算器了，不需要再花力氣自己去搜尋啦～

參考資料：

Kirk, R. E. (2014). Experimental design: Procedures for the behavioral science (4th ed.). Sage.