方格精選
中學以下的素養教育與經驗談：國一下數學篇──二元一次聯立方程式（上）
每篇都要再次說明，所有的教學方法與手段，完全要看：
- 個人因素
- 社經背景
- 對應教材與年齡
沒有百分百適用，也不會有一招行天下的密技，最大差異在於針對個人或是多人數上課。而且不管多好的教材，只要學生本身完全沒有學習的意願，都是沒有用的，這時候就得要換其他方式，不能只看教材與方式。
進入一下後，數學的難度會突然上升一個階段，主要原因是方程式從一元變成二元，未知數多了一個，很多同學無法繼續用「填方塊」的概念，怎樣都得進入代數的領域。
於是，有些一直用小學方式撐過一上的，到了這邊就倒了。筆者的經驗是，通常中等程度的同學，本來就是很難理解代數是什麼，才會不上不下，家長請不要急著灌輸，而是要透過「做中學」的概念去完成。
同樣希望家長可以理解，筆者並沒有打算寫一本萬用攻略集，沒有這種東西。設定為中等程度的常見問題，指的就是學校成績大概落在40-80分，班上名次大概在20%~80%左右，以一個班25人來看，大概是6~20名之間浮動。後段的要用另一種方法，前段的也要其他辦法，而且……
基本上，所有的數學困境，每個人都有個別不同的原因，教材可以一致，但教學方法沒有萬用，家長若家裡真的不差這點錢，又很在意的話，請花錢送補習班或是請家教，務必找到可以抓出問題點的老師，不是很會炫技的那種。
未必求唯一解，必須用符號加快思考
這邊主要有四個重點要學
- 未知數有兩個，知道怎麼應用
- 會有很多組解，兩個未知數無法用一個等式求出唯一解
- 要兩個方程式組成聯立才能求唯一解
- 看懂圖形以及繪製兩條線的關係
第1點，未知數有兩個，常用x、y作為符號，為何到此用方格☐就會開始難以理解？這稍微圖解一下就懂了，如下：
有沒發現，好像有點怪？是的，圖像化處理代數，慢慢會有極限，程度好的同學或許還可以，但中等以下的就不行了，運算速度會越拖越慢；不過程度好的要轉換成符號也不難就是。
所以，無論如何，都得要逼學生在這階段，習慣用x、y、z等常用英文符號作為代數運用。萬一真的不行，就回到一元一次方程式，一次丟一頁10~20題簡單的運算，強迫同學用符號思考問題。
而這個階段，筆者的經驗，最大的麻煩並不是在符號看不懂，大致上一元一次方程式沒問題的，這邊也還好。問題在應用題看不懂，很難把文字敘述用代數寫出來，個人建議用一些應用題開始，先讓同學了解，一元一次方程式往往代表一個結果，但二元一次方程式則是「可能性」。
一條二元一次方程式，沒有唯一解
範例1-A：小明帶了200元出門，買了兩本書後，還剩下20元，請問一本書幾元？
解說：假設一本書為x元，可以列式如下
範例1-B：小明帶了200元出門，買了兩本書跟3枝筆後，還剩下20元，請問書跟筆各多少錢？
解說：假設一本書為x元、一枝筆為y元，可以列式如下
通常到了這邊，同學應該就會發現到，條件不足無法求出唯一解，筆者建議從這類應用題，去建立兩個未知數是怎樣來的概念，早點看懂文章，並同時透過應用題了解：「一條二元一次方程式無法求出唯一解。」
列表及運算，實際體會「很多組解」是怎麼回事
為何會沒有唯一解？請第一次做的同學有耐心，列出表格窮盡可能性，如果可以的話，順便學會條件限制：
範例1-B：小明帶了200元出門，買了兩本書跟3枝筆後，還剩下20元，請問書跟筆各多少錢？
解說：假設一本書為x元、一枝筆為y元，可以列式如下
2x+3y+20=200
2x+3y=180
1. 2×0 + 3y = 180 → 3y = 180 → y = 60
2. 2×1 + 3y = 180 → 3y = 178 → y = 178/3
3. 2×2 + 3y = 180 → 3y = 176 → y = 174/3
4. 2╳3 + 3y =180 → 3y= 174 → y = 58
通常做到這邊，就會發覺不對勁了。因為在台灣，筆的價格沒有分數，而且敏銳度夠的同學，應該會發現2x會讓x每多1，右方的數字就會少2，那要讓3y的3可以整除，下一次應該是第⑦格。體會不了的，就再把⑤⑥⑦做一次，如下：
5. 2×4 + 3y = 180 → 3y = 172 → y = 172/3
6. 2×5 + 3y = 180 → 3y = 170 → y = 170/3
7. 2×6 + 3y = 180 → 3y = 168 → y = 56
可以的話，就能要同學重做一次這個表格，很快就能抓到概念，應該要以3的倍數去做才會得到整數解。若有同學問為何是整數解，請用筆沒有1/3元的概念去講。完成的表格如下：
其他的往下延伸可以做到底。
有人會說，怎麼一開始就這麼複雜？因為素養教育跟經驗談，主要說給家長以及新進教師聽，這系列不是給學生看的，拜託別忘了。XD
這個應用題已經算是第一次段考前後的狀況，算是一種總整理，目標是學生到此理論上要可以看懂這些方程式，以及怎樣列出可能性，不然接下去的圖形就不用學了。而這種應用題如果會，照道理學生應該對二元一次方程式有很多組解，也無法求出唯一解，會有相當的心得。
家長以及老師怎麼一路教到這，筆者建議先從最基本的x+y=3這些開始，可能性列出會如下表：
然後下一步，提醒題目沒有說負數不可以，建議前後各抓三個如下：
接著下一步，問y 可不可以有負數，建議後再找三個如下：
理解題目中是否存在條件限制
當然，學生能夠舉一反三那最好，若不成就一步步來。最重要的概念，是要建立學生，無論是一般的數學計算還是應用題，二元一次方程式是無法求出唯一解的，除非有很多的條件限制，像是下題：
範例：小英的錢包內有50元，已知全部都是5元與10元硬幣，請問這兩種硬幣的數量為何？
解說：假設5元硬幣有x個，10元硬幣有y個，可列式如下
5x+10y=50
這是典型的題目隱含條件限制，首先硬幣不存在負數，所以必須x>0、y>0，其次是5元硬幣不會有1，因為當x=1，y=4.5，硬幣沒有半個，代表x、y必須都是正整數。
請透過這類題型，讓學生自然而然從情境中，找到各種沒明說的條件限制。筆者也必須很殘酷的跟家長說，如果發現孩子怎樣都……找不到，實在是看不懂，那心裡要有數了，他可能真的沒這方面的資質。不是說練不起來，只是投注的資源跟獲得的成果，交換比恐怕是很差的。
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