【部分整體學】上課筆記：Parts chapter 1（下）

前言

wtf... 我是有同一個教室的讀者嗎？縮了一下，感覺好羞恥。這本來就是我筆記兼自嗨，順便寫一些東西給對哲學有興趣的素未謀面的陌生人看的。從後台數據來看，我應該基本沒有讀者啊？

不管怎麼樣，關於萊布尼茲定律的問題，我之所以會特別提到是因為《Parts: A Study in Ontology》第一章談part的時候說到：It is trivially true that in this sense of‘part’,two individuals are identical if and only if their parts are the same, and in certain calculi of individuals this is used to define the relation of identity.

他沒有很明確地提到是什麼，但是又Ontology又identity又xy有same parts，我就藍色窗簾到萊布尼茲定律去了。

關於兩個萊布尼茲定律，之前課堂上是這樣說的：

1. Identity of Indiscernibles（PII）：∀x∀y∀F（（Fx←→Fy）→x=y）
2. Leibniz's Law（Indiscernibility of Identity）：∀x∀y∀F（x=y→（Fx←→Fy））

看起來是把Identity of Indiscernibles和Leibniz's Law分開的，Leibniz's Law和Indiscernibility of Identity當成同一個東西。但我實在不記得他講什麼，所以我去維基百科看，說是萊布尼茲定律沒講清楚，當年大家就開始藍色窗簾，有人說他的意思是「如果他們有相同的性質他們就等同啊」，有些人就覺得沒有啊，他的意思應該是「如果他們等同，那他們有不可分辨的特徵（有完全一樣的性質）」。故，我把Indiscernibility of Identity和Identity of Indiscernibles當成萊布尼茲律的兩種詮釋。

所以現在看起來，最初大家認知中的萊布尼茲定律：∀x∀y∀F（x=y→（Fx←→Fy））才被叫做萊布尼茲定律。後來跳出來說前面那些人在胡說八道的不被叫做Leibniz's Law，被叫做Identity of Indiscernibles。

嗎？wtf 我不知道啊

如果只是巧合那就巧合，順便解釋一下這樣。

不管怎麼樣，我要繼續了。

公理化的嘗試

背景

在開始正題以前他有一段小簡介，說是雷斯涅夫斯基（Lesniewski）於1916年發表了古典部分整體學（classical mereology）之後，許多這個領域的人開心極了，他們覺得古典部分整體學迴避了柏拉圖主義和悖論，覺得這個理論既無害又沒有爭議。

也因此呢，他們對於想要用邏輯公理化這個理論，加入新的更精簡的公理（suggesting shorter axion，為避免爭議我附上原文），加入新的primitive這件事感到有疑慮。

然後有一段英文我看不懂，說「While they are interesting in themselves, these contributions take the classical theory for granted and do not question its presuppositions.」我讓GPT幫我翻譯之後我直接把前面我看不懂的「While they are interesting in themselves」當沒看到，理解成——這些加入進來的邏輯primitive和axions默認接受了古典部分整體學本身的理論，不質疑其預設。

但確實有人質疑古典部分整體學的預設，但這些「比Lesniewski, Leonard, Goodman的古典部分整體學宣稱還要弱的版本的部分整體學幾乎沒有成果」（it is remarkable how little work has been done on systems of mereology weaker than the classical ones of Lesniewski and Leonard and Goodman）。

所以，作者覺得談談下面我要講到的axions還是很重要的，而且還要用最沒有爭議的方式一步一步地去建構它。

失敗的嘗試1：SA0-2、SD1

接下來我們要介紹System S，說是用來填補最弱版本和最強版本的部分整體學之間的鴻溝的公理。什麼意思啊？不知道。

總之，他們想要做的看起來就是形式化古典部分整體學預設，用邏輯去描述它、去定義part-whole relation。我們看看他們怎麼做的——

System S 有以下特徵：

1. 不用到集合。說是任何謹慎的演算都避免使用集合。
2. 設定proper part作為它的primitive。說是最直覺。
3. 「=」被預設了。

這是System S：

1. SA0：任何滿足「等同」的述詞邏輯語句。
2. SA1：x<<y ⊃ ~y<<x（根據PP的asymmetry特性）
3. SA2：(x<<y & y<<z) ⊃ x<<z（根據PP的transitivity特性）

根據system S我們能夠定義何為part：

SD1：x<y =df x<<y v x=y

「=df」是"define as"的意思。

但這並不是一個成功的嘗試，因為你可以找到一個模型滿足這些公理，雖然滿足了但是並不是part-whole relation，所以我們說SD1對於parts的描述是失敗的。

所以是什麼模型？我們來看哈斯圖（Hasse Diagram）：

這個模型表達a是b的proper part，滿足了：

1. SA1：a<<b ⊃ ~b<<a
2. SA2：(a<<b & a<<b) ⊃ a<<b
3. SD1：a<b，因為v(a<<b v a=b)=t。我們最少可以保證a<<b v a=b中的v(a<<b)=t，這就足以保證v(a<<b v a=b)=t了。

所以你看，按照定義a是b的part。但......實際上這不是part-whole relation啊，因為b只有一個part。

這是什麼情況？

只有一個part我只能想像它是一個atom，或者這個part-whole根本不成立。

然後書上說這個叫——

行間：supplementation principle ​

supplementation principle：東西如果有一個proper part，那它需要另一個part才能形成一個整體（whole）。

失敗的嘗試2：SF1-2

我們再來看看其他人是怎麼試著去定義part-whole relation，而他們又是怎麼失敗的。

SF1：x<<y ⊃ ∃z(z<<y&~z=x)

這條的問題是一個無限延伸的parthood序列模型也能滿足這條公理：

姑且還是畫了一張示意圖。對吧？有一個x是y的proper part，而且存在一大堆z，這些z都是y的proper part且都不等同於x。

區分x和z的用意多半是想表達y至少有兩個part。對嘛，要符合supplementation principle。

我記得這邊說是要看你的哲學立場吧。你覺得事物可以無限地分割下去，還是說它有一個最基本的、不可繼續分割的最小原子呢？反正這邊我們是覺得它不能無限分割，它有個底。

我們看更強一點的版本：

SF2：x<<y ⊃ ∃z(z<<y&~z<x)

依然不行。我們可以找到一個universe模型，不僅是所有東西的fusion，其中所有的parts還都互相overlap，並且這個模型滿足SF2

我就直接上書上的圖了。表達每個parts之間都overlap。

所以問題在哪裡？問題在於一個複雜的universe應該至少要有兩個part是disjoint的。（所以這個複雜的universe是複雜在哪裡？書上是有proper part就是，但我不是很懂）

​失敗的嘗試3：SD2-3、SA3

所以我們來試試看定義overlap和disjoint啊。

1. SD2：x。y =df ∃z(z<x&z<y)
2. SD3：x∫y =df ~x。y

通過SD2和SD3我們就可以將proper part重新定義為：

SA3：x<<y ⊃ ∃z(z<<y&z∫x)

這個公理稱呼為：weak supplementation principle（WSP）

基本上就是說如果y有一個proper part，那麼y有另外至少一個和第一個proper part不同，並且兩者disjoint的proper part。不僅保證了至少有兩個part，也確保了至少會有一對parts是disjoint的。

然而SA3實際上也沒有成功。我們可以找到一個模型滿足SA0到SA3，但是一個東西同時作為兩個不同東西的part。

這就好像什麼？我的某顆細胞a構成了我，這個細胞a同時也構成了你。這什麼情況啊？

書上提到如果我們把一個完整的事物當成是proper parts的集合，更具體來說，當成collective class而不是distribute class的話，我們不能接受單一一個proper part可以去組成兩個不同的事物。就好比兩個獨立（distinct）的集合不能由同樣的元素所組成。

其實我是一知半解的，因為我不知道什麼叫collective class和distribute class。但如果有人看得懂的話，我講出這些你多半已經懂了，剩我一個人還是傻的。

我查了一下，「類」（class）就是可以表達成{x：φ(x)}的一組object，滿足特定性質φ的任何一組object。基本上就是一個集合（set）的概念，不一樣的是存在無法用集合表達的類，這種類稱之為proper class。

嘗試4

所以怎麼辦？說是建議我們加入外延性原則（extentionality principle）。說是如果它們有相同的proper parts它們就等同。而且還不能用part，要用proper part，因為part本身就小於等於有等同的意思在裡面，說是太瑣碎了。

但還有一個小小的問題是......兩個atom也可以是same part啊，所以書上說因此我們應該再多加一條「它們不是atoms」。

這個狀況可能有點謎，因為你可以很輕易地設想這兩個atom之間有external and relaition property上的不同的世界，但我們只先考慮具體的東西不考慮抽象的東西。

總之綜上我們可以得到proper parts principle（PPP）：

SA4：∃z(z<<x) & ∀z((z<<x ⊃ z<<y) ⊃ x<y)

現在，SA0到SA4已經足以消除上面的問題了。不過其實，我們還可以有更強的版本。

我們可以有strong supplementation principle（SSP）：

SA5：~x<y ⊃ ∃z(z<x & z∫y)

不僅如此，PPP和WSP都可以用SSP推導出來。​書上有證明，但走的不是我們今天熟悉的推論規則。我有試著分析過......放棄。接受的推論規則不一樣也沒辦法嘛。

公理與定義總整理

講義上說"this is not quite minimal extentional mereology, but close to it"，說是欲知詳情請讀p. 29-37。基本上29頁開頭就給你了所有的定義和公理，我就貼出來好了。

反正就是在做mereology推導的時候可以用到的公理和定義。至於截止目前的內容到p. 29之間在講什麼我就不細談了，我要全部搞完我都不用做其他事情了。基本上就是在說其他的公理和定義是怎麼定義的，為什麼要這樣定義之類的。

SD9的波浪號後面那個符號不知道是沒印好還是沒掃好的是「σ」。

剩下p. 30-32沒時間不細讀，但附上每一個公理和定義：

這麼多定義，這麼多公理，唯獨沒有談到atom。p. 33開始直到summary之前談的就是atomism。不讀。